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高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修1

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1、 2.3 冪函數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解冪函數(shù)的概念,會求冪函數(shù)的解析式.(重點、易混點)2.結(jié)合冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的圖象,掌握它們的性質(zhì).(重點、難點)3.能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大?。?重點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.冪函數(shù)的概念 一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). 思考1:冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的自變量有何區(qū)別? [提示] 冪函數(shù)是形如y=xα(α∈R),自變量在底數(shù)上,而指數(shù)函數(shù)是形如y=ax(a>0且a≠1),自變量在指數(shù)上. 2.冪函數(shù)的圖象 在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,

2、y=x,y=x-1的圖象如圖231: 圖231 思考2:冪函數(shù)圖象不可能出現(xiàn)在第幾象限? [提示] 第四象限. 3.冪函數(shù)的性質(zhì) y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定義域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增函數(shù) x∈[0,+∞)時,增函數(shù) x∈(-∞,0]時,減函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) x∈(0,+∞)時,減函數(shù) x∈(-∞,0)時,減函數(shù) [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)函數(shù)y=x

3、0(x≠0)是冪函數(shù).(  ) (2)冪函數(shù)的圖象必過點(0,0)和(1,1).(  ) (3)冪函數(shù)的圖象都不過第二、四象限.(  ) [答案] (1)√ (2) (3) 2.下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(  ) A.y=        B.y=x3 C.y=3x D.y=x-1 C [只有y=3x不符合冪函數(shù)y=xα的形式,故選C.] 3.已知f(x)=(m+1)xm2+2是冪函數(shù),則m=(  ) A.2 B.1 C.3 D.0 D [由題意可知m+1=1,即m=0,∴f(x)=x2.] 4.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點,則f(4)=________.

4、 【導(dǎo)學(xué)號:37102308】  [由f(2)=可知2α=, 即α=-, ∴f(4)=4-=.] [合 作 探 究攻 重 難] 冪函數(shù)的概念  已知y=(m2+2m-2)xm2-1+2n-3是冪函數(shù),求m,n的值. [解] 由題意得 解得 所以m=-3,n=. [規(guī)律方法] 判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法 判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即函數(shù)的解析式為一個冪的形式,且需滿足:(1)指數(shù)為常數(shù);(2)底數(shù)為自變量;(3)系數(shù)為1 [跟蹤訓(xùn)練] 1.(1)在函數(shù)y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,冪函數(shù)的個數(shù)

5、為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:37102309】 A.0          B.1 C.2 D.3 (2)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù),且滿足f(4)=3f(2),則f的值等于________. (1)B (2) [(1)∵y==x-2,所以是冪函數(shù); y=2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2,因此不是冪函數(shù); y=x2+x是兩項和的形式,不是冪函數(shù); y=1=x0(x≠0),可以看出,常函數(shù)y=1的圖象比冪函數(shù)y=x0的圖象多了一個點(0,1),所以常函數(shù)y=1不是冪函數(shù). (2)設(shè)f(x)=xα,因為f(4)=3f(2),∴4α=32α,解得α=log23,∴f=log23=.] 冪函

6、數(shù)的圖象及應(yīng)用  點(,2)與點分別在冪函數(shù)f(x),g(x)的圖象上,問當(dāng)x為何值時,有: (1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)g(x); (2)當(dāng)x=1時,f(x)=g(x); (3)當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)

7、冪指數(shù)大小,相關(guān)結(jié)論為:在(0,1)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低);在(1,+∞)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為,指大圖高). (2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或y=x或y=x3)來判斷. [跟蹤訓(xùn)練] 2.冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)的圖象是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:37102310】 A     B     C     D (2)若四個冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖232,則a,b,c,d的大小關(guān)系是(  )

8、 圖232 A.d>c>b>a B.a(chǎn)>b>c>d C.d>c>a>b D.a(chǎn)>b>d>c (1)C (2)B [(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=xa, 因為冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(4,2),所以2=4a, 解得a=, 所以y=,其定義域為[0,+∞),且是增函數(shù), 當(dāng)0b>c>d.故選B.] 冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1.冪函數(shù)y=xα在(0,

9、+∞)上的單調(diào)性與α有什么關(guān)系? 提示:當(dāng)α>0時,冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)α<0時,冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 2.23.1和23.2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值?二者的大小關(guān)系如何? 提示:23.1和23.2可以看作函數(shù)f(x)=2x的兩個函數(shù)值,因為函數(shù)f(x)=2x單調(diào)遞增,所以23.1<23.2. 3.2.3-0.2和2.2-0.2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值?二者的大小關(guān)系如何? 提示:2.3-0.2和2.2-0.2可以看作冪函數(shù)f(x)=x-0.2的兩個函數(shù)值,因為函數(shù)f(x)=x-0.2在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以2.3-0.2<

10、2.2-0.2.  (1)比較下列各組中冪值的大?。? ①30.8,30.7;②0.213,0.233;③2,1.8;④1.2,0.9,. (2)探討函數(shù)f(x)=x的單調(diào)性. 【導(dǎo)學(xué)號:37102311】 思路探究:(1)構(gòu)造冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù),借助其單調(diào)性求解. (2)借助單調(diào)性的定義證明. [解] (1)①∵函數(shù)y=3x是增函數(shù),且0.8>0.7, ∴30.8>30.7. ②∵函數(shù)y=x3是增函數(shù),且0.21<0.23,∴0.213<0.233. ③∵函數(shù)y=x是增函數(shù),且2>1.8,∴2>1.8. 又∵y=1.8x是增函數(shù),且>, ∴1.8>1.8,∴2>1.

11、8. ④0.9=,=1.1. ∵1.2>>1.1,且y=x在[0,+∞)上單調(diào)遞增, ∴1.2>>1.1,即1.2>0.9>. (2)f(x)=x的定義域為(0,+∞). 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1x1>0,所以x1-x2<0, 且(+)>0, 于是f(x2)-f(x1)<0, 即f(x2)

12、內(nèi)是減函數(shù). 所以(a+1)<(3-2a)等價于 解得,所以0.5>0.5. (2)因為冪函數(shù)y=x-1在(-∞,0)上是單調(diào)遞減的, 又-<-,所以-1>-1. (3)因為函數(shù)y1=x為R上的減函數(shù),又>, 所以>. 又因為函數(shù)y2=x在(0,+∞)上是增函數(shù),且>, 所以>, 所以>. [規(guī)律方法] 比較冪的大小的關(guān)鍵是弄清底數(shù)與指

13、數(shù)是否相同.若底數(shù)相同,則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;若指數(shù)相同,則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小;若底數(shù)、指數(shù)均不同,則考慮用中間值法比較大小,這里的中間值可以是“0”或“1”,也可以是如例3(3)中的1.8. [當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基] 1.下列函數(shù)為冪函數(shù)的是(  ) A.y=2x4        B.y=2x3-1 C.y= D.y=x2 D [結(jié)合冪函數(shù)的形式可知D正確.] 2.冪函數(shù)的圖象過點(2,),則該冪函數(shù)的解析式(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:37102312】 A.y=x-1 B.y=x C.y=x2 D.y=x3 B [設(shè)f(x)=xα,則2α

14、=,∴α=,∴f(x)=x.選B.] 3.函數(shù)y=x的圖象是(  ) A     B    C     D C [∵函數(shù)y=x是非奇非偶函數(shù),故排除A、B選項.又>1,故選C.] 4.若f(x)=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則α的取值范圍為________. (0,+∞) [由f(x)的單調(diào)性可知α>0,即α的取值范圍為(0,+∞).] 5.比較下列各組數(shù)的大小. (1)3與3.1; (2)4.1,3.8,(-1.9). 【導(dǎo)學(xué)號:37102313】 [解] (1)因為函數(shù)y=x在(0,+∞)上為減函數(shù), 又3<3.1,所以3>3.1. (2)4.1>1=1, 0<3.8<1=1,而(-1.9)<0, 所以4.1>3.8>(-1.9). 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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