《概率論習(xí)題冊答案中國地質(zhì)大學(xué)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論習(xí)題冊答案中國地質(zhì)大學(xué)（47頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。 概率論習(xí)題冊答案 第一章 隨機事件及其概率 1.1 樣本空間與隨機事件 一、 計算下列各題 1.寫出下列隨機實驗樣本空間： (1) 同時擲出三顆骰子，記錄三只骰子總數(shù)之和； (2) 10只產(chǎn)品中有3次產(chǎn)品，每次從中取一只（取出后不放回），直到將3只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)； (3) 一只口袋中有許多紅色、白色、藍色乒乓球，在其中抽取4只，觀察它們具有哪種顏色； (4) 有三只盒子，三只球，將三只球，裝入三只盒子中，使每只盒子裝一只球，觀察裝球情況； (5) 將一尺之棰折成三段，觀察各段的長度。 解 1（1）；

2、（2）； （3）；其中分別表示紅色，白色和藍色； （4）其中表示求放在盒子中，可類推； （5）其中分別表示三段之長。 2. 設(shè)為三事件，用運算關(guān)系表示下列事件： （1）發(fā)生,和不發(fā)生； （2）與都發(fā)生, 而不發(fā)生； （3）均發(fā)生； （4）至少一個不發(fā)生； （5）都不發(fā)生； （6）最多一個發(fā)生； （7）中不多于二個發(fā)生； （8）中至少二個發(fā)生。 解 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8） 3．下面各式說明什么包含關(guān)系？ (1) ； (2) ； (3) 解 （1）； （2）；

3、 （3） 4. 設(shè)具體寫出下列各事件： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5). 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}； (4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。 5．如下圖，令表示“第個開關(guān)閉合”, ，試用表示下列事件，（1）系統(tǒng)Ⅰ為通路，（2）系統(tǒng)Ⅱ為通路。 系統(tǒng)Ⅰ 系統(tǒng) Ⅱ 1

4、 5 2 3 1 2 3 4 4 6

5、 解 (1) (2) 。 1.2 事件的頻率與概率 一．填空題 1．設(shè)事件的概率分別為0.5，0.6，且互不相容，則積事件的概率 0 ； 2．設(shè)隨機事件及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6，若表示對立事件，那么積事件 的概率 0.3 ； 3. 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, (1) 當(dāng)A,B互不相容時, P(A+B)== 0.7; P(AB)= 0 . (2) 當(dāng)B+A時, P(A+B)== 0.4 ;

6、P(AB)= 0.3 ； 4. 若,;; =。 二、選擇題 1. 若二事件和同時出現(xiàn)的概率P()=0則（C） （A）和不相容； （B）是不可能事件； （C）未必是不可能事件； （D）P()=0或P()=0. 2. 對于任意二事件和有 (C ) (A) ; （B）; （C）; （D）. 3. 設(shè)A , B是任意兩個概率不為0的不相容的事件,則下列事件肯定正確的（D） (A) 不相容; (B)相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A). 4. 當(dāng)事件A、B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生則（B）

7、 三、計算下列各題 1. 已知，求事件全不發(fā)生的概率。 2 某地有甲、乙、丙三種報紙，該地成年人中有20%讀甲報，16%讀乙報，14%讀丙報，其中8%兼讀甲和乙報，5%兼讀甲和丙報，4%兼讀乙和丙報，又有2%兼讀所有報紙，問成年人至少讀一種報紙的概率。 解 3. 某門課只有通過口試及筆試兩種考試，方可結(jié)業(yè). 某學(xué)生通過口試概率為80%，通過筆試的概率為65%，至少通過兩者之一的概率為75%，問該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性有多大？ 解 A=“他通過口試”，B=“他通過筆試”,則 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A

8、)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70 即該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性為70%。 4. 向三個相鄰的軍火庫投擲一個炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.025，其余二個各為0.1. 只要炸中一個，另兩個也要爆炸. 求軍火庫發(fā)生爆炸的概率。 解 設(shè)A、B、C分別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫這三個事件，D表示軍火庫爆炸這個事件，則 P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225. 四、證明題 試證. 證 。 1.3 古典概型與幾何概型 一、填空題 1．一部四卷的文集，按任

9、意次序放在書架上，各卷自左向右，或自右向左順序恰好為1、2、3、4概率為 ； 2．一批(個)產(chǎn)品中有個次品、從這批產(chǎn)品中任取個，其中恰有個個次品的概率是 ； 3．某地鐵車站, 每5分鐘有一趟列車到站，乘客到達車站的時刻是任意的，則乘客侯車時間不超過3分鐘的概率為 0.6 ； 4．在區(qū)間（0, 1）中隨機地取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于 ”的概率為 0.68 ； 5. 將C、C、E、E、I、N、S七個字母隨機地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為 1/1260 ； 6.在區(qū)間中隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為。 二、選擇

10、題 1. 張獎券中含有張有獎的，個人購買，每人一張，其中至少有一人中獎的概率是（B） (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2. 擲兩枚均勻硬幣,出現(xiàn)一正一反的概率是（B） 三、計算下列各題 1．已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。 （1）兩只都是正品 ；（2）兩只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。 解 （1） 2. 把10本書任意放在書架上，求其中指定的5本書放在一起的概率。 解 3. 某

11、學(xué)生宿舍有8名學(xué)生，問（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？ 解 。 4．從0 ~ 9中任取4個數(shù)構(gòu)成電話號碼（可重復(fù)?。┣螅? （1）有2個電話號碼相同，另2個電話號碼不同的概率； （2）取的至少有3個電話號碼相同的概率。 解 ； 5. 某工廠生產(chǎn)過程中每批出現(xiàn)次品的概率為0.05,每100個產(chǎn)品為一批,檢查產(chǎn)品質(zhì)量時,在每一批任取一半來檢查,如果發(fā)現(xiàn)次品不多于一個,則這批產(chǎn)品可以認為是合格的.,求一批產(chǎn)品被認為是合格的概率。 解 。 6. 隨機

12、地將15名新生平均分配到三個班中，這15名新生有3名優(yōu)秀生.求（1）每個班各分一名優(yōu)秀生的概率（2）3名優(yōu)秀生在同一個班的概率。 解 基本事件總數(shù)有種 (1) 每個班各分一名優(yōu)秀生有3! 種, 對每一分法,12名非優(yōu)秀生平均分配到三個班中分法總數(shù)為種, 所以共有種分法. 所以 p =. (2)3名優(yōu)秀生分配到同一個班, 分法有3種, 對每一分法,12名非優(yōu)秀生分配到三個班中分法總數(shù)為, 共有種, 所以 q =。 7. 隨機的向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點，點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比，求原點和該點連線與軸的夾角小于的概率。 解 這是幾何概型, 樣本空間占有面積為

13、, 所求事件占有面積為 所以, 所求概率。 8. 設(shè)點隨機地落在平面區(qū)域D: |p|≤1, |q|≤1上, 試求一元二次方程兩個根 (1) 都是實數(shù)的概率, (2) 都是正數(shù)的概率。 1.4 條件概率 三、計算下列各題 1．某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品在有75件一等品，試求在該產(chǎn)品任取一件的是一等品的概率。 解 。 2. 設(shè)某種動物由出生而活到20歲的概率為 0.8，活到25歲的概率為0.4，求年齡為20 歲的這種動物活到25歲的概率。 解 。 3. 在100個次品中有10 個次品 ，每次從

14、任取一個（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。 解 =“第次取到正品” =1，2，3，4. 4. 比賽規(guī)定5局比賽中先勝3局為勝，設(shè)甲、乙兩人在每局中獲勝的概率分別為0.6和0.4，若比賽進行了兩局，甲以2︰0領(lǐng)先，求最終甲為勝利者的概率。 解 設(shè) B=“最終甲勝”，Ai=“第i局甲勝” 四、證明題 1. 若，且證明。 證 。 2. 證明事件與互不相容，且0<<1,則。 證 。 1.5 全概率公式和貝葉斯公式 三、 計算下列各題 1. 三個箱子, 第一個箱子里有4個黑球1個白球, 第二個箱子里有3個黑球3個白球, 第三

15、個箱子里有3個黑球5個白球, 求（1）隨機地取一個箱子，再從這個箱子取出一球為白球的概率; （2）已知取出的一個球為白球, 此球?qū)儆诘诙€箱子的概率。 解 =“在第箱取球” =1，2，3，=“取出一球為白球” 2. 設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1、0.2、0.3，從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。 解 設(shè)=｛取得的產(chǎn)品為正品｝， 分別為甲、乙、丙三廠的產(chǎn)品 = ，=，=，， 所以 0.83。 3. 一群人中有37.5 %的為A型血型，20.9 %為B型，

16、7.9 %為 AB型，33.7 %為 O型，已知能允許輸血的血型配對如下表，現(xiàn)在在人群中任選一人為輸血者，再選一人為需要輸血者，問輸血者能成功的概率是多少？ 輸血者 受血者 A型 B型 AB型 O型 A型 √ √ √ B型 √ √ √ AB型 √ √ √ O型 √ √ 解 設(shè)=｛輸血成功｝ 分別表示型血型 則 同理可求出 則 0.717。 4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今從男女人數(shù)中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

17、 解 =｛從人群中任取一人是男性｝， =｛色盲患者｝ 因為 所以 。 5. 某一工廠有三個車間生產(chǎn)同一型號螺釘，每個車間的產(chǎn)量分別占該廠螺釘總產(chǎn)量的25 %、35 %、40 %，每個車間成品中的次品分別為各車間產(chǎn)量的5 %、4 %、2 %，如果從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品螺釘為次品，問它是車間生產(chǎn)的概率。 解 分別表示三車間生產(chǎn)的螺釘，=“表示次品螺釘” == 同理 = ； =。 6. 某高校甲系二年級一、二、三班學(xué)生人數(shù)分別為16人，25人和25人，其中參加義務(wù)獻血的人數(shù)分別為12人，15人和20人，從這三個班中隨

18、機地抽取一個班，再從該班學(xué)生中任取2人.（1）求第一次取的是已獻血的學(xué)生的概率p. （2）如果第二次抽到的是未參加獻血的學(xué)生，求第一次取的是已獻血的學(xué)生的概率q. 所以 。 1.6 事件的獨立性 三、計算下列各題 1. 某類電燈泡使用時在1000小時以上的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000小以后最多只有一個壞的概率。 解 表示一個燈泡使用時數(shù)在1000小時以上 ｛三燈泡中最多有一個壞｝=｛三個全好｝+｛只有一個壞｝ = (0.2)3+(0.2)2(1–0.2)=0.104。 2. 一射手對同一目標(biāo)獨立進行了四次射擊,若至

19、少命中一次的概率為, 求該射手的命中率。 解 。 3. 某型號的高射炮，每門炮發(fā)射一發(fā)擊中的概率為0.6，現(xiàn)若干門炮同時發(fā)射一發(fā)，問欲以99%的把握擊中來犯的一架敵機至少需要配置幾門炮？ 解 設(shè)需要配置門高射炮 =“高炮擊中飛機”， 則 ｛飛機被擊中｝=｛門高射炮中至少有一門擊中｝ =1–｛門高射炮全不命中｝ 至少配備6門炮。 4. 設(shè)有三門火炮同時對某目標(biāo)射擊，命中概率分別為0.2、0.3、0.5，目標(biāo)命中一發(fā)被擊毀的概率為0.2，命中二發(fā)

20、被擊毀的概率為0.6，三發(fā)均命中被擊毀的概率為0.9，求三門火炮在一次射擊中擊毀目標(biāo)的概率。 解 設(shè)=｛目標(biāo)一次射擊中被擊毀｝=｛目標(biāo)被擊中的發(fā)數(shù)｝，（0，1，2，3，） 則 =0.20.70.5+0.80.30.5+0.80.70.5=0.47 =0.20.30.5+0.20.70.5+0.80.30.5=0.22 =0.20.30.5=0.03 所以 0.470.2+0.20.6+0.030.9=0.253。 5. . 擲一枚均勻硬幣，直到出現(xiàn)3次正面朝上為止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率. 解 =“正好在第6次后停止”，=“

21、第5次也正面朝上”. 四、證明題 設(shè)是事件獨立的充分必要條件。 證 第二章 隨機變量及其函數(shù)的概率分布 2.1 隨機變量與分布函數(shù) 2.2 離散型隨機變量及其概率分布 三、 計算下列各題 1. 袋中有10個球，分別編號為1~10，從中任取5個球，令表示取出5個球的最大號碼，試求的分布列。 解 的可能取值為5，6，7，8，9，10 且 所以的分布列為 5 6 7 8 9 10 2. 一批元

22、件的正品率為，次品率為，現(xiàn)對這批元件進行有放回的測試，設(shè)第次首次測到正品，試求的分布列。 解 的取值為1，2，3，… 且 . 此即為的分布列。 3. 袋中有6個球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2，2，3，3，從中任取一個球，令為取出的球的號碼，試求的分布列及分布函數(shù)。 解 的分布列為 1 2 3 由分布函數(shù)的計算公式得的分布函數(shù)為 4. 設(shè)隨機變量的分布律為。 求 解 5. （1）設(shè)隨機變量的分布律為為常數(shù)，試確定。

23、（2）設(shè)隨機變量只取正整數(shù)值，且與成反比，求的分布律。 解 （1）因為 及，所以 （2）令類似上題可得 。 所以的分布律為 6. 汽車沿街道行駛，需要通過3個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈時間相等，以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口，求的概率分布 解 =0, 1, 2, 3, =“汽車在第個路口遇到紅燈.”，=1，2，3. =, = ，= 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8

24、 為所求概率分布 7. 同時擲兩枚骰子, 直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止, 試求拋擲次數(shù)的概率分布律. 四、證明題 試證明： 2.3 連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù) 三、計算下列各題 1. 設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為；求的分布函數(shù)。 解 ， 2. 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為；求的密度函數(shù)。 解 3. 設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為； （1） 求常數(shù)，使； （2）求常數(shù)，使。 解 （1）因為 ，所以故 。 （2） 因為 4. 在半徑為，球心為的球內(nèi)任取一點，X為點O與P的距離，求X的分布函數(shù)及概率

25、密度。 解 當(dāng)時，設(shè)，則點落到以為球心，為半徑的球面上時，它到點的距離均為，因此 ，所以，的分布函數(shù)為 的密度函數(shù)為 5. 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為,–∞<<+∞,試求 (1) 系數(shù)與, (2) P (–1<<1), (3) 的概率密度函數(shù). 解 6. 設(shè)隨機變量的概率密度為, 以Y表示對進行三次獨立觀察中{≤}出現(xiàn)的次數(shù),求概率P(=2). 解 p = P (≤)=, 由已知 ~(3, ) 所以 7. 從某區(qū)到火車站有兩條路線，一條路程短，但阻塞多，所需時間（分鐘）服從；另一條路程長，但阻塞少，所需時間（分鐘）服從，問 （1） 要在70分鐘內(nèi)

26、趕到火車站應(yīng)走哪條路保險？ （2） 要在65分鐘內(nèi)趕到火車站又應(yīng)走哪條路保險？ 解 （1）因為 所以走第二條。 （2）類似的走第一條。 2.4 隨機變量函數(shù)的分布 三、計算下列各題 1. 設(shè)隨機變量的分布律如下，求的分布律。 -2 -1 0 1 2 解 1 2 5 2. 設(shè)隨機變量在上服從均勻分布，求的密度函數(shù)。 解 的密度函數(shù)為 （1） 設(shè)，則有 。 所以 ，因此當(dāng)及時，由知； 當(dāng)時，由知，所以所求密度函數(shù)為 （

27、2） 類似的可得： 3. 設(shè)，求的密度函數(shù)。 解 （1）的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 （2）的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 4. 設(shè)隨機變量的概率密度為；求的概率密度。 解 所以 5. 若球的直徑D的測量值在上均勻分布，求球的體積V的概率密度。 6. 將長度為2的直線隨機分成兩部分，求以這兩部分為長和寬的矩形面積小于的概率。 四、證明題 1. 設(shè)

28、 證 2. 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布, 證明在區(qū)間(0,1)服從均勻分布。 證 X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布,則概率密度為 , 函數(shù)y單調(diào)可導(dǎo),其反函數(shù)為 由公式 所以 在區(qū)間(0,1)服從均勻分布。 第三章 多維隨機變量及其分布 3.1 二維隨機變量的概率分布 三、計算下列各題 1. 已知隨機變量的聯(lián)合密度為, 求的聯(lián)合分布函數(shù)。 解 因為 2. 一個箱子裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，現(xiàn)隨機地?zé)o放回抽取兩次，每次取一只，以分別表示第一次和第二次取出的次品數(shù)，試寫出的概率分布律。 解.

29、 3. 給定非負函數(shù), 問是否是隨機變量的聯(lián)合概率密度?說明理由。 解 是的聯(lián)合概率密度只要滿足≥0與 所以是隨機變量的聯(lián)合概率密度。 4. 設(shè)隨機變量 () 的聯(lián)合密度為，求：（1）系數(shù)k； （2）； （3）； （4）。 解：（1） （2） （3） （4）= 5. 設(shè)隨機變量 () 的聯(lián)合密度為, 求 (1) 系數(shù), (2) 概率。 解 6.袋中有1個紅色球，2個黑色球與3個白色球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y，Z分別表示兩次去求所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù)， （1） 求； （2） 求二維隨機變量的概率分布。 解：（1

30、）在沒有取白球的情況下取了一次紅球相當(dāng)于只有1個紅球，2個黑球有放回的取兩次，其中摸到一個紅球 ； （2）X，Y的取值范圍為0,1,2，故 X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布 3.4 隨機變量的獨立性 三、計算下列各題 1. 設(shè)隨機變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能取值，另一個隨機變量Y在1~X中等可能取一個整數(shù)值，求（1）的聯(lián)合分布律；（2）X，Y的邊緣分布律。 解：由題意， 則由概率的乘法公式有 因此

31、 X Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 0 1/8 1/12 1/16 13/48 3 0 0 1/12 1/16 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 1/4 1/4 1/4 1/4 1 2. 設(shè)二維隨機變量的概率密度為 （1）求關(guān)于的邊緣概率密度. （2）問是否獨立？ 3. 設(shè)二維隨機變量的概率密度為 求：（1）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)，并判斷X與Y是否相互獨立？ （2）。 解：（1） 由于 （2） 4. 設(shè)二

32、維隨機變量的概率密度為（1）求常數(shù)； （2） 求關(guān)于的邊緣概率密度， （3）問是否獨立？ 解 即 5. 雷達的圓形屏幕的半徑為，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點在屏幕上均勻分布，（1）求的邊緣概率密度，（2）問是否獨立？ 6. 設(shè)二維隨機變量的概率密度為，求（1）常數(shù)（2）隨機變量的邊緣密度，（3）概率。 解 （1）. ， (3) . 7. 已知隨機變量的概率分布： 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2 且.（1）求的聯(lián)合分布，（2）問是否獨立？

33、為什么？ 解 Y X -1 0 1 P．j 0 P11 P21 P31 1/2 1 0 P22 0 1/2 Pi. 1/4 1/2 1/4 1 （1）設(shè)的聯(lián)合分布為 Y X -1 0 1 0 1/4 0 1/4 1 0 1/2 0 8. 設(shè)X與Y為兩個相互獨立的隨機變量，X在區(qū)間上服從均勻分布，Y的概率密度為，求： （1）X與Y的聯(lián)合概率密度； （2）設(shè)含有a的二次方程為，試求a有實根的概率。 解：（1） （2）含有a的二

34、次方程為有實根的充要條件為 .而 四、證明題 設(shè)隨機變量具有分布函數(shù)， 證明：X與Y相互獨立。 證明： 3.5 兩個隨機變量函數(shù)的分布 三、計算下列各題 1. 設(shè)兩個獨立隨機變量的分布律為, 解 由獨立性可得 （） （1，2） （1，4） （3，2） （3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 –1 –3 1 –1 所以 的分布律為,的分布律為 2.

35、設(shè)獨立, 服從均勻分布, 的概率密度.(用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示)。 解 由已知的密度函數(shù)為 Y在[-π,π]服從均勻分布, 則, X和Y獨立, 由公式 3．設(shè)隨機變量相互獨立，且求的概率密度。 解 ∵獨立， ∴ 又∵=> ， 令，則 4. 已知隨機變量服從二維正態(tài)分布, 其聯(lián)合密度為, , 求隨機變量的概率密度函數(shù)。 解 5. 已知隨機變量X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間上的均勻分布，求的概率密度函數(shù)。 解：∵X與Y相互獨立，且， 6. 設(shè)隨機變量的聯(lián)合概率密度, 求的概率密度。 解 . 7. 設(shè)隨機變量與相互獨立，的概

36、率分布為，的概率密度為，記 （1）求 （2）求的概率密度。 解：(I) (II) 所以 8. 設(shè)二維變量的概率密度為 求； 求的概率密度。 解： （Ⅰ），其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 （Ⅱ） 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 當(dāng)時， 于是 9. 假設(shè)電路裝有

37、三個同種電器元件，其狀況相互獨立，且無故障工作時間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不正常工作.試求電路正常工作時間T的概率分布。 解 以表示第個元件無故障工作時間，則獨立且分布函數(shù)為 . . 所以T服從參數(shù)為的指數(shù)分布 10. 隨機變量x的概率密度為為二維隨機變量(X, Y)的分布函數(shù)， (Ⅰ)求Y的概率密度； (Ⅱ)。 解： （Ⅰ） ； . 所以： （Ⅱ） 。 11. 某種商品一周的需求量是一個隨機變量，其概率密度為 設(shè)各周的需求量是相互獨立的，求（1）兩周；（2）三周的需求量的概率密度。 解：設(shè)某種商品在第i周的需

38、求量為，由題意得相互獨立，且有 （1）記兩周需求量為Z，即，則Z的概率密度為 （2）記三周需求量為W，即，又與相互獨立，則W的概率密度為 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 4.1 數(shù)學(xué)期望 4.2 方差 二、計算下列各題 1. 設(shè)球直徑的測量值在上服從均勻分布,求球體積的數(shù)學(xué)期望。 解 設(shè)球的直徑為,其概率密度為 2. 設(shè)隨機變量服從上的均勻分布，,求 的數(shù)學(xué)期望和方差。 解 的概率密度， 。 3. 在長度為a的線段上任意取兩個點M與N，試求線段MN長度的數(shù)學(xué)期望。 解: 以線段起點為原點，X，Y分別表示點

39、M與N的位置， ∴ ， ， ，， 令， 這時 ∴ 。 4. 某射手每次命中目標(biāo)的概率為0.8,連續(xù)射擊一個目標(biāo),直至命中目標(biāo)一次為止。求射擊次數(shù)的期望和方差。 解 “第次命中目標(biāo)”,… …)=… , 取 所以 , , 取 ＜1 故 從而 。 5. 設(shè)輪船橫向搖擺的振幅的概率密度為，為常數(shù) 試確定常數(shù),并求和。 解 1 2 3 0.2 0.1 0 0 0.1 0 0.3 1 0.1 0.1 0.1 6. 設(shè)的聯(lián)合分布為右表 求 設(shè)

40、、求 設(shè)、求。 解 -1 - 0 1 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 0 1 4 9 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0 。 7. 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立,且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機變量的方差。 解 令 。 8. 箱內(nèi)有4個白球和5個紅

41、球，不放回地接連從箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．設(shè)X和Y分別表示這2次取出球中的白球數(shù)，則為多少？ 解：條件期望的含義是：在已知第二次取出的5只球中有1個白球的情況下，第一次取出3只球中平均白球數(shù)是多少？為求得條件期望，先要求得條件下X的條件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是紅球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只紅球中隨機抽3只球，這時X至少為2，因為紅球只有1個，故 　　， 　， 　　， 由此可算得下的條件期望。 9. 某大樓共有10層，某次有25人在一樓搭乘電梯上樓，假設(shè)每人都等可能的在2~10層中的任一層出電梯，且出電梯與否相互獨立，同時

42、在2~10層中沒有人上電梯。又知電梯只有在有人要出電梯時才停，求該電梯停的總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解：由題設(shè)，每人在第i層下電梯的概率均為，設(shè)表示第k人在第i層下電梯，則有， 又 設(shè)，則 因此，電梯停的總次數(shù)為， 。 10. 設(shè)隨機變量X的概率密度為 已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系數(shù)a、b、c。 解：由密度函數(shù)性質(zhì)及已給條件，知有 ，， ，， ， ，， 三個方程，三個變量，解之可得：。 11. 設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且都服從，設(shè)，求。 解：設(shè)，則，由于X與Y相互獨立 ，則有 而，則

43、有 。 因此。 四、證明題 設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，試證明 ． 證明： 　　　　　　 ， 因為X和Y相互獨立，所以有，又 　， 從而有　 。 4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 4.4 原點矩與中心矩 . 三、計算下列各題 1. 若隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布, 求隨機變量,的相關(guān)系數(shù)。 解 。 2. 設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為 , 求：（1）系數(shù),,（3）協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。 解 ； 3. 設(shè)隨機變量X的概率密度為.求： （1）；（2）的協(xié)方差，并問是否不相關(guān)； （3）問是否獨立？為什么？ 解：（1），

44、 （2） （3）對于任意實數(shù)，有 4. 設(shè)隨機變量()的概率密度為, 求的相關(guān)系數(shù)。 。 5. 設(shè)隨機變量服從[]上的均勻分布，令，求。 解 6.二維隨機變量的分布律為 -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 a b 問a,b取何值時，不相關(guān)？此時是否獨立？ 解 （1） ， ， ， ， 若不相關(guān)，則 （2）。 7. 已知隨機變量X與Y分別服從正態(tài)分布, 且X與Y的相關(guān)系數(shù)．設(shè)， 求（１）的數(shù)學(xué)期望和方差；

45、（２）X與的相關(guān)系數(shù)；（３）問X與是否相互獨立？為什么？ 解：(1) ， ， 由于X與Y分別服從正態(tài)分布，所以也服從正態(tài)分布； (2) 因為，注意到 ，且 ， ， 所以 ， 由協(xié)方差定義：； (3)由于X與均服從正態(tài)分布，故“相關(guān)系數(shù)為零”等價于“相互獨立”，因此X與相互獨立。 8. 設(shè)，=，=，=，求和。 解：； 　　 　　　　 　　　　　　 。 9. 若隨機變量X、Y相互獨立同分布，均服從，令，（為不相等的常數(shù)），求隨機變量與的相關(guān)系數(shù)，并說明當(dāng)滿足什么條件時，不相關(guān)。 解：（1）依題意，有　，且． 因為　

46、　， 而　　， 　　?。? 　　　， 由方差公式可求出 　　　，　同理可得　　， 所以?。? 又　　，同理有， 綜合上述結(jié)果，可得 　　　 （2）若不相關(guān)，則，因此，又，則時不相關(guān)。 四、證明題 設(shè)是隨機變量，其中為常數(shù)，且同號.證明： 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理 三、計算題 1. 設(shè)在每次實驗中事件以概率發(fā)生.是否可以用大于0.97的概率確信：在1000次實驗中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600范圍內(nèi)？ 解： 設(shè)表示1000次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)， 則 ，由切比雪夫不等式有 所以可以用大

47、于0.97的概率確信：在1000次實驗中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600范圍內(nèi). 2. 將一顆骰子連續(xù)擲四次，其點數(shù)之和記為，估計概率。 解：設(shè)為擲一次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則其分布律為：， 所以 ， ， ； 依題意 ，所以 . 3. 設(shè)是相互獨立的隨機變量, 且服從參數(shù)的泊松分布,記，利用中心極限定理，求。 解：. 4．設(shè)某部件由10個部分組成，每部分的長度為隨機變量，相互獨立同分布，毫米，毫米，若規(guī)定總長度為（201）毫米是合格產(chǎn)品，求產(chǎn)品合格的概率。 解：設(shè)總長度為， 則　，， 由林德貝格—列維中心極限定理，知 ，所以合格的概率為： 　　 . 5．有1

48、00道單項選擇題，每個題中有4個備選答案，且其中只有一個答案是正確的，規(guī)定選擇正確得1分，選擇錯誤得0分，假設(shè)無知者對于每一個題都是從4個備選答案中隨機地選答，并且沒有不選的情況，計算他能夠超過35分的概率。 解：設(shè)為選擇第題所得到的分數(shù)，由題設(shè)，服從分布， 另設(shè)總得分為，則，且， 由德莫弗–拉普拉斯定理 ， 查正態(tài)分布表可得 . 6.（1）一個復(fù)雜系統(tǒng)由100個相互獨立的元件組成，系統(tǒng)運行期間每個元件損壞的概率為0.1，又知系統(tǒng)運行至少需要85個元件正常工作，求系統(tǒng)可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系統(tǒng)假如由個相互獨立的元件組成，至少80%的元件正常工作，才能使系統(tǒng)正常運行

49、，問至少多大才能保證系統(tǒng)可靠度為0.95？ 解：（1）設(shè)為系統(tǒng)中正常運行完好的元件數(shù)， 則，由德莫弗—拉普拉斯定理， . （2）已知 ，求滿足條件的， 其中 ，同（1）解法， ， 查正態(tài)分布表可得：，取即可. 7. 某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20 %，以表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)。 （1） 寫出的概率分布； （2） 用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶不多于30戶的概率的近似值. 解：（1）服從二項分布，參數(shù)：，即，其概率分布為 ； （2）， 根據(jù)德莫弗–拉普拉斯定理

50、 . 8．某運輸公司有500輛汽車參加保險，在1年里汽車出事故的概率為0.006，參加保險的汽車每年交保險費800元，若出事故保險公司最多賠償50 000元，試?yán)弥行臉O限定理計算，保險公司1年賺錢不小于200 000元的概率。 解：設(shè)為500輛參加保險的汽車中出事故的車輛數(shù)，則服從二項分布，由題設(shè)，保險公司1年的收益為 ，故保險公司1年賺錢不小于200 000元的概率為 ， 從而由德莫弗－拉普拉斯定理 . 9．某工廠生產(chǎn)的燈泡的平均壽命為2000小時，改進工藝后，平均壽命提高到2250小時，標(biāo)準(zhǔn)差仍為250小時.為鑒定此項新工藝，特規(guī)定：任意抽取若

51、干只燈泡，若平均壽命超過2200小時，就可承認此項新工藝.工廠為使此項新工藝通過鑒定的概率不小于0.997，問至少應(yīng)抽檢多少只燈泡？ 解：設(shè)為改進后的燈泡的壽命，由題設(shè)，，又設(shè)為使檢驗通過所需抽取的燈泡數(shù)，依題意可建立如下不等式 ， 或 ， 由林德貝格—列維中心極限定理知， ， 查表可得如下不等式 ， 即需隨機抽取189只燈泡進行壽命檢驗，測得的平均壽命才能以95%的概率保證超過2200小時. 10．設(shè)隨機變量序列要互獨立同分布，且，求。 解：設(shè)，由題設(shè)，，從而 ， 即 ， 由切比雪夫大數(shù)定律，知對，有 . 11．設(shè)隨機變量序列滿足條件，證明 。 證明：因為， 所以由切比雪夫不等式可得 從而有 . 47 / 47