《【數(shù)學課件】數(shù)值計算方法(第4章)21》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【數(shù)學課件】數(shù)值計算方法(第4章)21（80頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一章 1. 1. 解下列方程組, 并在直角坐標系中作出圖示. 1); 2); 3). 解: 1) 將第一個方程減去第二個方程, 得2y=-1, y=-1/2, 再代入第個方程解得x=1+1/2=3/2, 繪出圖示如下圖所示, 兩直線相將于一點方程有唯一解. 2) 將第二個方程除以3得, 與第一個方程相比較知此方程組為矛盾方程組, 無解, 繪出圖示如下圖所示 3) 將第2個方程除以2, 可以得到第一個方程, 令y=t為任意實數(shù), 則x=1+t, 方程組的解集為(1+t, t), 圖示如下圖所示, 方程的解集為一條直線. 2. 用Gauss消元法解下列線性方

2、程組. 1) 2) 3) 4) 解: 1) 對增廣矩陣進行變換: 則x3為自由變量, 令x3=t為任意實數(shù), 則x1=10-3t, x2=5t-7, 方程有無窮多解, 解集為 (10-3t, 5t-7, t). 2) 對增廣矩陣進行變換: 則x3為自由變量, 令x3=t為任意實數(shù), 則x1=-t, x2=2t-1, 解集為(-t, 2t-1, t). 3) 對增廣矩陣進行變換: 方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1. 4) 此為齊次方程, 對系數(shù)矩陣進行變換 可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0. 3. 確定下列線性方程組中k的值滿足所要求

3、的解的個數(shù). 1) 無解: 2) 有唯一解: 3) 有無窮多解: 解: 1) 對增廣矩陣作變換: 因此, 要使方程組無解, 須使8-3k=0, 解得k=8/3, 即當k取值為8/3時, 方程無解. 2) 對增廣矩陣作變換: 因此, 如要方程組有唯一解, 必須有, 即. 3) 對增廣矩陣作變換 因此, 如要方程組有無窮多解, 必須4-4k=0, 即當k=1時, 方程組才有無窮多解. 4. 證明: 如果對所有的實數(shù)x均有ax2+bx+c=0, 那么a=b=c=0. 證: 既然對所有的實數(shù)x都有ax2+bx+c=0成立, 那么具體地分

4、別取x=0, x=1, x=2代入上式也成立, 則有 , 這是關于a,b,c的齊次線性方程組, 對其系數(shù)矩陣作變換: 看出此方程只有唯一零解, 因此有a=b=c=0. 5. 討論以下述階梯矩陣為增廣矩陣的線性方程組是否有解; 如有解區(qū)分是唯一解還是無窮多解. 1) 2) 3) 4) 解: 1) 方程組有一個自由變元x2, 因此方程組有無窮多解. 2) 方程組的三個變元均為首項變元, 因此方程組有唯一解. 3) 第三個方程0=4說明此方程無解. 4) 方程組的三個變元均為首項變元, 因此方程組有唯一解. 6. 對給定方程組的增廣矩陣施行行初等變換求解線性方

5、程組.. 1) 2) 3) 解: 1) 對增廣矩陣進行變換: 方程組無解. 2) 對增廣矩陣進行變換 可以看出y和w為自由變元, 則令y=s, w=t, s與t為任意常數(shù), 則x=100-3s+96t, z=54+52t. 方程的解集表示為(100-3s+96t, s, 54+52t, t). 3) 對增廣矩陣進行變換 可知y與z為自由變元, 令y=s, z=t, s與t均為任意實數(shù), 則 , 方程組的解集為 7. 對給定齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行行初等變換求解下列方程組. 1) 2) 解: 1) 對系數(shù)矩陣作初等變換. 方程只有零解,

6、 x=y=z=0. 2) 對系數(shù)矩陣作初等變換 因此, w為自由變元, 令w=t為任意實數(shù), 則x=-2t, y=0, z=t, 方程組的解集為 (2t, 0, t, t). 8. 設一線性方程組的增廣矩陣為 求α的值使得此方程組有唯一解. 解: 對增方矩陣求初等變換 因此, 此方程組要有唯一解, 就必須滿足α+2≠0, 即α≠-2. 9. 設一線性方程組的增廣矩陣為 1) 此方程有可能無解嗎? 說明你的理由. 2) β取何值時方程組有無窮多解? 解: 1) 此方程一定有解, 因為此方程是齊次方程, 至少有零解. 2) 對此增廣矩陣做初等變換

7、 因此, 只有當β+5=0, 即β=-5時,方程才有無窮多解. 10. 求λ的值使得下述方程組有非零解. 解: 對系數(shù)矩陣作初等行變換: 因此, 要使方程有非零解, 必須有(λ-2)2+1=0, 但(λ-2)2+1≥0對λ取任何實數(shù)值總是成立, 因此必有(λ-2)2+1≠0, 因此, 無論λ取什么值此方程組都不會有非零解. 11. 求出下列電路網(wǎng)絡中電流I1,I2,I3的值. 解: 根據(jù)基爾霍夫定律可得如下方程組: 對增廣矩陣做初等行變換 最后得I1=7/13, I2=22/13, I3=15/13 12. 一城市局部交通流如圖所示.(單位:

8、輛/小時) 1) 建立數(shù)學模型 2) 要控制x2至多200輛/小時, 并且x3至多50輛小時是可行的嗎? 解: 1} 將上圖的四個結(jié)點命名為A, B, C, D, 如下圖所示: 則每一個結(jié)點流入的車流總和與流出的車流總和應當一樣, 這樣這四個結(jié)點可列出四個方程如下: 對增廣矩陣進行變換: 可見x3和x5為自由變量, 因此令x3=s, x5=t, 其中s,t為任意正整數(shù)(車流量不可能為負值), 則可得x1=500-s-t, x2=s+t-200, x4=350-t. 2) 令x2=200, x3=s=50, 代入上面的x2的表達式, 得200=50+t-200, 求

9、出t=350, 則x1=500-s-t=100, x4=0, 是可行的. 13. 在應用三的貨物交換經(jīng)濟模型中, 如果交換系統(tǒng)由下表給出, 試確定農(nóng)作物的價值x1, 農(nóng)具及工具的價值x2, 織物的價值x3的比值. 解: 根據(jù)上表可得關于x1, x2,x3的三個齊次方程如下: 對系數(shù)矩陣做行初等變換: 可見方程有非零解, x3為自由變量, 令x3=t為任意正實數(shù), 則有x1=x2=x3=t, 即三種價值的比值為1:1:1. 第二章 2. 1. 寫出下列方程組的矩陣形式: 1) x1-2x2+5x3=-1; 2) 3) 解: 1) ; 2)

10、; 3) 2. 設 , 求: 1) 3A-2B; 2) 若X滿足AT+XT=BT, 求X.. 解: 1) 2) 因X滿足AT+XT=BT, 等號兩邊同時轉(zhuǎn)置, 有 A+X=B, 等號兩邊同時減去A, 得 X=B-A, 因此有 3. 計算下列矩陣的乘積: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 解: 1) 2) 3) 4) 4. 設 求: 1) (A+B)(A-B); 2) A2-B2. 比較1)和2)的結(jié)果, 可得出什么結(jié)論? 解: 1) 2) 可得出的結(jié)論: 大家知道

11、, 在代數(shù)公式上有a2-b2=(a+b)(a-b), 而將此公式中的a和b換成矩陣A與B, 就不一定成立了, 這是因為矩陣乘法一般不滿足交換律, 即一般AB≠BA, 當然也就有A2-B2≠(A+B)(A-B). 5. 已知矩陣A,B,C, 求矩陣X,Y使其滿足下列方程: 解: 將此方程編上號, 用類似解線性方程組一樣的辦法來解, 將方程(1)的左邊和(2)的左邊和左邊相加, 右邊和右邊相加, 等號還是成立, 得: 3X=C+(A+B)T 兩邊同乘1/3, 得 (3) (2)式等號兩邊都加上X, 得 Y=(A+B)T-X (4) 將(3)式代入到(4)式

12、, 得 因此 6. 如矩陣AB=BA, 則稱A與B可交換, 試證: 1) 如果B1, B2都與A可交換, 那么B1+B2, B1B2, 也與A可交換; 2) 如果B與A可交換, 那么B的k(k>0)次冪Bk也與A可交換. 證: 1) 因B1, B2都與A可交換, 即AB1=B1A, AB2=B2A, 則 (B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2) 即B1+B2與A可交換. 而且 (B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2), 因此B1B2與A可交換. 2)因B與A可交換, 即AB=BA,

13、 則用歸納法, 當k=1時, 有B1=B, 結(jié)論顯然成立. 假設當k=m時假設成立, 即ABm=BmA, 則當k=m+1時, 有 ABm+1=ABmB=BmAB=BmBA=Bm+1A, 結(jié)論也成立. 7. 如矩陣A=AT, 則稱A為對稱矩陣. 設A,B都是n階對稱矩陣, 證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA. 證: 已知A=AT, B=BT, 充分性: 假設AB=BA, 則(AB)T=BTAT=BA=AB, 因此AB為對稱矩陣. 必要性: 如果AB為對稱矩陣, 即(AB)T=AB, 則因 (AB)T=BTAT=BA, 可得BA=AB. 8. 設

14、 其中ai≠aj, 當i≠j (i, j = 1,2, …, n). 試證: 與A可交換的矩陣一定是對角矩陣. 證: 假設矩陣B={bij}n與A可交換, 即有BA=AB, 而BA相乘得到的矩陣為B的第j列所有元素都乘上aj得到的矩陣, AB相乘得到的矩陣為B的第i行元素都乘上ai得到的矩陣. 即 BA={ajbij}n, AB={aibij}n, 但對于任給的i,j,i≠j, 因AB=BA, 因此有ajbij=aibij, 因ai≠aj, 所以必有bij=0, 即B只能是對角矩陣. 9. 檢驗以下兩個矩陣是否互為可逆矩陣? 解: 計算AB和BA如下: 因此A與B確

15、實互為逆矩陣. 10. 設A,B,C為n階方陣, 且C非奇異, 滿足C-1AC=B, 求證Bm=C-1AmC (m為正整數(shù)). 證: 用歸納法, 當m=1時條件已經(jīng)成立為C-1AC=B, 假設當m=k時, 命題成立, 即有 Bk=C-1AkC, 則當m=k+1時, 有 Bk+1= BkB= C-1AkCC-1AC= C-1Ak(CC-1)AC= C-1AkIAC= C-1AkAC= C-1Ak+1C, 命題得證. 11. 若n階矩陣A滿足A2-2A-4I=0, 試證A+I可逆, 并求(A+I)-1. 證: 將A2-2A-4I=0改寫為A2-2A-3I=I, 先解一元

16、二次方程組x2-2x-3=0, 根據(jù)公式 其中a=1, b=-2, c=-3, 則, 因此可將多項式x2-2x-3因式分解為 x2-2x-3=(x-3)(x+1), 那么, 根據(jù)矩陣相乘相加的性質(zhì)也就能將A2-2A-3I因式分解為 A2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I), 因此我們有 (A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I, 即A+I與A-3I 互為逆矩陣, (A+I)-1=A-3I. 12. 證明: 如果A=AB, 但B不是單位矩陣, 則A必為奇異矩陣. 證: 用反證法, 假設A為可逆, 其逆為A-1, 則對于A=AB兩邊同時左乘A-

17、1, 得 A-1A=A-1AB, 即I=B, 這與B不是單位矩陣相矛盾, 因此A必為奇異矩陣. 13. 判別下列矩陣是否初等矩陣? 1) , 2) 3) , 4) 解: 1) 是初等矩陣P(2(-2)), 2) 是初等矩陣P(1,3), 3) 不是初等矩陣, 4) 是初等矩陣P(3(-4), 2). 14. 求3階方陣A滿足 解: 從等式看出A左乘一矩陣相當于對此矩陣作初等行變換r3(-5)+r1, 因此A為一相應的初等矩陣, 即 15. 設A,B,C均為n階可逆矩陣, 且ABC=I, 證明BCA=I 證: 因B,C為可逆矩陣, 則BC也

18、是可逆矩陣, 且(BC)-1=C-1B-1, 因ABC=I, 對此等式兩邊右乘(BC)-1, 即ABC(BC)-1=I(BC)-1, 因為BC(BC)-1=I, 因此上式化簡為A=(BC)-1, 因此當然有 BCA=BC(BC)-1=I. 16. 設A,B均為n階方陣, 且, 證明: A2=A的充分必要條件是B2=I. 證: 充分性: 假設B2=I, 則 必要性: 如果A2=A, 則有 等式兩邊乘4得 , 等式兩邊同時減去2B+I得 B2=I 證畢. 17. 如果n階矩陣A滿足A2=A, 且A≠I, 則A為奇異矩陣. 證: 用反證法, 假設A為可逆

19、, 其逆為A-1, 則上式兩邊左乘(或者右乘)A-1, 得 AAA-1=AA-1, 即A=I, 但這與A≠I相矛盾, 因此A的逆不存在, 即A為奇異矩陣. 18. 求下列矩陣的逆矩陣: 1) ; 2) 3) 解: 用對[A|I]進行行初等變換為[I|A-1]的辦法來求: 1) 因此, 最后得 2) 因此有 3) 因此, 最后得 19. 解下列矩陣方程, 求出未知矩陣X. 1) 2) 解: 令, 則要解的方程為AX=B 將方程兩邊左乘上A的逆A-1, 可得A-1AX=A-1B, 即 X=A-1B

20、 下面求A-1: 因此有 因此 2) 令則矩陣方程為XA=B 設A的逆存在為A-1, 則方程兩邊右乘A-1, 得XAA-1=BA-1, 即 X=BA-1 下面求A-1: 因此, 最后得 20. 求矩陣X滿足AX=A+2X, 其中 解: 將方程兩邊減去2X, 得AX-2X=A 因2X=2IX, 因此上面的方程可以從右邊提取公因子X, 得 (A-2I)X=A 假設A-2I可逆, 則方程兩邊同時左乘(A-2I)-1, 得(A-2I)-1(A-2I)X=(A-2I)-1A, 即X=(A-2I)-1A 設B=A-2I, 則X=

21、B-1A, 而 下面用行初等變換求B的逆B-1: 則 最后得 驗算: 21. 利用分塊的方法, 求下列矩陣的乘積: 1) ; 2) 解: 1) 將乘積分塊為 其中 2) 將乘積分塊為 第三章 3. 1. 計算下列行列式: 1) ; 2) ; 3) 解: 1) ; 2) ; 3) . 2. 計算下列三階行列式: 1) ; 2) ; 3) 解: 1) 將行列式按第一列展開 2) 將行列式按第二行展開 3) 3. 計算下列行列式: 1) ; 2) ; 3) 解: 1) 將行列式按第一列

22、展開后, 得到的各子式再按第二列展開, 這樣展開后的后三列構(gòu)成的任何三階子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三階子式均為0, 整個行列式的值D=0. 2) 將行列式按第一列展開得 3) 先對第一列展開, 然后對第二列展開, 得 4. 利用行列式的性質(zhì)計算下列行列式 1) ; 2) ; 3) 解: 下面都將所求行列式的值設為D. 1) 因為第1行加到第2行以后, 第2行將和第4行相等, 因此行列式的值D=0; 2) 首先從第1,2,3行分別提取公因子a,d,f, 再從第1,2,3列提取公因子b,c,e, 得 3) 將第2,3,4列都展開, 并統(tǒng)統(tǒng)減去第1列,

23、 得 再將第3列減去2倍的第2列, 第4列減去3倍的第2列, 得 5. 把下列行列式化為上三角形行列式, 并計算其值 1) ; 2) 解: 1) 2) 6. 計算下列n階行列式 1) 2) 解: 1) 設此行列式的值為D, 將第2,3,…,n列均加于第一列, 則第一列的所有元素均為 , 將此公因式提出, 因此有 再令第n行減去第n-1行, 第n-1行減去第n-2行, …, 第2行減去第1行, 可得 2) 此題和第3題的2)一樣, 因此有 7. 證明下列行列式 1) 2) 證: 1) 2) 用

24、歸納法, 設Dn為所求行列式值, 當n=1時, , 等式成立. 假設當n=k時假設成立, 即有 當n=k+1時, 證畢. 8. 求矩陣的伴隨矩陣A*, 并求A-1. 解: 因此得 A的行列式為 因此有 9. 設A為三階方陣, A*是A的伴隨矩陣, 且|A|=1/2, 求行列式|(3A)-1-2A*|的值. 解: 因, 以及, 還有, 則 10. 設A為n階可逆陣, A2=|A|I, 證明: A的伴隨矩陣A*=A. 證: 因A可逆, 則在等式A2=|A|I兩邊乘A-1, 得A=|A|A-1, 即 , 而因為, 所以有A=A

25、*, 證畢. 11. 用克萊姆法則解下列方程組. (1) (2) 解: (1) 方程的系數(shù)矩陣A為 , 常數(shù)向量, 則求A的逆矩陣: 因此得 則方程的解X為 即x1=3,x2=4,x3=5. (2) 方程的系數(shù)矩陣A為 , 常數(shù)向量 先求A的逆A-1: 因此有 則 即x1=0, x2=2, x3=0, x4=0. 12. 如果齊次線性方程組有非零解, k應取什么值? 解: 此方程組的系數(shù)矩陣A為 要使方程組有非零解, 必須有det(A)=0. 而 因此, 只有當k=5或者k=2

26、或者k=8時, 此方程組才有非零解. 13. 問λ, μ取何值時, 齊次線性方程組 有非零解? 解: 此方程組的系數(shù)矩陣A為 , 要使方程組有非零解, 必須det(A)=0, 而 因此, 只有當λ=1或者μ=0時, 方程組才有非零解. 4. 1. 設α1=(1,1,1), α2=(-1,2,1), α3=(2,3,4), 求β=3α1+2α2-α3 解: β=3α1+2α2-α3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4) =(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)

27、 2. 設3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α), 求α, 其中 α1=(2,5,1,3), α2=(10,1,5,10), α3=(4,1,-1,1) 解: 將上述方程整理: 3α1-3α+2α2+2α=5α3+5α -3α+2α-5α=-3α1-2α2+5α3 (-3+2-5)α=-3α1-2α2+5α3 -6α=-3α1-2α2+5α3 最后得 3. 設R為全體實數(shù)的集合, 并且設 , . 問V1,V2是否向量空間? 為什么? 解: (一般的技巧: 凡是對Rn作一個齊次線性方程的約束的集合都是向量子空間, 而作非齊次線性方程的約束的集合則因為它不穿

28、過原點, 就不是向量子空間). V1是向量空間, 且是Rn的向量子空間, 因為, 而任給, 設 則令, 則因 , 則, 因為, 而 則, 因此, V1是Rn的向量子空間. 而V2不是向量空間, 是因為, 零向量O不屬于V2, . 4. 試證: 由所生成的向量空間就是R3 證: 因為, 只須證, 任給, 試求實數(shù)x1,x2,x3使 x1α1+x2α2+x3α3=D, 即 x1(0,0,1)+x2(0,1,1)+x3(1,1,1)=(x3,x2+x3,x1+x2+x3)=(d1,d2,d3) 也就是解線性方程組 對其增廣矩陣進行行初等變換成階梯形矩

29、陣: 可見方程有解, 因此得證. 5. 判數(shù)下列向量是線性相關還是線性無關. 1) α1=(1,1), α2=(2,2); 2) α1=(2,3), α2=(1,4), α3=(5,6); 3) α1=(1,1,1), α2=(2,1,3), α3=(0,1,2); 4) α1=(a11,0,0,…,0), α2=(0,a22,0,…,0),…,αn=(0,0,…,ann); 解: 1) 考察齊次方程x1α1+x2α2=O, 即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0), 整理得(x1+2x2, x1+2x2)=(0,0), 再寫成如下的形式: 對系數(shù)矩陣

30、進行行初等變換: 存在一自由變量x2, 方程有非零解, 因此α1,α2線性相關. 2) 考察齊次方程x1α1+x2α2+x3α3=O 即x1(2,3)+x2(1,4)+x3(5,6)=(0,0) 整理得(2x1+x2+5x3, 3x1+4x2+6x3)=(0,0) 再寫成如下形式: 則因方程數(shù)少于變元數(shù), 必有非零解, 因此α1,α2,α3線性相關. 3) 考察齊次方程x1α1+x2α2+x3α3=O 即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0) 整理得(x1+2x2, x1+x2+x3, x1+3x2+2x3)=(0,0,0) 再寫

31、成如下形式: 對系數(shù)矩陣進行初等行變換 方程沒有自由變量, 只有唯一零解, 因此α1,α2,α3線性無關. 4) 考察齊次方程x1α1+x2α2+…+xnαn=O, 即x1(a11,0,0,…,0,0)+x2(0,a22,0,…,0,0)+…+xn(0,0,…,0,ann)=(0,0,…,0) 整理得(a11x1,a22x2,…annxn)=(0,0,…,0) 再寫成如下形式: 由于, 此齊次方程組只有零解, 因此α1,α2,…,αn線性無關. 6. 設β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1, 證明向量組β1,β2,β3,β

32、4線性相關. 證: 只須證明齊次方程 x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=O (1) 有非零解, 即證明了向量組β1,β2,β3,β4線性相關. 將β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1代入(1)式, 得 x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α4)+x4(α4+α1)=O 整理后得 (x1+x4)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3+(x3+x4)α4=O 因此, 只須找到不全為零的x1,x2,x3,x4使得上式中的α1,α2,α3,α4,的系數(shù)等于0, 則命題得證. 也就是要使

33、 (2) 解此齊次方程組, 對系數(shù)矩陣進行行初等變換得: 方程有一個自由變量x4, 因此方程組(2)有非零解, 此解也就滿足方程組(1), 因此β1,β2,β3,β4線性相關. 7. 設向量組α1,α2,…,αs 線性無關, 證明向量組α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs也線性無關. 證: 考察齊次方程組 x1α1+x2(α1+α2)+…+xs(α1+α2+…+αs)=O (1) 整理后得 (x1+x2+…+xs)α1+(x2+…+xs)α2+…+xsαs=O (2) 因為α1,α2,…,αs線性無關, 因此要使(2)式乃至(1)式成立必

34、有(2)中的α1,α2,…,αs的各個系數(shù)為0, 即 此齊次方程組的系數(shù)矩陣為上三角方陣, 對角線上元素全為1, 因此只有零解, 即齊次方程組(1)也只有零解, 因此向量組α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs線性無關. 8. 設α1,α2,α3是一組3維向量, 已知3維單位坐標向量 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) 能由α1,α2,α3線性表出, 證明α1,α2,α3線性無關. 證: 用反證法, 假設α1,α2,α3線性相關, 則存在不全為零的數(shù)x1,x2,x3, 使得 x1α1+x2α2+x3α3=O 不妨假設x1≠0, 則可

35、得, 既然α1可由α2,α3線性表出,即 α1,α2,α3可由α2,α3線性表出, 則根據(jù)題意e1,e2,e3又可被α1,α2,α3線性表出, 則e1,e2,e3可被α2,α3線性表出, 則三個向量可被少于三個的向量線性表出, 其必線性相關. 但我們知道e1,e2,e3線性無關, 因此導出矛盾. 這就證明了α1,α2,α3必線性無關. 9. 設n維向量組α1,α2,…,αm線性相關. 證明: 任意加上h個n維向量αm+1,αm+2,…,αm+h構(gòu)成的向量組α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也線性相關. 證: 因向量組α1,α2,…,αm線性相關, 因此必有不全為零

36、的數(shù)x1,x2,…,xm使得 x1α1+x2α2+…+xmαm=O, 因此, 選取m+h個數(shù), 前面m個與x1,x2,…,xm相同, 后面h個數(shù)為0, 則這樣的m+h個數(shù)仍然是不全為零, 且有 x1α1+x2α2+…+xmαm+0αm+1+0αm+2+…+0αm+h=O 所以向量組α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也線性相關. 10. 判斷下述向量組是否線性相關? α1=(1,0,…,0,a1), α2=(0,1,…,0,a2), …, αn=(0,0,…,1,an) 解: 因為向量組α1,α2,…,αn是由單位坐標向量組 e1=(1,0,…,0),

37、 e2=(0,1,…,0), …, en=(0,0,…,1) 增加一個分量構(gòu)成的Rn+1中的向量組, 而因為e1,e2,…,en線性無關, 因此α1,α2,…,αn也線性無關. 11. 驗證α1=(1,-1,0), α2=(2,1,3),α3=(3,1,2)是R3的一個基， 并把β=(5,0,7)用這個基線性表示。 解: 如果將α1,α2,α3看作列向量拼成的矩陣 有逆存在, 則它們必是R3的一個基, 因此試求此矩陣的逆如下: 因此A有逆存在為 因此α1,α2,α3線性無關確實是R3的一個基. 則任給一列向量D=(d1,d2,d3), 將其作為列向量, 則解

38、方程組AX=D, 可得X=A-1D, 具體用β代入D, 可得 即解得β在這基α1,α2,α3下的坐標為2,3,-1, 即 β=2α1+3α2-α3, 不難驗證確實有 (5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2) 12. 判斷Rn的子集S={X=(x1,x2,…,xn), 其中xn=0}是否Rn的子空間? 如果是子空間, 寫出該子空間的基和維數(shù). 解: 任取S中兩個元素X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn), 即xn=yn=0, 則X+Y的第n個分量xn+yn=0, 因此X+YS, 再任取S中的一個元素X和一實數(shù)k, 則kX的第n個分

39、量kxn=0, 即kXS, 因此S是Rn的子空間. 實際上, S是齊次方程0x1+0x2+…+xn=0的解集, 此齊次方程共有n-1個自由變元, 將這n-1個自由變元依次取1而其它變元為0, 就可以得到S的基或者說是齊次方程xn=0的基礎解系.因此, S的維數(shù)為n-1, 其中的基或者說齊次方程xn=0的基礎解系為: ξ1=(1,0,…,0,0), ξ2=(0,1,…,0,0),…,ξn-1=(0,0,…,1,0). 13. 在R3中, 設S1是由α1=(1,1,1),α2=(2,3,4)生成的子空間, S2是由β1=(3,4,5),β2=(0,1,2)生成的子空間, 證明S1=S2,

40、 并說出該子空間的維數(shù). 解: 要證明S1=S2只須證明α1,α2與β1,β2相互等價, 也就是要驗證α1,α2能夠被β1,β2線性表出, 同時β1,β2也能夠被α1,α2線性表出. 首先驗證α1,α2能夠被β1,β2線性表出, 先驗證α1能夠被β1,β2線性表出, 就是要解線性方程組 x1β1+x2β2=α1, 寫成標準的線性方程組的形式為 對其增廣矩陣作初等行變換成為行最簡矩陣: 方程有唯一解x1=1/3, x2=-1/3. 因此α1能夠被β1,β2線性表出為 (1) 再驗證α2能夠被β1,β2線性表出, 就是要解線性方程組x1β1+x2β2=α1, 寫成標

41、準線性方程組的形式為 對其增廣矩陣作初等行變換成為行最簡矩陣: 方程有唯一解x1=2/3, x2=1/3. 因此α1能夠被β1,β2線性表出為 (2) 將(1)式和(2)式等號兩邊分別相加, 得 而(1)式兩邊乘-2再加到(2)式, 可得 因此β1,β2也能夠被α1,α2線性表出. 所以兩個向量組生成的子空間S2=S2. 下面討論α1,α2是否線性無關, 即解齊次方程x1α1+x2α2=O, 即解如下方程: 對此方程的系數(shù)矩陣作行初等變換 可見方程沒有自由變量, 只有唯一零解, 因此α1,α2線性無關, 構(gòu)成S1的一組基, 因此S1的維數(shù)是2

42、. 14. 設α1,α2,…,αn是Rn的一個基, A為n階可逆矩陣, 求證Aα1,Aα2,…,Aαn也是Rn的一個基. 解: 這種表述方法是將所有的向量看作是列向量, 即n行一列的矩陣. 任給一向量βRn, 當然有A-1βRn, 又因α1,α2,…,αn是Rn的一個基, 因此向量A-1β可以由α1,α2,…,αn線性表出, 即存在一組數(shù)c1,c2,…,cn使得 A-1β=c1α1+c2α2+…+cnαn 則在上式兩邊同時左乘矩陣A, 可得 β=c1Aα1+c2Aα2+…+cnAαn 即β可由Aα1,Aα2,…,Aαn線性表出. 下面證Aα1,Aα2,…,Aαn線性無關. 用

43、反證法, 如若不然, 假設Aα1,Aα2,…,Aαn線性相關, 齊次方程組 x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=O 有非零解, 則方程兩邊左乘A-1可得 x1α1+x2α2+…+xnαn=O 也有非零解, 導出α1,α2,…,αn線性相關, 這與α1,α2,…,αn是Rn的一個基相矛盾. 因此Aα1,Aα2,…,Aαn線性無關, 從而也是Rn的一個基. 15. 證明: 同一個向量組的任意兩個極大無關組等價. 證: 假設向量組α1,α2,…,αn的秩為r, 它的兩個極大無關組為β1,β2,…,βr和γ1,γ2,…,γr, 則因為 向量組β1,β2,…,βr中的每一個向量都是

44、向量組α1,α2,…,αn中的向量, 當然就能夠被向量組 γ1,γ2,…,γr線性表出, 反之亦然, 因此向量組β1,β2,…,βr和向量組γ1,γ2,…,γr相互間等價. 16. 證明: 等價的向量組有相同的秩. 證: 假設向量組α1,α2,…,αn和向量組β1,β2,…,βm相互等價, 其中向量組α1,α2,…,αn的秩為r, 不妨假設其頭r個向量α1,α2,…,αr為它的一個極大無關組, 而向量組β1,β2,…,βm的秩為s, 不妨假設其頭s個向量β1,β2,…,βs為它的一個極大無關組. 則因為向量組α1,α2,…,αn和向量組β1,β2,…,βm相互等價, 必有它們的極大無

45、關組α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs相互等價, 則兩個線性無關的向量組相互等價, 必有它們的個數(shù)相同, 即r=s. 17. 設向量β可以由向量組α1,α2,…,αr-1,αr線性表出, 但向量β不能由向量組α1,α2,…,αr-1線性表出, 試證: 向量組α1,α2,…,αr-1,αr與α1,α2,…,αr-1,β有相同的秩. 證: 因β可以由向量組α1,α2,…,αr-1,αr線性表出, 即存在一組數(shù)c1,c2,…,cr-1,cr使得 β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1+crαr (1) 現(xiàn)證明cr0, 如若不然, cr=0, 則上式就成為β=c

46、1α1+c2α2+…+cr-1αr-1, 但這與題意所述β不能由向量組α1,α2,…,αr-1線性表出相矛盾. 因此將(1)式的兩邊減β, 然后兩邊減crαr, 兩邊再乘(-1/cr), 可得 即αr可由向量組α1,α2,…,αr-1,β線性表出, 當然向量組α1,α2,…,αr-1,β也可由向量組α1,α2,…,αr-1,αr線性表出, 這兩個向量組等價, 因此必有相同的秩. 18. 求下列向量組的秩, 并求出它的一個極大無關組: 1) α1=(2,0,1,1), α2=(-1,-1,0,1), α3=(1,-1,0,0),α4=(0,-2,-1,-1) 2) α1=(1

47、,2,1,3), α2=(4,-1,-5,-6), α3=(1,-3,-4,-7) 解: 1) 解齊次方程組x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=O, 化成AX=O的形式, 對其系數(shù)矩陣A作行初等變換成階梯矩陣, 首項變元的個數(shù)為向量組的秩, 而首項變元對應的向量構(gòu)成極大無關組. 則首項變元x1,x2,x3對應的向量α1,α2,α3構(gòu)成極大無關組, 因此向量組的秩為3. 2) 解齊次方程組x1α1+x2α2+x3α3=O, 化成AX=O的形式, 對其系數(shù)矩陣A作行初等變換成階梯矩陣, 首項變元的個數(shù)為向量組的秩, 而首項變元對應的向量構(gòu)成極大無關組. 首項變元

48、數(shù)為2個，因此秩為2，首項變元x1,x2對應的向量α1,α2構(gòu)成極大無關組. 19. 求下列矩陣的秩 1) ; 2) 解: 求矩陣A的秩, 就是求A作為系數(shù)矩陣的齊次方程組AX=O的解中首項變元的數(shù)目. 因此將A作行初等變換變成階梯矩陣后, 不為零的行數(shù)就是A的秩. 1) 因此A的秩為2 2) 秩為3. 20. 求下列齊次線性方程組的基礎解系, 并寫出其通解: 1) 2) 解: 1) 對系數(shù)矩陣作行初行變換: x4為自由變元, 令x4=t, t為任意常數(shù), 則有 寫成向量形式為: , 基礎解系為 2) 對系數(shù)矩陣作初等行

49、變換 有兩個自由變元x2和x4, 令x2=s, x4=t, s,t為任意常數(shù), 則 x1=-2x2+x4, x3=0, 寫成向量形式有 , 基礎解系為 21. 求解下列非齊次線性方程組： 1) 2) 解: 1) 對其增廣矩陣作行初等變換: 因此, 方程無解. 2) 對其增廣矩陣作行初等變換: 方程有兩個首項變元x1和x4, 兩個自由變元x2和x3, 令x2=s, x3=t, 其中s,t為任意常數(shù), 則 , 將解寫成向量形式, 有 22. 當a1,a2,b1,b2滿足什么條件時, 下述方程組有解, 當方程組有解時, 求出其通解.

50、 解: 對增廣矩陣進行行初等變換, 因此, 為使方程有解, 必須有a1+a2-b1-b2=0, 這時有a2=b1+b2-a1. 方程有一個自由變元x4, 令x4=t, t為任意常數(shù), 則x1=a1-b2+x4=a1-b2+t, x2=b2-t, x3=a2-t, 寫成向量形式, 就是 23. 設三維向量空間里的兩個基底分別為α1,α2,α3與β1,β2,β3, 且 1) 若向量ξ=2β1-β2+3β3, 求ξ對于基底α1,α2,α3的坐標; 2) 若向量η=2α1-α2+3α3, 求η對于基底β1,β2,β3的坐標. 解: 將兩個基底拼成按列分塊的矩陣,

51、即令A=(α1,α2,α3), B=(β1,β2,β3), 則A與B均為三階方陣. 則按題意知A與B的關系為 其中 則 1) 即ξ對于基底α1,α2,α3的坐標為3,4,4 2) 由B=AC知A=BC-1, 先求C-1如下: 求出 則有 因此η對基底β1,β2,β3的坐標為11/2, -5, 13/2. 第五章 5. 1. 求如下矩陣的特征值和特征向量: 1) ; 2) ; 3) 解: (注: 對于三階以上矩陣, 沒有多少可以解出特征值的好辦法, 通常是嘗試0,1,2,-1,-2這幾個值是否特征值, 通過這樣的嘗試找出一個特征值之

52、后, 通過因式分解將多項式化為二次方程再解余下的兩個根). 1) 特征方程為 解出兩個特征值為: 即兩個特征值λ1=1, λ2=-5, 對λ1=1, 解齊次線性方程組 , 容易看出方程有一個自由變元x2, 令x2=t為任意常數(shù), 則x1=x2=t, 因此 通解為, 則求得λ1=1對應的特征向量為t(1,1)T. 對λ2=5, 解齊次線性方程組 , 此方程也有一個自由變元x2, 令x2=t為任意常數(shù), 則 因此通解為, 則求得λ2=5對應的特征向量為t(-2,1)T 2) 特證方程為 因此特征值為λ1=λ2=7, λ3=-2. 對于特征值λ1=λ2

53、=7, 解齊次方程 對系數(shù)矩陣作行初等變換, 方程有兩個自由變元x2,x3, 令x2=s, x4=t, s,t為任意實數(shù)， 則 寫成向量形式有 , 因此特征值λ1=λ2=7對應的特征向量為s(-1/2,1,0)T, t(-1,0,1)T. 對于特征值λ3=-2, 解下面的齊次方程 對系數(shù)矩陣作行初等變換 有一個自由變元x3, 令x3=t為任意常數(shù), 則 x1=x3=t, x2=(1/2)x3=(1/2)t, 寫成向量形式, 得 因此特征值λ3=-2對應的特征向量為t(1,1/2,1). 3) 特征方程為 因此A的三個特征

54、值為λ1=1, λ2=2, λ3=2a-1. 對于特征值λ1=1, 解齊次方程 對其系數(shù)矩陣作初等行變換, 有一個自由變量x2, 令x2=t為任意常數(shù), 則x3=0, x1=(1/3)(a+2)x2-(2a-1)x3=(1/3)(a+2)t, 寫成向量形式, 得 即對于應特征值λ1=1的特征向量為t((a+2)/3,1,0)T. 對于特征值λ2=2, 解齊次方程 對系數(shù)矩陣作初等行變換, 方程有一個自由變量x3, 令x3=t為任意常數(shù), 則x1=x2=2x3=2t, 寫成向量形式, 得 即對應于特征值λ2=2的特征向量為t(2,2,1)T. 對于特

55、征值λ3=2a-1, 解齊次方程 對其系數(shù)矩陣作行初等變換 這是為了方便起見使矩陣變成一個"倒"的階梯形, 可以看出x1為自由變元, 令x1=t為任意常數(shù), 則x2=x1=t, x3=(a-1)x1=(a-1)t, 寫成向量形式: 因此, λ3=2a-1對應的特征向量為t(1,1,a-1)T. 2. 已知A為n階方陣且A2=A, 求A的特征值. 解: 設A的一個特征值為λ, 對應的特征向量為X, 則有AX=λX, 又將題意中的條件A2=A代入此式, 得A2X=λX, 但A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X, 因此有 λX=λ2X, 即λ2X-λX=(λ

56、2-λ)X=O, 因為X為特征向量則必不為零向量, 因此只能有 λ2-λ=0, 即λ(λ-1)=0, 因此, A的特征值只能取0或者1值. 3. A是3階實對稱矩陣, A的特征值為1, -1, 0. 其中λ=1和λ=0所對應的特征向量分別為(1,a,1)T及(a,a+1,1)T, 求矩陣A. 解: 此題原本不適宜在這一章做. 因為A是實對稱矩陣, 則必有它的各個不同特征值對應的特征向量相互正交, 因此特征向量(1,a,1)與(a,a+1,1)正交, 即對應分量相乘相加后等于0, 即 , 因此a=-1, λ=1和λ=0對應的特征向量為 α1=(1,-1,1)T及α2=(-1,0

57、,1)T, 則因剩下的那個特征向量, 即λ=-1對應的特征向量α3=(x1,x2,x3)T必與α1和α2正交, 由此可得下面的齊次方程組: 對其系數(shù)矩陣作行初等變換, 方程有一個自由變量x3, 令x3=t為任意常數(shù), 則x1=x3=t, x2=2x3=2t, 寫成向量形式, 有 , 因此t(1,2,1)T為特征值-1對應的特征向量, 可令α3=(1,2,1).T 將這三個向量規(guī)范化得 則令 則必有, 因此有 4. 已知有三個線性無關的特征向量, 求x. 解: 特征方程為 因此, A有三個特征值λ1=λ2=1, λ3=-1, 因此, x

58、的選值必須使特征值為重根1的時候?qū)凝R次方程有兩個自由變量, 才能夠得到兩個線性無關的特征向量. 因為待定數(shù)為x, 因此齊次方程就用y1,y2,y3來作變元, 則特征值為1對應的齊次方程為: 對系數(shù)矩陣作行初等變換 如要方程有兩個自由變元, 必須x=0. 5. 判斷第一題中各矩陣是否可對角化. 如可對角化, 求可逆矩陣T, 使得T-1AT為對角陣. 解: 各矩陣是否可對角化的等價條件是要有與矩陣階數(shù)一樣多的線性無關的特征向量. 1) 矩陣A有兩個線性無關的特征向量α1=(1,1)T, α2=(-2,1)T, 因此可對角化, 2) 矩陣A有三個線性無關的特征向量α

59、1=(-1/2,1,0)T,α2=(-1,0,1)T,α3=(1,1/2,1)T,因此可對角化, 3) A的三個特征值為λ1=1, λ2=2, λ3=2a-1. 當λ31且λ32時, 特征方程沒有重根, 三個特征值不同, 因此對應的必有三個線性無關的特征向量, A可對角化, 三個特征向量為 α1=((a+2)/3,1,0)T,α2=(2,2,1)T,α3=(1,1,a-1)T, 因此 而當λ3=2a-1=1時, a=1, 這時候α1=α3=(1,1,0)T, 則不夠三個線性無關的特征向量, 矩陣A不能被對角化. 當λ3=2a-1=2時, a=3/2, 這時候α3=(1,1,1/

60、2)T=(1/2)α2, 即與α2線性相關, 這樣就還是不夠三個線性無關的特征向量, 矩陣A也不能被對角化. 6. 已知有特征值1和-1, 問A是否能對角化? 解: 將已知的特征值1和-1分別代入特征方程, 可得關于a和b的兩個方程, 先將特征值1代入特征方程得 得a=-1, 再將特征值-1代入特征方程得 將a=-1代入上式, 得 因此有a=-1,b=-3, 則 看A除了1和-1外還有沒有其它的特征值, 再重解特征方程, 因此知道矩陣A除了1和-1這兩個特征值外還有一個特征值-2, 這樣三個不同的特征值必有三個線性無關的特征向量, A可對

61、角化. 7. 已知能對角化, 求An(n1). 解: 先求A的特征方程 由此可見A有三個特征值, λ1=0, λ2=λ3=1. 因此, 因為A能夠?qū)腔? 必須對應于重根λ2=λ3=1有兩個線性無關的特征向量, 對于特征值1解下面的齊次方程求對應的特征向量, 對其系數(shù)矩陣作行初等變換, 可以看出如果此齊次方程要有兩個線性無關的基礎解系, 就必須有兩個自由變量, y3已經(jīng)是一個自由變量, 因此需要y2也是自由變量, 這就要求上面矩陣的第二行全為零, 即x+2=0 得x=-2, 矩陣. 這時候, A能對角化, 所以存在方陣T使, 上式兩邊同時左乘T及右乘T-1可

62、得 注意到 因此有 8. 設A,B是n階方陣, 證明AB與BA具有相同的特征值. 證: 假設AB之一可逆，比如A可逆，則命題是成立的，因為AB的特征多項式為 因此AB和BA的特征多項式相同，當然其特征值也就相同。而如果B可逆，同樣有 如果A與B都不可逆，如果它們之一是零矩陣O，AB=BA=O，當然都有特征值0。而如果它們都不是零矩陣，那么，對矩陣A進行一系列行變換和一系列的列變換之后，總能得到一個對角矩陣，從左上角到右下角是先是1再是，也就是說存在著可逆矩陣P和Q使得 ， 即, 也將矩陣按與同樣的辦法分塊, 假設 則 而 因此, A

63、B與BA的特征多項式相等, 它們的特征值也一樣. 9. 已知λ1,λ2,λ3是A的特征值, α1,α2,α3是相應的特征向量, 如果α1+α2+α3仍是A的特征向量, 證明λ1=λ2=λ3. 證: 如α1,α2,α3及α1+α2+α3都是A的特征向量, 假設α1+α2+α3對應的特征值為λ, 則有 Aα1=λ1α1, Aα2=λ2α2, Aα3=λ3α3, 和 A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3) (1) 但 A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 (2) 將(1),(2)兩式左邊與右邊分別相減, 得 λ(α1+α

64、2+α3)-λ1α1-λ2α2-λ3α3=O 整理后得 (λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2+(λ-λ3)α3=O 而因為α1,α2,α3是對應于三個特征值的特征向量, 則必線性無關, 因此上式要成立必須α1,α2,α3的系數(shù)都為0, 即 則必有λ1=λ2=λ3, 證畢. 第六章 6. 1. 求由下列向量所構(gòu)成的標準正交基: 1) α1=(2,0)T, α2=(1,1)T 2) α1=(3,4)T, α2=(2,3)T 3) α1=(2,0,0)T, α2=(0,1,1)T, α3=(5,6,0)T. 解: 用斯密特正交化方法, 1) β1=α1=(2,0)T,

65、 再進行規(guī)范化, 令 則ε1, ε2構(gòu)成標準成交基. 2) β1=α1=(3,4)T, 再進行規(guī)范化, 令 3) β1=(2,0,0)T, 另有 因此對β1,β2,β3作規(guī)范化得 2. 在四維向量空間中找出一單位向量α與下列向量都正交。 α1=(1,1,-1,1)T, α2=(1,-1,-1,1)T, α3=(2,1,1,3)T 解: 假設X=(x1,x2,x3,x4)T與α1,α2,α3都正交, 則必有<αi,X>=0, i=1,2,3, 這構(gòu)成了如下的齊次方程組: 對系數(shù)矩陣做初等行變換, 方程有

66、一個自由變量x4, 令x4=t為任意常數(shù), 則x1=-(4/3)x4=-(4/3)t x2=0, x3=-(1/3)x4=-(1/3)t, 寫成向量形式, 得 不妨取t=3, 則X=(-4,0,-1,3)T, 并有 將X單位化得到α: 3. 下列矩陣是否正交矩陣? 若是, 求出它的逆矩陣. 1) 2) 解: 1) 不是, 因為第一列和第二列構(gòu)成的列向量 的內(nèi)積 , 它們不正交, 因此不是正交矩陣. 2) 設 則 因此是正交矩陣. 4. 用施密特正交化方法將向量空間的一個基α1=(1,-1,0)T, α2=(1,0,1)T, α3=(1,-1,1)T化成標準正交基, 并求α=(1,2,3)T在該基下的坐標. 解: β1=α1=(1,-1,0)T, 對β1,β2,β3進行規(guī)范化得標準正交基為 求α=(1,2,3)