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1、 本科畢業(yè)論文(設計) 論文題目：泰勒公式及其應用 學生姓名： 學 號： 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 班 級： 指導教師： 完成日期：2012年 5月20日 泰勒公式及其應用 內(nèi) 容 摘 要 本文介紹泰勒公式及其應用，分為兩大部分：第一部分介紹了泰勒公式的相關基礎知識，包括帶Lagrange余項、帶Peano余項兩類不同泰勒公式；第二部分通

2、過詳細的例題介紹了泰勒公式在八個方面的應用. 通過本文的閱讀，可以提高對泰勒公式及其應用的認識，明確其在解題中的作用，為我們以后更好的應用它解決實際問題打好堅實的基礎. 關鍵詞：泰勒公式 Lagrange余項 Peano余項 應用 The Taylor Formula and The Application Of Taylor Formula Abstract This paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor for

3、mula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula. By reading this pa

4、per,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference. Key Words: Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application 目 錄 一、泰勒公式 1 （一）帶Lagrange余項的泰勒公式 1 （二）帶

5、Peano余項的泰勒公式 2 二、公式的應用 3 （一）、泰勒公式在近似運算上的應用 3 （二）、泰勒公式在求極限中的應用 5 （三）、泰勒公式在方程中的應用 6 （四）、泰勒公式在中值公式證明中的應用 8 （五）、泰勒公式在有關于界的估計中的應用 9 （六）、泰勒公式在證明不等式中的應用 10 （七）、泰勒公式在級數(shù)中的應用 11 （八）、泰勒公式在求高階導數(shù)值中的應用 13 三、結 論 14 參 考 文 獻 15 序 言 泰勒公式是數(shù)學分析中一個非常重要的內(nèi)容，它將一些復雜函數(shù)近似地表

6、示為簡單的多項式函數(shù).這種化繁為簡的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學問題的有力杠桿. 因為泰勒公式在解決一些數(shù)學問題時的確有著不可替代的作用，故有關它的理論在教材中一般都有比較詳細的介紹，而關于它的應用則介紹甚少或不全面.本文比較詳細地介紹了泰勒公式在近似計算、求極值、方程、證明中值公式、關于界的估計、證明不等式、級數(shù)、高階導數(shù)值等方面的應用.作者在閱讀了大量參考文獻的基礎上，通過例題給出了泰勒公式的許多應用，使我們能更直接的看到泰勒公式在各方面的運用. 一、泰勒公式 對于函數(shù)，設它在點存在直到階的導數(shù).由這些導數(shù)構造一個次多項式 ， 稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式. 泰勒公式

7、根據(jù)所帶的余項的不同有不同的定義.泰勒公式的余項分為兩類，一類是定量的，一類是定性的，它們的本質(zhì)相同，但性質(zhì)各異.下面我們來介紹一下： （一）帶Lagrange余項的泰勒公式 對于這種泰勒公式，Lagrange余項是一種定量形式. 定理1 若函數(shù)在上存在直到階的連續(xù)導函數(shù)，在內(nèi)存在直到階導函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點，使得 ， 該式稱為（帶有Lagrange余項的）泰勒公式. 證明 作輔助函數(shù) ，， 所以要證明的式子即為 . 不妨設，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導， 且 ， 又因，所以由柯西中值定理證得 ，

8、 其中. 所以定理1成立. （二）帶Peano余項的泰勒公式 對于這種泰勒公式，Peano余項是一種定性形式. 定理2 若函數(shù)在點存在直到階導數(shù)，則有，即 ， 稱為函數(shù)在點處的（帶有Peano余項的）泰勒公式，該公式定性的說明當趨于時，逼近誤差是較高階的無窮小量. 證明 設 ，， 現(xiàn)在只需證 . 由可知， . 并易知 ， 因為存在，所以在點的某鄰域內(nèi)存在階導函數(shù).于是，當 且時，允許接連使用洛必達（LHospital）法則次，得到 所以定理2成立. 當時，得到泰勒公式 ，

9、 該式稱為（帶有Lagrange余項的）麥克勞林公式. 當上式中時有 ， 它稱為（帶有Peano余項的）麥克勞林公式. 二、公式的應用 （一）、泰勒公式在近似運算上的應用 利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計算式和一些數(shù)值的近似計算，利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計算式為 ， 其誤差是余項. 例1：計算的值，使其誤差不超過. 解 應用泰勒公式有 ，， 估， 當時，便有 ， 從而略去而求得的近似值為. 例2: 求的近似值，精確到. 解 因為中的被積函數(shù)是不可積的（即不能用初級函數(shù)表達），現(xiàn)用泰勒公式的方法 求的近似值. 在的展開式中

10、以代替得， 逐項積分，得 ， 上式右端為一個收斂的交錯級數(shù)，由其余項的估計式知 ， 所以 . 由于泰勒公式可以將一些復雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，所以當選定函數(shù)中的自變量時，就可以進行近似計算.在這個應用中主要注意選擇適當?shù)暮瘮?shù)，然后運用麥克勞林展開式，帶入數(shù)值. （二）、泰勒公式在求極限中的應用 為了簡化極限運算，有時可用某項的泰勒展開式來代替該項，使得原來函數(shù)的極限轉化為類似多項式有理式的極限，就能簡潔的求出.接下來我們用兩個例子來說明： 例3：求極限. 解 考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子（?。? ，

11、 ， ， 因而求得，. 例4: 求極限 . 解 ， ， 原式==. 由上邊兩個例子可見，因為通常情況下對于函數(shù)多項式和有理分式的極限問題的計算是十分簡單的，所以對于一些復雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來的復雜的問題轉化為類似多項式和有理分式的極限問題.綜上所述，在式子滿足下列情況時可以考慮用泰勒公式來求極限： (1)用洛必達法則時，次數(shù)比較多、求導過程和化簡過程比較復雜的情況. (2)分子或分母中有無窮小的差， 且此差不容易轉化為等價無窮小替代形式. (3)函數(shù)可以很容易的展開成泰勒公式. （三）、泰勒公式在方程

12、中的應用 泰勒公式在函數(shù)方程中應用比較廣泛，題型也比較多，主要有判斷根，方程次數(shù)等等一些證明類問題，做此類題，要注意觀察題目中導數(shù)階數(shù)，以便用泰勒公式展開到相應階數(shù).我們用三個例子來說明： 例5: 設在上二階可導，且，，對， 證明 在內(nèi)存在唯一實根. 分析： 這里是抽象函數(shù)，直接討論的根有困難，由題設在上二階可導且，，可考慮將在點展開一階泰勒公式，然后設法應用介值定理證明. 證明 因為，所以單調(diào)減少，又，因此時，， 故在上嚴格單調(diào)減少.在點展開一階泰勒公式有 . 由題設，，于是有，從而必存在，使得， 又因為，在上應用連續(xù)函數(shù)的介值定

13、理，存在，使，由的嚴格單調(diào)性知唯一，因此方程在內(nèi)存在唯一實根. 例6： 設在內(nèi)有連續(xù)三階導數(shù)，且滿足方程， . （1） 試證：是一次或二次函數(shù). 證明 問題在于證明：或.為此將（1）式對求導，注意與無 關.我們有 ， （2） 從而 . 令取極限，得，. 若，由此知為一次函數(shù)；若，（2）式給出 ， 此式兩端同時對求導，減去，除以，然后令取極限，即得，為 二次函數(shù). 例7： 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導數(shù)，且 ， 試證：，使得內(nèi). 證明

14、 為了證明在處的鄰域內(nèi)恒為零.我們將（3）式右端的，在 處按公式展開.注意到.我們有 ， . 從而 ， 今限制，則在上連續(xù)有界，，使得 我們只要證明即可.事實上 ， ， ， . 即.所以，在上. 由以上例題可見，在函數(shù)方程方面，泰勒公式對于求二階或二階以上的連續(xù)導數(shù)的問題來說十分的好用，主要是通過作輔助函數(shù)，對有用的點進行泰勒公式展開并對余項作合適的處理. （四）、泰勒公式在中值公式證明中的應用 由于泰勒公式將函數(shù)和它的高階導數(shù)結合了起來，所以遇到這類有高階導數(shù)的證明時，首先應考慮用泰勒公式來求解.接下來我們用一個例子來說明： 例8： 設在上三次可導

15、，試證：，使得 . 證明 設為使下式成立的實數(shù)： ， 這時，我們的問題歸為證明：，使得. 令. 則， 根據(jù)Rolle定理，，使得即： . 這是關于的方程，注意到在點處的泰勒公式： . （五）、泰勒公式在有關于界的估計中的應用 我們知道有些函數(shù)是有界的，有的有上界，而有的有下界，結合泰勒公式的知識與泰勒公式的廣泛應用，這里我們將探討泰勒公式關于界的估計，下面通過例題來分析. 例9： 設在[0，1]上有二階導數(shù)，時，.試證：當 時，. 證明 ， ， 所以 ， ， . 例10： 設二次可微，，，試證. 證

16、明 因在上連續(xù)，有最大、最小值.又因，， 最大值在內(nèi)部達到.所以使得. 于是為最大值.由Fermat定理，有，在處按泰勒公式展開， 使得： ， . 因此 . 而 時，， 時，， 所以 . 由上邊例題可以總結出一些經(jīng)驗，比如當遇到求有關于界的問題，且涉及高階導數(shù)時，通?？紤]用泰勒公式來解題.在解題時可以應用這個經(jīng)驗嘗試解題. （六）、泰勒公式在證明不等式中的應用 當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合物，不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替，往往使證明方便簡捷. 例11： 設在上二次可微，.試證： ，有. 證明 取，將在處按泰勒公式展開有： ，

17、 ， 以乘此式兩端，然后個不等式相加，注意， ， 得. 例12: 當時，證明. 證明 取，，則 . 帶入泰勒公式，其中，得 ，其中. 故 當時，. 由此可見，關于不等式的證明，有多種方法，如利用拉格朗日中值定理來證明不等式，利用函數(shù)的凸性來證明不等式，以及通過討論導數(shù)的符號來得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式的方法.但歸結起來都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以證明不等式時，注意應用泰勒公式這個重要方法. （七）、泰勒公式在級數(shù)中的應用 在級數(shù)斂散性的理論中，要判斷一個正項級數(shù)是否收斂，通常找一個簡單的函數(shù)，，

18、在用比較判定法來判定，但是在實際應用中比較困難的問題是如何選取適當?shù)模ㄖ械闹担? 如 當，此時收斂，但是， 當時，此時發(fā)散，但是. 在這種情況下我們就無法判定的斂散性，為了更好的選取中的值，使得且，在用比較判別法，我們就可以判定的斂散性. 例13: 討論級數(shù)的斂散性. 分析：直接根據(jù)通項去判斷該級數(shù)是正向級數(shù)還是非正項級數(shù)比較困難，因而也就無法恰當選擇判斂方法，注意到，若將其泰勒展開為的冪的形式，開二次方后恰與相呼應，會使判斂容易進行. 解 因為 ， 所以 ， 從而 ， 故該級數(shù)是正項級數(shù). 又因為 ， 所以 . 因為 收斂，所以由正項級數(shù)比較判別法

19、知原級數(shù)收斂. 利用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，通過加減乘等運算進而可以求得一些較復雜的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式. 例14: 求的冪級數(shù)展開式. 解 利用泰勒公式 由例題可見，當級數(shù)的通項表達式是由不同類型函數(shù)式構成的繁難形式時，往往利用泰勒公式將級數(shù)通項簡化成統(tǒng)一形式，以便利用判斂準則.利用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，通過加減乘等運算進而可以求得一些較復雜的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式. （八）、泰勒公式在求高階導數(shù)值中的應用 如果泰勒公式已知，其通項中的加項的系數(shù)正是，從而可反過來求高階導數(shù)數(shù)值，而不必再依次求導. 例15: 求函數(shù)在處的高階導數(shù). 解 設，則 ，，

20、在的泰勒公式為 ， 從而 ， 而中的泰勒展開式中含的項應為，從的展開式知的項為，因此 ，, . 通過泰勒公式求高階導數(shù)，這是泰勒公式比較簡單的一種應用，重點就在于掌握，其通項中的加項的系數(shù)正是.在求導數(shù)時只需在系數(shù)上乘以即可. 三、結 論 泰勒公式是數(shù)學分析中的重要組成部分，是一種非常重要的數(shù)學工具.它集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在微積分學及相關領域的各個方面都有重要的應用.本文介紹了泰勒公式以及它在八個方面應用，使我們對泰勒公式有了更深一層的理解，對怎樣應用泰勒公式解答具體問題有了更深一層的認識，只要在解題過程中注意分析，研究題設條件及其形式特點，并把握上述處理規(guī)則，

21、就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧. 參 考 文 獻 [1]華東師范大學數(shù)學系，《數(shù)學分析》（上），高等數(shù)學出版社，2008，134-141 [2]裴禮文，《數(shù)學分析中的典型問題及方法》，高等教育出版社，2009，150-157 [3]同濟大學數(shù)學教研室主編，《高等數(shù)學》，人民教育出版社，2007，139-145 [4]劉玉璉，《數(shù)學分析講義》，人民教育出版社，2000，120-138 [5]張利凱，《高等數(shù)學學習輔導》，科學技術文獻出版社，2002，138-156 [6]M.克萊因，《古今數(shù)學思想》，上海科學技術出版社，198

22、8，165-168 [7]W.蓋勒特、H.奎斯特納等，《簡明數(shù)學全書Ⅱ.高等數(shù)學與現(xiàn)代數(shù)學》，上?？茖W技術出版社，1985，295-297 [8]H.J.巴茨，《數(shù)學公式書冊》，科學出版社，1987，439-440 [9]閔祥偉，《高等數(shù)學學習指導與例題分析》，北京郵電大學出版社，2004，520-521，539-540 [10]吳炯圻，陳躍輝等，《高等數(shù)學及其思想方法與實驗》（上），廈門大學出版社，2008，122-127 [11]上海財經(jīng)大學應用數(shù)學系，《高等數(shù)學》，上海財經(jīng)大學出版社，2004，66-71 [12]蔡子華，《新編高等數(shù)學導學》，科學出版社，2002，336-337，369-376 15