《【創(chuàng)新方案】年高考數學一輪復習 第十篇 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第2講　用樣本估計總體教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】年高考數學一輪復習 第十篇 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第2講　用樣本估計總體教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第2講　用樣本估計總體 【2013年高考會這樣考】 1．考查樣本的頻率分布(分布表、直方圖、莖葉圖)中的有關計算，樣本特征數(眾數、中位數、平均數、標準差)的計算．主要以選擇題、填空題為主． 2．考查以樣本的分布估計總體的分布(以樣本的頻率估計總體的頻率、以樣本的特征數估計總體的特征數)． 【復習指導】 1．由于高考對統(tǒng)計考查的覆蓋面廣，幾乎對所有的統(tǒng)計考點都有所涉及，其中頻率分布直方圖、均值與方差、莖葉圖是核心考點，需要好好掌握．復習時，對于統(tǒng)計的任何環(huán)節(jié)都不能遺漏，最主要的是掌握好統(tǒng)計的基礎知識，適度的題量練習． 2．高考對頻率分布直方圖或莖葉圖與概率相結合的題目考查日益頻

2、繁．因此，復習時要加強這方面的訓練，弄清圖表中有關量的含義，并從中提煉出有用的信息，為后面的概率計算打好基礎．　　 基礎梳理 1．頻率分布直方圖 (1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布；另一種是用樣本的數字特征估計總體的數字特征． (2)作頻率分布直方圖的步驟 ①求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)． ②決定組距與組數． ③將數據分組． ④列頻率分布表． ⑤畫頻率分布直方圖． (3)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數據落在各小組內的頻率用各小長方形的面積表示．各小長方形的面積總和等于1. 2．頻率分布折線圖和總體密度曲線

3、(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得頻率分布折線圖． (2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線． 3．莖葉圖的優(yōu)點 用莖葉圖表示數據有兩個突出的優(yōu)點： 一是統(tǒng)計圖上沒有原始數據信息的損失，所有數據信息都可以從莖葉圖中得到； 二是莖葉圖中的數據可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示． 4．樣本方差與標準差 設樣本的元素為x1，x2，…，xn，樣本的平均數為， (1)樣本方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)樣本標準差： s＝

4、. 兩個異同 (1)眾數、中位數與平均數的異同 ①眾數、中位數及平均數都是描述一組數據集中趨勢的量，平均數是最重要的量． ②由于平均數與每一個樣本數據有關，所以，任何一個樣本數據的改變都會引起平均數的改變，這是中位數、眾數都不具有的性質. ③眾數考查各數據出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數據中的部分數據有關．當一組數據中有不少數據多次重復出現(xiàn)時，其眾數往往更能反映問題． ④某些數據的變動對中位數可能沒有影響．中位數可能出現(xiàn)在所給數據中，也可能不在所給數據中．當一組數據中的個別數據變動較大時，可用中位數描述其集中趨勢． (2)標準差與方差的異同 標準差、方差描述了一組數據圍繞平均

5、數波動的大?。畼藴什?、方差越大，數據的離散程度就越大；標準差、方差越小，數據的離散程度則越小，因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差． 三個特征 利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征： (1)中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數值． (2)平均數：平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和． (3)眾數：最高的矩形的中點的橫坐標． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)某工廠生產滾珠，從某批產品中隨機抽取

6、8粒，量得直徑分別為(單位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，則估計該廠生產的滾珠直徑的平均數為(　　)． A．14.8 mm B．14.9 mm C．15.0 mm D．15.1 mm 解析　平均數＝(14.7＋14.6＋15.1＋15.0＋14.8＋15.1＋15.0＋14.9)＝14.9 (mm)． 答案　B 2．(2012合肥月考)一個容量為100的樣本，其數據的分組與各組的頻數如下： 組別 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]

7、 頻數 12 13 24 15 16 13 7 則樣本數據落在(10,40]上的頻率為(　　)． A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64 解析　由列表可知樣本數據落在(10,40]上的頻數為52，故其頻率為0.52. 答案　C 3．(人教A版教材習題改編)10名工人某天生產同一零件，生產的件數分別是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天10名工人生產的零件的中位數是(　　)． A．14 B．16 C．15 D．17 解析　將這組數據從小到大排

8、列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位數為＝15. 答案　C 4. 某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有(　　)． A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛 解析　由題圖可知，車速大于或等于70 km/h的汽車的頻率為0.0210＝0.2，則將被處罰的汽車大約有2000.2＝40(輛)． 答案　B 5．(2011江蘇)某老師從星期一到星

9、期五收到的信件數分別為10,6,8,5,6，則該組數據的方差s2＝________. 解析　平均數＝＝7. ∴s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋ (6－7)2]＝(9＋1＋1＋4＋1)＝3.2. 答案　3.2　　 考向一　頻率分布直方圖的繪制與應用 【例1】?某校從 參加高一年級期中考試的學生中隨機抽出60名學生，將其物理成績(均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題： (1)求分數在[70,80)內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

10、(2)統(tǒng)計方法中，同一組數據常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據此估計本次考試中的平均分． [審題視點] 利用各小長方形的面積和等于1求[70,80)內的頻率． 解　 (1)設分數在[70,80)內的頻率為x，根據頻率分布直方圖，有(0.010＋0.0152＋0.025＋0.005)10＋x＝1，可得x＝0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示． (2)平均分為：x＝450.1＋550.15＋650.15＋750.3＋850.25＋950.05＝71(分)． 頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個直方圖上可以求出樣本數據在各個組的頻率分布．根據頻率分布直方圖估計樣本(或者總

11、體)的平均值時，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法． 【訓練1】 (2011湖北)有 一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示．根據樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數據落在區(qū)間[10,12)內的頻數為(　　)． A．18 B．36 C．54 D．72 解析　樣本數據落在區(qū)間[10,12)內的頻率1－(0.19＋0.15＋0.05＋0.02)2＝0.18，所以數據落在此區(qū)間的頻數為2000.18＝36. 答案　B 考向二　莖葉圖的應用 【例2】?如圖是某青年歌手 大獎賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數的莖葉圖(其中m為數字0～9中的一個

12、)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數分別為a1、a2，則一定有(　　)． A．a1＞a2 B．a2＞a1 C．a1＝a2 D．a1，a2的大小與m的值有關 [審題視點] 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的數據，剩下的數我們只要計算其葉上數字之和，即可對問題作出結論． 解析　去掉一個最高分和一個最低分后，甲選手葉上的數字之和是20，乙選手葉上的數字之和是25，故a2＞a1.故選B. 答案　B 由于莖葉圖完全反映了所有的原始數據，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表試題時，就要充分使用這個圖表提供的數據進行相關的計算或者是對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著

13、對數據組的平均值或者是方差的計算等． 【訓練2】 在 一項大西瓜品種的實驗中，共收獲甲種大西瓜13個、乙種大西瓜11個，并把這些大西瓜的重量(單位：斤，1斤＝500克)制成了莖葉圖，如圖所示，據此莖葉圖寫出對甲乙兩種大西瓜重量的兩條統(tǒng)計結論是： (1)__________________________________________； (2)__________________________________________． 解析　從這個莖葉圖可以看出，甲種大西瓜的重量大致對稱，平均重量、眾數及中位數都是30多斤；乙種大西瓜的重量除了一個51斤外，也大致對稱，平均重量、眾數及

14、中位數都是20多斤，但甲種大西瓜的產量比乙種穩(wěn)定，總體情況比乙好． 答案　(1)甲種大西瓜的平均重量大于乙種大西瓜　(2)甲種大西瓜的產量比乙種大西瓜穩(wěn)定 考向三　用樣本的數字特征估計總體的數字特征 【例3】?甲乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖． (1)分別求出兩人得分的平均數與方差； (2)根據圖和上面算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價． [審題視點] (1)先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙二人的成績； (2)利用公式求出平均數、方差，再分析兩人的成績，作出評價． 解　(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲：10分，13分，12分，14分，1

15、6分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分. 甲＝＝13， 乙＝＝13， s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s＞s可知乙的成績較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高． 平均數與方差都是重要的數字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數、中位數、眾數描述其集中趨勢，方差和標準差描

16、述其波動大?。? 【訓練3】 甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如下表(單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是________． 解析　甲＝乙＝9環(huán)，s＝[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝＞s，故甲更穩(wěn)定，故填甲． 答案　甲 規(guī)范解答19——怎樣解答莖葉圖與概率的綜合性問題 【問題研究】 莖葉圖是一個將數據分成

17、主、次兩部分，把主要部分當做莖、次要部分當作葉表達數據的一個圖，它是一種常用的統(tǒng)計圖.因此考題常將莖葉圖作為載體來考查平均數、方差以及概率問題. 【解決方案】 首先對莖葉圖中的數據全面分析，然后再根據莖葉圖的數據解決其它問題. 【示例】?(本題滿分12分)(2011北京)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數．乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示． (1)如果X＝8，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差； (2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率． (注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]

18、，其中為x1，x2，…，xn的平均數) 第(1)問直接套入公式求值；第(2)問利用古典概型的知識解決． [解答示范] (1)當X＝8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8,8,9,10，所以平均數為 ＝＝.(2分) 方差為 s2＝ ＝.(5分) (2)記甲組四名同學為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數依次為9,9,11,11；乙組四名同學為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個，它們是： (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(9分) 用C表示：“選出的兩名同學的植樹總棵數為19”這一事件，則C中的結果有4個，它們是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率為P(C)＝＝.(12分) 莖葉圖一般記錄兩組的數據，它最直觀、最清晰，但利用莖葉圖解決概率問題時對重復出現(xiàn)的數據要重復記錄，不能遺漏． 9