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1、任意角三角比 一、任意角三角比教學內(nèi)容分析 任意角的三角比分為4個課時。第一課時學習與角有關(guān)的概念，如正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示。第二課時通過比較角度制與弧度制，體會弧度制在解決問題中的優(yōu)點；能正確進行弧度與角度的換算；會利用弧長公式和扇形面積公式解決實際問題。第三課時通過任意三角比的學習進行求值、化簡和證明。第四課時領(lǐng)會象限角的三角比的符號及坐標角的三角比值，并在此基礎(chǔ)上進行計算、判斷和求值等。 二、教學目標設(shè)計 1、知識與技能 領(lǐng)會與角有關(guān)的概念，如正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示；通過比較角度制與弧度制，體會

2、弧度制在解決問題中的優(yōu)點；能正確進行弧度與角度的換算；會利用弧長公式和扇形面積公式解決實際問題；學會使用單位圓中的有向線段表示三角比；通過任意三角比的學習進行求值、化簡和證明；領(lǐng)會象限角的三角比的符號，及坐標角的三角比值。 2、過程與方法 通過生活中的實例感悟角度概念推廣的必要性，體會“旋轉(zhuǎn)成角”的概念；通過回憶銳角三角比，感悟任意三角比的定義及相關(guān)要點；通過三角比的建立，是學生初步領(lǐng)會用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合思想。 3、情感態(tài)度與價值觀 在整個教學過程中用運動變化的觀點審視事物，用對立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系。培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點。 三、教學重點及

3、難點 重點：理解任意角的相關(guān)概念，掌握弧度制與角度制的關(guān)系和運用，掌握任意角三角比的值與符號，并能進行應用。 難點：弧度制的應用，任意角三角比的值與符號形成與認識。 四、教學流程設(shè)計 任意角三角比的具體應用 任意角三角比的值與符號的闡述 任意角概念的形成與度量制的發(fā)展 五、教學過程設(shè)計 第一課時：任意角及其度量（1） 華東師范大學附屬東昌中學 楊雪 教學目標： 1、 通過生活中的實例感悟角度概念推廣的必要性，體會“旋轉(zhuǎn)成角”的概念。 2、 領(lǐng)會與角有關(guān)的概念，如正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示。 3、 樹立辯證唯物主

4、義的世界觀。 教學用具： 多媒體。 教學方法： 講授法。 教學過程： 一、 引入課題： 在初中時，我們學過銳角、直角、鈍角等，在現(xiàn)實生活和工程實踐中也常常遇到，但我們也會遇到如體操中“轉(zhuǎn)體720o”，這樣的角超出了我們熟知的范圍，那么它是如何定義的呢？ 在這一章中我們要把角度擴充到一切實數(shù)，我們要來研究任意角的三角比之間的聯(lián)系，并為我們學習下一章的三角函數(shù)打好基礎(chǔ)。 二、 講解新課： （一） 角的概念的推廣： 問：什么是角？ 答：從同一點出發(fā)的兩條射線所構(gòu)成的幾何圖形稱為角。① 問：角還可以怎樣生成？ 答：一條射線由原來的位置，繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到

5、另一位置所形成的幾何圖形。② 問：比較一下這兩個關(guān)于角的定義，你認為哪一個更好? 答：各有千秋。①形象、直觀、易理解，但是“狹隘”，②“旋轉(zhuǎn)”形成角，描述了角生成的動態(tài)過程。我們把射線初始位置叫做角的始邊，射線的最終位置叫做角的終邊，端點叫做頂點。其次，②擴大了角的范圍。①定義的角只在0o—360o，②則定義了任意角。 問：既然角可由“旋轉(zhuǎn)”得到，那么平面中有幾種“旋轉(zhuǎn)”的方式? 答：順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)。 問：那么根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方式，角可以分成幾類呢？請你給這幾類角取個名字。 答：三類：正角、負角和零角。一條射線繞端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為正角，其度量值是正的；按順時針方向旋

6、轉(zhuǎn)所形成的角為負角，其度量值是負的；當一條射線沒有旋轉(zhuǎn)時，我們也認為形成了一個角，叫零角，它的大小是0o。我們常用希臘字母α、β來表示角。 例：書P5圖5-1中，主動輪與被動輪的齒數(shù)之比為3:5，當主動輪按逆時針方向旋轉(zhuǎn)5周時，OA繞O旋轉(zhuǎn)所形成的角是1800o，被動輪會按順時針方向旋轉(zhuǎn)3周，O’B繞O’旋轉(zhuǎn)所形成的角是-1080o。 （二） 象限角： 角的頂點置于坐標原點，角的始邊置于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限，而是坐標角。） 例：書P6例1。 練一練：判斷下列各角分別屬于哪個象限：

7、 30 390 -330 300 -60 585 1180 -2000 （三）終邊相同的角： 1．觀察：390，-330角，它們的終邊都與30角的終邊相同 2．終邊相同的角都可以表示成一個0到360的角與個周角的和。 390=30+360 -330=30-360 30=30+0360 1470=30+4360 -1770=30-5360 3．所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合 即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和。 練一練：書P7練習

8、5.1（1） 三、 鞏固練習： 1、 如圖所示，寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合。 2、 在直角坐標系中，若角α與β的終邊互為反向延長線，則角α與β之間的關(guān)系一定是（ ） A、 B、 C、 D、 3、 如果α是第二象限的角，那么是第幾象限的角？ 四、反思與提高： 1、 什么是角？角可以分為幾類?什么是象限角？ 2、 如何表示終邊相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐標軸上角？ 3、 查資料了解關(guān)于三角學的簡史。 教學設(shè)計說明： 從體操例子出發(fā)，說明實際生活中存在對角進行拓展的需要，感受數(shù)

9、學知識的發(fā)展與延伸與生活的需要相關(guān)的，并要求學生課后對三角學的簡史做一定的了解，提高對知識背景的認識與了解，更有學習的動力。 在與學生的交流、引導中引出正角、負角、零角的概念，進而定義象限角、終邊相同角，通過適當?shù)木毩曥柟谈拍睿訌娬J識。 第二課時：任意角及其度量（2） 華東師范大學附屬東昌中學 顧冬磊 一、教學目標 知識與技能目標： （1）建立弧度制 （2）能正確進行弧度與角度的換算。 （3）引入象限角 （4）會利用弧長公式和扇形面積公式解決實際問題 過程與方法目標： （1|）通過比較角度制與弧度制，體會弧度制在解決問題中的優(yōu)點 （2）在弧度制

10、下的扇形面積公式和圓的弧長公式 情感態(tài)度與價值觀目標： （1） 樹立辯證唯物主義的世界觀。 （2） 了解數(shù)學史料，體會數(shù)學的美學價值，提高審美情趣。 二、教學過程： 一、講解新課： （一）知識點的介紹 a、介紹弧度制： 問：初中時我們們學習的角度制是如何度量角的？ 答：將一個周角的規(guī)定為1o。 述：今天我們介紹另一種度量角的單位制——弧度制。它的單位是rad 讀作弧度。 o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B 定義：長度等于半徑長的弧所對的圓

11、心角稱為1弧度的角。 如圖：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2prad 1． 正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0。 2． 角a的弧度數(shù)的絕對值 （為弧長，為半徑）。 3． 用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）。 用角

12、度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。 b、角度制與弧度制的換算： 抓住：360=2prad ∴180=p rad ∴ 例：書P33例2、例3和表2。 注意幾點： 1．今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦； 2．一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應值應該記?。? 3．應確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應的關(guān)系。 正角 零角 負角 正實數(shù) 零 負實數(shù)

13、 任意角的集合 實數(shù)集R 練一練：書P35練習5.1（2）/1、2、3 c、弧長公式與扇形面積公式： 例：書P33例4。 比較和弧度制下兩組公式的區(qū)別 （二）典型例題： 例：用弧度制表示： 1終邊在軸上的角的集合； 2終邊在軸上的角的集合； 3終邊在坐標軸上的角的集合。 4第一象限角的集合； 5第二象限角的集合。 例：書P34例6。 注意：在同一個表達式或同一個問題中不要將角度制和弧度制混用。 介紹分區(qū)域的方法。 （三）鞏固練習： 4、 如圖所示，寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合。 5

14、、 在直角坐標系中，若角α與β的終邊互為反向延長線，則角α與β之間的關(guān)系一定是（ ） A、 B、 C、 D、 6、 如果α是第二象限的角，那么是第幾象限的角？ 7、 將下列按從小到大的順序排列 8、 計算：。 9、 地球赤道的半徑約為6370km，求赤道上的弧長（取3.14，結(jié)果精確到0.01km）。 10、 將鐵片剪成一個半徑為9厘米，弧長為15厘米的扇形零件。求這扇形的面積。 三、課后反思與提高： 4、 什么是角？角可以分為幾類?什么是象限角？ 5、 如何表示終邊相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐標軸上角

15、？ 6、 什么是角度制？什么是弧度制？角、弧度制之間如何換算？ 7、 弧度制在解決問題過程中有哪些優(yōu)點？ 8、 什么是弧長公式與扇形面積公式？ 6、寫出終邊在第一、三象限角平分線上和終邊在第二、四象限角平分線上的角的集合（合并成一種形式）． 7、查資料了解關(guān)于三角學的簡史。 四、教學設(shè)計說明 本節(jié)課是三角比的第二節(jié)課，在了解高中階段角的新的定義方法的基礎(chǔ)上，引入新的角的度量方式——弧度值。本節(jié)課的重點就是介紹弧度值：他的定義，和已經(jīng)學過的角度制之間的聯(lián)系，以及弧度值相對于角度制的好處，難點在于角度弧度之間的熟練的轉(zhuǎn)換，因此訓練就要集中的打破舊的角度思維思路，改為弧度考慮。整堂課因

16、此分為三大部分，第一部分是新的知識的介紹，第二部分主要是角度弧度的轉(zhuǎn)化訓練，最后一部分是反思和提高，把整堂課以及上一堂課的內(nèi)容作一個總結(jié)。 第三課時：任意角的三角比（1） 趙向杰 教學目標： 1、 通過回憶銳角三角比，感悟任意三角比的定義及相關(guān)要點。 2、 通過任意三角比的學習進行求值、化簡和證明。領(lǐng)會象限角的三角比的符號，及坐標角的三角比值。 3、 通過三角比的建立，是學生初步領(lǐng)會用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合思想。 教學用具： 多媒體。 教學方法： 講練法。 教學過程： 一、 引入課題： 在初中時，我們學習了銳角三角比。如圖所示，直角三角形OQP

17、中，，點O在原點處。設(shè)點P的坐標為，則角α的對邊QP的長為y，鄰邊OQ的長為x，斜邊OP的長為r，。 有銳角三角比的定義，得： 。 銳角α的三角比可以用其終邊上點的坐標來定義。 　　 二、講解新課： 1、設(shè)a是一個任意角，在a的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y）則P與原點的距離（圖示見書P12略） 2、比值叫做a的正弦 記作： ； 比值叫做a的余弦 記作： ； 比值叫做a的正切 記作： ； 比值叫做a的余切 記作： ； 比值叫做a的正割 記作： ； 比值叫做a的余割 記作： 注意: ①角是“任意角”，當

18、b=2kp+a(kZ)時，b與a的同名三角比值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。 第一組誘導公式： ②實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。（下面有例子說明） ③，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應由象限確定（后面將專題研究） ④定義域： 3、典型例題： 例：書P13例1、例2。 介紹單位元。 練一練：書P14練習5.2（1）/1、2 例：書P14表3 練一練：書P14練習5.2（1）/3 計算5sin270+2cos90+3cos360+tan180sin0+sin24

19、5－cos60。 例：書P14例3 練一練：書P16練習5.2（2）/1 例：⑴ 已知角a的終邊經(jīng)過P(4,-3),求2sina+cosa的值； ⑵已知角a的終邊經(jīng)過P(4a,-3a),(a0)求2sina+cosa的值。 三、 鞏固練習： 1、 已知角α的終邊上一點，求。 2、 已知角θ的終邊上一點為P，OP=25（O為坐標原點），且，求點P的坐標。 3、 已知，且α是第四象限的角，求α的其他三角比。 4、 求證：。 5、 化簡：。 6、8、設(shè)，則等于（ ） A、 B、 C、 D、 四、反思與提高： 1、任意角的三角比是如何定義

20、的？，，分別與tan α，cos α，sin α有何聯(lián)系？ 2、什么是第一組誘導公式？如何求坐標角的三角比？是否所有的角都存在六個三角比？ 3、試研究六個三角比值的取值范圍。 4、如何確定任意角的三角比在各個象限內(nèi)的符號? 第四課時：任意角的三角比（2） 朱 新 一． 教學目標： 1． 知識與技能 掌握任意角的三角比的定義，會根據(jù)角的終邊上的一點的坐標求出六個三角比，并能確定六個三角比在各象限內(nèi)的符號。會利用任意角的三角比的定義進行三角比的求值、化簡和證明。 2． 過程與方法 在體會的過程中感悟和歸納出各象限內(nèi)三角比的符號，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。 3． 情

21、感態(tài)度與價值觀 用運動變化的觀點審視事物，用對立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系。 4、教學重點與難點 重點： 根據(jù)角的終邊上的一點的坐標求出六個三角比，并能確定六個三角比在各象限內(nèi)的符號。利用任意角的三角比的定義進行三角比的求值、化簡和證明。 難點： 六個三角比在各象限內(nèi)的符號的理解和記憶。 教學方法： 二、教學過程設(shè)計： （一）復習引入 （二）新課： 1、①角是“任意角”，當b=2kp+a(kZ)時，b與a的同名三角比值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。 第一組誘導公式： ②實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適

22、用。③，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應由象限確定 ④定義域： 2、任意角的三角比在各個象限內(nèi)的符號： 因為角α的三角比由其終邊上的點確定，所以點P的坐標符號決定了角α的三角比的符號。請同學完成表4。由此，總結(jié)出正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號規(guī)律還可以結(jié)合正弦線、余弦線、正切線進行印證。 為了便以記憶，我們也可以歸納為一個圖： 為正 全正 為正 為正 3、例題 （1）求下列各三角比的值： ①sin1470 ② cos ③tan （

23、2）判斷下列角的正弦、余弦、正切、余切的符號： ① ② （3）根據(jù)下列條件確定角屬于哪個象限： ①且 ② （4）求函數(shù) 的值域。 （5）求證：角為第三象限角的充分必要條件是 ① ② （6）求的定義域。 4、鞏固練習： （1）已知角α的終邊上一點，求。 （2）已知角θ的終邊上一點為P，OP=25（O為坐標原點），且，求點P的坐標。 （3）已知，且α是第四象限的角，求α的其他三角比。 （4）確定下列三角比的符號： ； ； ； 。 （5）已知，確定α所屬

24、的象限。 5、反思與提高： （1）什么是第一組誘導公式？如何求坐標角的三角比？是否所有的角都存在六個三角比？ （2）試研究六個三角比值的取值范圍。 （3）如何確定任意角的三角比在各個象限內(nèi)的符號? 三、教學設(shè)計說明： 1、本課通過對任意角三角比的復習與回顧，引入終邊相同的角的三角比問題，從而得出第一組誘導公式，并在此基礎(chǔ)上，引導學生確定各三角比在每個象限的符號。 2、因為這節(jié)課主要是讓學生在理解概念的基礎(chǔ)上對所學知識進行應用與深化，所以設(shè)計了6組層層提高的例題，幫助學生徹底理解本課時的知識并有所提高，同時還準備了一組題用于深化所學的知識。 3、教學中加強數(shù)學思想的滲透。