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高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7 定積分的簡單應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修22

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高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7 定積分的簡單應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修22_第1頁
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《高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7 定積分的簡單應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修22》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7 定積分的簡單應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修22(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.7 定積分的簡單應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.會用定積分求平面圖形的面積.(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2.會求變速直線運(yùn)動的路程和變力做功.(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.定積分與平面圖形面積的關(guān)系 (1)已知函數(shù)f(x)在[a,b]上是連續(xù)函數(shù),由直線y=0,x=a,x=b與曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積為S,填表: f(x)的符號 平面圖形的面積與定積分的關(guān)系 f(x)≥0 S=f(x)dx f(x)<0 S=-f(x)dx (2)一般地,如圖171,如果在公共的積分區(qū)間[a,b]上有f

2、(x)>g(x),那么直線x=a,x=b與曲線y=f(x),y=g(x)圍成的平面圖形的面積為S=[f(x)-g(x)]dx.即曲邊梯形的面積等于曲邊梯形上、下兩個邊界所表示函數(shù)的差的定積分. 圖171 2.變速直線運(yùn)動的路程 做變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a,b]上的定積分,即s=v(t)dt. 思考:變速直線運(yùn)動的路程和位移相同嗎? [提示]不同.路程是標(biāo)量,位移是矢量,兩者是不同的概念. 3.變力做功 如果物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動,并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b(a

3、變力F(x)所做的功為 W=F(x)dx. [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)函數(shù)y=f(x),x∈[a,b ]與x軸圍成的圖形的面積S=f(x)dx.(  ) (2)若物體的運(yùn)動速度v=5-2t,則其在1≤t≤3內(nèi)的路程S=(5-2t)dt. (  ) (3)曲線y=x3與直線x+y=2,y=0圍成的圖形面積為x3dx+(2-x)dx.(  ) (4)曲線y=3-x2與直線y=-1圍成的圖形面積為 (4-x2)dx.(  ) [答案] (1) (2) (3)√ (4)√ 2.曲線y=x3與直線y=x所圍成的圖形的面積等于(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:31062099】 C

4、 [由題意知,由y=x3及y=x所圍成的圖形如圖所示. 顯然S=2(x-x3)dx.] 3.一物體沿直線以v=3t+2(t單位:s,v單位:m/s)的速度運(yùn)動,則該物體在3~6 s間的運(yùn)動路程為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:31062100】 A.46 m        B.46.5 m C.87 m D.47 m B [s=(3t+2)dt= =(54+12)-=46.5(m).] 4.一物體在力F(x)=4x-1(單位:N)的作用下,沿著與力F(x)相同的方向,從x=1處運(yùn)動到x=3處(單位:m),則力F(x)所作的功為________J. [解析] 由題意可知,力F(x)所作的

5、功 W=F(x)dx=(4x-1)dx=(2x2-x) =14 J. [答案] 14 [合 作 探 究攻 重 難] 利用定積分求平面圖形的面積問題 [探究問題] 觀察圖形,完成下列探究問題: 圖172 1.圖中陰影部分的面積能否用定積分[-(x-4)]dx表示?為什么? 提示:不能.由定積分的幾何意義可知,當(dāng)x∈[0,8]時,被積函數(shù)y=-(x-4)表示的圖形如圖所示: 2.若以x為積分變量,如何用定積分表示圖形中陰影部分的面積? 提示:S=2dx+[-(x-4)]dx. 3.能否以y為積分變量,用定積分表示圖形中陰影部分的面積? 提示:能.可表示為S=

6、dy.  (1)已知函數(shù)y=x2與y=kx(k>0)的圖象所圍成的陰影部分(如圖173所示)的面積為,則k=________. 圖173 (2)求由曲線y=,y=2-x,y=-x所圍成的圖形的面積. [解] (1)由解得 或 故陰影部分的面積為(kx-x2)dx ==k3-k3=k3=,解得k=2. (2)畫出圖形,如圖所示. 解方程組 及 得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,1),(0,0),(3,-1), 所以S=dx+(2-x)-dx=dx+dx =+ =++ =+6-9-2+=. 母題探究:1.(變條件)把本例(1)的條件變?yōu)椤叭鐖D174,已知點(diǎn)A,點(diǎn)P(x0,y

7、0)(x0>0)在曲線y=x2上,若陰影部分的面積與△OAP的面積相等”,則x0=________. 圖174 [解] 由題意知 即x0=x, 解得x0=或x0=-或x0=0. ∵x0>0,∴x0=. 2.(變條件)把本例(1)的條件變?yōu)椤扒€y=x2在點(diǎn)P(2,4)處的切線與曲線及x軸所圍成的圖形面積為S”,求S. [解] ∵y′|x=2=4,故曲線在P點(diǎn)處的切線方程為y-4=4(x-2),即y=4x-4,故所求面積S=x2dx+(x2-4x+4)dx=x3+=. 3.(變條件)把本例(2)的條件改為“求由曲線y2=x,y=2-x所圍成的圖形的面積.” [解] 由得

8、或 ∴陰影部分的面積 S= (2-y-y2)dy = =-=. [規(guī)律方法]  求曲邊梯形面積的一般步驟如下:  求變速直線運(yùn)動的路程  有一動點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動,在時間t時的速度為v(t)=8t-2t2(速度的正方向與x軸正方向一致).求: (1)P從原點(diǎn)出發(fā),當(dāng)t=6時,求點(diǎn)P移動的路程和離開原點(diǎn)的位移; (2)P從原點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過時間t后又返回原點(diǎn)時的t值. 【導(dǎo)學(xué)號:31062101】 [解] (1)由v(t)=8t-2t2≥0得0≤t≤4, 即當(dāng)0≤t≤4時,P點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動, 當(dāng)t>4時,P點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動. 故t=6時,點(diǎn)P移動的路程 s

9、1=(8t-2t2)dt-(8t-2t2)dt =- =. 當(dāng)t=6時,點(diǎn)P的位移為 (8t-2t2)dt==0. (2)依題意(8t-2t2)dt=0, 即4t2-t3=0, 解得t=0或t=6, t=0對應(yīng)于P點(diǎn)剛開始從原點(diǎn)出發(fā)的情況,t=6是從原點(diǎn)出發(fā),又返回原點(diǎn)所用的時間. [規(guī)律方法] 做變速直線運(yùn)動的物體,從時刻t=a到時刻t=b(a<b)所經(jīng)過的路程s和位移s′情況如下: (1)若v(t)≥0, 則s=v(t)dt;s′=v(t)dt.即s=s′. (2)若v(t)≤0, 則s=-v(t)dt;s′=v(t)dt.即s=-s′. (3)若在區(qū)間

10、[a,c]上,v(t)≥0,在區(qū)間[c,b]上v(t)<0,則s=v(t)dt-v(t)dt,s′=v(t)dt.所以求路程時要事先求得速度的正負(fù)區(qū)間. [跟蹤訓(xùn)練] 1.有一輛汽車以每小時36 km的速度沿平直的公路行駛,在B處需要減速停車.設(shè)汽車以2 m/s2的加速度剎車,問:從開始剎車到停車,汽車行駛了多遠(yuǎn)? [解] 設(shè)從開始剎車到停車,汽車經(jīng)過了t s. v0=36 km/h=10 m/s,v(t)=v0-at=10-2t. 令v(t)=0,解得t=5. 所以從開始剎車到停車,汽車行駛的路程為s=(10-2t)dt=(10t-t2) =25(m). 故從開始剎車到停車,

11、汽車行駛了25 m. 求變力做功  設(shè)有一個長為25 cm的彈簧,若加以100 N的力,則彈簧伸長到30 cm,求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功. [解] 設(shè)x表示彈簧伸長的長度,f(x)表示加在彈簧上的力,則f(x)=kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù)). 因?yàn)楫?dāng)f(x)=100時,x=5,所以k=20. 所以f(x)=20x. 彈簧由25 cm伸長到40 cm時,彈簧伸長的長度x從0 cm變化到15 cm,故所做的功 W=20xdx=10x2=2 250(Ncm)=22.5(J). [規(guī)律方法]  求變力做功的方法步驟 (1)要明確變力的函數(shù)式F(x),確定物體在

12、力的方向上的位移. (2)利用變力做功的公式W=F(x)dx計算. (3)注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米,功的單位才為焦耳. [跟蹤訓(xùn)練] 2.一物體在力F(x)=(單位:N)的作用下沿與力F相同的方向,從x=0處運(yùn)動到x=4(單位:m)處,則力F(x)做的功為(  ) A.10 J        B.12 J C.14 J D.16 J B [W=2dx+(2x-2)dx=2x+(x2-2x) =4+(16-8-4+4)=12(J).] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1.在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達(dá)式中,正確的有(  ) S=[f(x)-g(x)]dx  

13、S=(2-2x+8)dx ①        ?、? ③         ④ 圖175    A.①③        B.②③ C.①④ D.③④ D [①錯誤,S=[f(x)-g(x)]dx; ②錯誤,S=2dx+(2-2x+8)dx; ③④正確.] 2.曲線y=cos x與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:31062102】 A.2 B.3 C. D.4 B [S= =sin -sin 0-sin +sin =1-0+1+1=3.] 3.一列車沿直線軌道前進(jìn),剎車后列車速度v(t)=27-0.9t,則列車剎車后前進(jìn)多少米才能停車(  ) A.4

14、05 B.540 C.810 D.945 A [停車時v(t)=0,由27-0.9t=0,得t=30, ∴s=v(t)dt= (27-0.9t)dt=(27t-0.45t2) =405.] 4.設(shè)a>0,若曲線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,則a=________. [解析] 由已知得S==a2, 所以a=,所以a=. [答案]  5.一物體在變力F(x)=(N)的作用下沿坐標(biāo)平面內(nèi)x軸的正方向由x=8 m處運(yùn)動到x=18 m處,求力F(x)在這一過程中所做的功. [解] 由題意得力F(x)在這一過程中所做的功為F(x)在[8,18]上的定積分,從而 W=F(x)dx=-36x-1=(-3618-1)-(-368-1)=(-2)-=(J). 從而可得力F(x)在這一過程中所做的功為 J. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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