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高中數(shù)學(xué)第一章解三角形第五課時(shí)解三角形應(yīng)用舉例教案一蘇教版必修5

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1、 第五課時(shí) 解三角形應(yīng)用舉例(一) 教學(xué)目標(biāo): 會(huì)在各種應(yīng)用問題中,抽象或構(gòu)造出三角形,標(biāo)出已知量、未知量,確定解三角形的方法,搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系,理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語,如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等,通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí),提高解決實(shí)際問題的能力;通過解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用,要求學(xué)生體會(huì)具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題,以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用. 教學(xué)重點(diǎn): 1.實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化; 2.解斜三角形的方法. 教學(xué)難點(diǎn): 實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定. 教學(xué)過程:

2、Ⅰ.課題導(dǎo)入 解三角形的知識(shí)在測量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用,如果我們抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼,就暴露出解三角形問題的本質(zhì),這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實(shí)際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力. 下面,我們將舉例來說明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 [例1]自動(dòng)卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長度.已知車箱的最大仰角為60,油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為1.95 m,AB與水平線之間的夾角為620′,AC長為1.40 m,計(jì)算BC的長(保留三個(gè)有效數(shù)字). 分析:求油泵頂桿BC的長度也就是在△ABC內(nèi),求邊

3、長BC的問題,而根據(jù)已知條件,AC=1.40 m,AB=1.95 m,∠BAC=60+620′=6620′.相當(dāng)于已知△ABC的兩邊和它們的夾角,所以求解BC可根據(jù)余弦定理. 解:由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =1.952+1.402-21.951.40cos6620′=3.571 ∴BC≈1.89?。╩) 答:油泵頂桿BC約長1.89 m. 評述:此題雖為解三角形問題的簡單應(yīng)用,但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到,在轉(zhuǎn)換過程中應(yīng)注意“仰角”這一概念的意義,并排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾,將數(shù)量關(guān)系從題目準(zhǔn)確地提煉出來. [例2]某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),

4、發(fā)出求救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10 n mile的C處,并測得漁船正沿方位角為105的方向,以9 n mile/h的速度向某小島B靠攏,我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救,試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間. 分析:設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為x h,則利用余弦定理建立方程來解決較好,因?yàn)槿鐖D中的∠1,∠2可以求出,而AC已知,BC、AB均可用x表示,故可看成是一個(gè)已知兩邊夾角求第三邊問題. 解:設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為x h,則AB=21x n mile,BC=9x n mile,AC=1

5、0 n mile,∠ACB=∠1+∠2=45+(180-105)=120 根據(jù)余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120得 (21x)2=102+(9x)2-2109xcos120, 即36x2-9x210=0 解得x1=,x2=-(舍去) ∴AB=21x=14,BC=9x=6 再由余弦定理可得:cosBAC===0.9286, ∴∠BAC=2147′,45+2147′=6647′. 而艦艇方位角為6647′,小時(shí)即40分鐘. 答:艦艇應(yīng)以6647′的方位角方向航行,靠近漁船則需要40分鐘. 評述:解好本題需明確“方位角”這一概念,方位角是指由正北方向

6、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,其范圍是(0,360). 在利用余弦定理建立方程求出x后,所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知三邊求角的問題,故仍然利用余弦定理. 從上述兩個(gè)例題,大家可以看出,實(shí)際問題的解決關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為具體的解三角形問題,從而與我們已知的知識(shí)方法產(chǎn)生聯(lián)系.在下面的例題分析中,我們繼續(xù)加以體會(huì). [例3]如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距A處(-1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向,距A處2海里的C處的我方緝私船,奉命以10海里/時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的速度,從B處向北偏東30方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出

7、所需時(shí)間. 解:設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí),才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船, 則CD=10t海里,BD=10t海里. ∵BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =(-1)2+22-2(-1)2cos120=6 ∴BC= ∵= ∴sinABC=== ∴∠ABC=45,∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上, ∴∠CBD=90+30=120 ∵= ∴sin∠BCD===, ∴∠BCD=30,∴∠DCE=90-30=60 由∠CBD=120,∠BCD=30,得∠D=30 ∴BD=BC,即10t= ∴t=(小時(shí))≈15(分鐘) 答:緝私船沿北偏東60的方向行駛,才能最快截獲走

8、私船,需時(shí)約15分鐘. [例4]用同樣高度的兩個(gè)測角儀AB和CD同時(shí)望見氣球E在它們的正西方向的上空,分別測得氣球的仰角是α和β,已知B、D間的距離為a,測角儀的高度是b,求氣球的高度. 分析:在Rt△EGA中求解EG,只有角α一個(gè)條件,需要再有一邊長被確定,而△EAC中有較多已知條件,故可在△EAC中考慮EA邊長的求解,而在△EAC中有角β,∠EAC=180-α兩角與BD=a一邊,故可以利用正弦定理求解EA. 解:在△ACE中,AC=BD=a,∠ACE=β,∠AEC=α-β, 根據(jù)正弦定理,得AE= 在Rt△AEG中,EG=AEsinα= ∴EF=EG+b=+b, 答:氣球的高

9、度是+b. 評述:此題也可以通過解兩個(gè)直角三角形來解決,思路如下:設(shè)EG=x,在Rt△EGA中,利用cotα表示AG;在Rt△EGC中,利用cotβ表示CG,而CG-AG=CA=BD=a,故可以求出EG,又GF=CD=b,故EF高度可求. [例5]如圖所示,已知半圓的直徑AB=2,點(diǎn)C在AB的延長線上,BC=1,點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以DC為邊作等邊△PCD,且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè),求四邊形OPDC面積的最大值. 分析:要求四邊形OPDC面積的最大值,這首先需要建立一個(gè)面積函數(shù),問題是選誰作為自變量,注意到動(dòng)點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動(dòng)與∠POB大小變化之間的聯(lián)系,自然引入∠POB=θ作為

10、自變量建立函數(shù)關(guān)系.四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC,S△OPC可用OPOCsinθ表示,而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解,而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示,至于面積最值的獲得,則通過三角函數(shù)知識(shí)解決. 解:設(shè)∠POB=θ,四邊形面積為y,則在△POC中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OPOCcosθ=5-4cosθ ∴y=S△OPC+S△PCD=12sinθ+(5-4cosθ) =2sin(θ-)+ ∴當(dāng)θ-=即θ=時(shí),ymax=2+. 評述:本題中余弦定理為表示△PCD的面積,從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能,可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù),一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式,要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性. 另外,在求三角函數(shù)最值時(shí),涉及到兩角和正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ的構(gòu)造及逆用,應(yīng)要求學(xué)生予以重視. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P20 練習(xí)1,2,3,4. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家在了解解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用的同時(shí),掌握由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化,并提高解三角形問題及實(shí)際應(yīng)用題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P21習(xí)題 1,2,3. 4

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