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1、《數(shù)學廣角──植樹問題》課標解讀 一、課標要求 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在“總目標”中提出了“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法”“學會獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式”。 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的“第二學段”中提出“嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學問題，并運用一些知識加以解決”“能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”。 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在“課程內(nèi)容”的“第二學段”中提出“通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法

2、，了解所學知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗”。 二、課標解讀 教材中設置“數(shù)學廣角”單元教學內(nèi)容的目的不是教會學生機械的公式和抽象的模型，而是讓學生體驗探索建立模型的過程和數(shù)學思想方法。 在本冊的“數(shù)學廣角──植樹問題”的教學中，教師要引導學生通過觀察、猜測、試驗、推理等活動，初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學生從實際問題中探索解決問題有效方法的能力。在教學植樹問題時，教師要引導學生根據(jù)實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學模型的過程，幫助學生積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，提高學生解決實際問題的能力。 （一）在觀察、猜測、

3、試驗、推理等活動中體會解決基本的思想方法 小學數(shù)學教學體系貫穿著兩條主線：數(shù)學知識和數(shù)學思想方法。數(shù)學知識是一條明線，直接呈現(xiàn)在教材上；而數(shù)學思想方法則是一條暗線，隱藏在知識的背后?！皵?shù)學廣角”中的“植樹問題”，承載了基本的數(shù)學思想方法──“化繁為簡”“數(shù)形結(jié)合”“一一對應”和“數(shù)學建模”等，使學生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學模型（點段關系），然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實際問題。 1．在困頓中感悟“化歸”的思想 人們在面對數(shù)學問題時，如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，

4、這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。 在教學例1中，教師引導學生對“100米一共要栽多少棵樹”進行驗證，在畫圖時引發(fā)困惑，數(shù)字太大，不可能全部畫下來，或是太麻煩、太浪費時間了。在學生有所體驗的基礎上，就此向?qū)W生滲透復雜問題簡單化的思想，讓學生選擇短距離（20米），用畫圖的方式得出結(jié)果。在這個過程中，學生通過猜想、實驗、推理、交流等活動，既培養(yǎng)了數(shù)學思想能力，學會了一些解決問題的方法，又逐步形成實事求是的科學態(tài)度和精神。 2．在探究中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想 數(shù)形結(jié)合是小學數(shù)學中常用的、重要的一種數(shù)學思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)即通過數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關系，通過形象化的方法轉(zhuǎn)化為

5、適當?shù)膱D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關系的數(shù)學問題，這是數(shù)形結(jié)合思想。 本冊的“數(shù)學廣角──植樹問題”把從直觀圖形支持下得到的模型應用到現(xiàn)實生活中，溝通圖形、表格及具體數(shù)量之間的聯(lián)系，強化對題意的理解。 教師可以組織學生在課堂上“模擬植樹”。用 “___”代表一段路，用“∣”代表一棵樹，畫“∣”就表示種了一棵樹。關于在20米長的路可以栽多少棵樹的問題，讓學生自己動手畫一畫。學生根據(jù)圖示，很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。再從個別的、簡單的幾個例子出發(fā)，逐步過渡到復雜的、更一般的情境中，是數(shù)學中常用的推理方法。 這個過程中，學生借助數(shù)形結(jié)合將文字信息與學習基礎結(jié)合起來，使得學習

6、得以繼續(xù)，使得學生思維發(fā)展有了基礎，也使得數(shù)學學習的思想方法真正得以滲透。因此，數(shù)形結(jié)合能不失時機地為學生提供恰當?shù)男蜗蟛牧希梢詫⒊橄蟮臄?shù)量關系具體化，把無形的解題思路形象化。 3．在抽象中明晰“一一對應”思想 本冊“數(shù)學廣角──植樹問題”的教學，通常有兩種教學思路：一種思路是通過教材主題圖中得三組實例歸納出規(guī)律，利用畫圖、小棒或圓片的排列來驗證規(guī)律，進而結(jié)合生活實際應用規(guī)律。這種教學邏輯性強，規(guī)律揭示很順暢，但是從教學效果看，學生雖然能夠“熟記”規(guī)律，卻不能靈活解決諸如“封閉、不封閉”“兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽”這類問題，更不能用數(shù)學觀點統(tǒng)領“間隔排列”的現(xiàn)象。另一種思路是在深入

7、鉆研教材的基礎上，真正把握“間隔排列”的實質(zhì)：兩種物體間隔排列，這兩種物體的排列一一對應。對應，是間隔排列的本質(zhì)。課堂教學中，通過“感知對應現(xiàn)象──激活對應思想──建構(gòu)對應思想──升華對應思想”層層深入的教學行為，抓住蘊含在教材中得一一對應思想，有效統(tǒng)領種種紛繁復雜的現(xiàn)象，使學生真正感知了一一間隔排列的特點，掃清了思維上的障礙，層層推進認識的完善和引申。 4．在運用中體驗“模型思想” 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提出：在數(shù)學教學中應當引導學生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”。“數(shù)學模型”是數(shù)學符號、數(shù)學式子以及數(shù)量關系對現(xiàn)實原型簡化的本質(zhì)的描述。模型思想的教學，不是作為像具體數(shù)

8、學知識點那樣可以單獨作為一個數(shù)學內(nèi)容來進行專門教學，而是融入到具體數(shù)學知識的教學過程中，讓學生在經(jīng)歷“問題情境──建立模型──解決問題──拓展運用”的學習過程中逐漸領悟的。 在本冊“數(shù)學廣角──植樹問題”的教學中，教材以“猜想試誤──合作探究──發(fā)現(xiàn)規(guī)律（建立模型）──深化規(guī)律（再次建模）──解釋運用”為主線，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，建立數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)問題實質(zhì)，為后面解決問題奠定了堅實的基礎。 在這樣的學習活動中，學生在經(jīng)歷了實物操作、圖示表達、抽象概括等程序，逐層提升，拾級而上，一步一步地從生活向數(shù)學的內(nèi)核逼近。在數(shù)學抽象時，引導學生逐層深入地進行推理研究，從“20米、30米、35米、100

9、米……”，讓學生聯(lián)想到“點數(shù)比段數(shù)多1”，從而建立起“點──線”間關系模型。舉一反三，觸類旁通。最后，引導學生用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決更多的實際問題（兩端都不栽的情況和只栽一端的情況）。這樣的教學，也正體現(xiàn)了“數(shù)學教學應從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與運用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展”的要求。 （二）在觀察、猜測、試驗、推理等活動中積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提出：數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志。幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目

10、標，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結(jié)果。數(shù)學學習是在“學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”等數(shù)學活動中進行的。數(shù)學活動經(jīng)驗產(chǎn)生于數(shù)學學習中，既是數(shù)學學習的產(chǎn)物，也是學生認識和實踐的基礎。 1．經(jīng)歷觀察、操作過程，積累體驗性經(jīng)驗 在教學“數(shù)學廣角”時，教師要引導學生觀察、實驗、猜想、驗證，進行動手操作（如擺、畫、做等），讓學生逐漸地意會、體驗、感悟。為了讓學生“動”起來，在“動”的過程中體驗知識的形成過程，教材不斷地提出問題，抓住數(shù)量關系做重點分析。放手讓學生想一想、畫一畫、說一說，既滿足了學生的表現(xiàn)欲望，又培養(yǎng)了學生自主探究的能力，充分調(diào)動了學生的積極性，把學習的主

11、動權交給了學生。學生對植樹棵數(shù)和段數(shù)的關系有了初步的感性認識后，讓學生再任意畫一畫、種一種，更豐富了學生的感性材料，為學生順利發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律打下了基礎。在這個過程中，學生慢慢積累分析和解決問題的一些經(jīng)驗，然后將這些經(jīng)驗遷移運用到后面的數(shù)學活動中。而這些經(jīng)驗是我們老師沒法“教”給學生的，必須由學生經(jīng)歷大量的數(shù)學活動逐步獲得，也就是我們以前常說的“做中學”之后所留下的，有關數(shù)學活動的直接感受、體驗和個人感悟。 2．經(jīng)歷探究、思考過程，積累方法性經(jīng)驗 這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動。本冊的“數(shù)學廣角──植樹問題”教材編者意圖是讓學生初步認識“化繁為簡”的思想，并通過各種活動

12、，借助直觀圖理解“間隔數(shù)與棵數(shù)”之間的數(shù)量關系。如“100米太長了，怎么辦？”“如果小路長度不是20米了，樹的棵數(shù)又發(fā)生了什么變化呢？”“25米、30呢？”“不畫了，你發(fā)現(xiàn)了什么？”不斷提出新的要求，產(chǎn)生新的矛盾，使學生的思維處于碰撞之中，掌握解決問題的有效方法。 3．經(jīng)歷概括、反思過程，積累“數(shù)學地思考”的經(jīng)驗 概括是形成和掌握概念的直接前提。如果沒有概括，就無法進行邏輯推理，思維的深刻性和批判性就無從談起；沒有概括，就不可能產(chǎn)生靈活的遷移，思維的靈活性和創(chuàng)造性就無法形成；沒有概括，就無法實現(xiàn)思維的“縮減”與“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現(xiàn)，學生掌握概念，直接受思維概括水平的制約。 教師教學時可以在課堂中讓學生根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式去探究，去發(fā)現(xiàn)，再反饋結(jié)果，根據(jù)不同的結(jié)果進行交流、討論。通過學生的觀察、思考、交流，在獲得直接經(jīng)驗的基礎上感受“一一對應”的思想方法是教學活動重中之重。經(jīng)過學生的探討之后，教師再引導學生抽象出數(shù)學模型（棵數(shù)與間隔數(shù)的關系），接著再用抽象出來的模型解決一般性的問題，最后再遷移、變通。