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九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 小專題四二次函數(shù)與幾何圖形綜合練習(xí) 新版湘教版

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1、 小專題(四) 二次函數(shù)與幾何圖形綜合 1.如圖,拋物線y=x2+x-5與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)E為x軸下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)S△ABE=S△ABC時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo). 解:令y=x2+x-5=0,即x2+2x-15=0, 解得x1=-5,x2=3. ∴A(-5,0),B(3,0). ∴AB=8. 令x=0,則y=-5, ∴C(0,-5).∴OC=5. ∴S△ABC=ABOC=20. 設(shè)點(diǎn)E到AB的距離為h, ∵S△ABE=S△ABC,∴8h=20.∴h=5. ∵點(diǎn)E在x軸下方,∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-5. 當(dāng)y=-5時(shí),x2+x-5=-5. ∴x1

2、=-2,x2=0(與點(diǎn)C重合,舍去). ∴E(-2,-5). 2.如圖,拋物線y=-x2+x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D(2,2)是拋物線上一點(diǎn),那么在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在一點(diǎn)P,使得△BDP的周長(zhǎng)最小,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 解:令y=-x2+x+3=0,解得x1=3,x2=-2. ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0). 連接AD,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則P為所求的點(diǎn). 設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+t.將點(diǎn)A,D的坐標(biāo)代入,得 解得 ∴直線AD的表達(dá)式為y=x+1. ∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=, 將x=代入y=x+1,得y=

3、. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,). 3.如圖,二次函數(shù)y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,4),B(1,0),y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)B,且與二次函數(shù)y=-x2+mx+n交于點(diǎn)D. (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式; (2)點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)(點(diǎn)N在BD上方),過N作NP⊥x軸,垂足為P,交BD于點(diǎn)M,求MN的最大值. 解:(1)∵二次函數(shù)y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,4),B(1,0), ∴ 解得 ∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2-2x+3. (2)∵y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)B, ∴-1+b=0.解得b=. ∴y=-x+. 設(shè)M(t,-t+),則N(t,-t2-2t

4、+3), ∴MN=-t2-2t+3-(-t+)=-t2-t+=-(t+)2+. ∴MN的最大值為. 4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2-4x-5與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn),且以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo). 解:令y=x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5. ∴A(-1,0),B(5,0). 令x=0,則y=-5,∴C(0,-5). ∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=45. ∴AB=6,BC=5. 要使以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,需有=或=. ①當(dāng)=時(shí),CD=AB=6,∴

5、D(0,1). ②當(dāng)=時(shí),=, ∴CD=. ∴D(0,). 綜上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1)或(0,). 5.如圖,已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P.若以A,C,P,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)M的坐標(biāo). 解:y=-x2-2x+3中,當(dāng)x=0時(shí),y=3, ∴C(0,3). y=-x2-2x+3中,令y=0,即-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1. ∴A(-3,0),B(1,0). ∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,4). 如圖,分別過△PAC的三個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線,三

6、條直線兩兩相交, 產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)M1,M2,M3. ∵AM1∥CP,且C(0,3),P(-1,4),A(-3,0),∴M1(-4,1). ∵AM2∥PC,且P(-1,4),C(0,3),A(-3,0),∴M2(-2,-1). ∵CM3∥AP,且A(-3,0),P(-1,4),C(0,3),∴M3(2,7). 綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,1)或(-2,-1)或(2,7). 6.如圖,已知拋物線y=x2-x-2與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊),與y軸交于點(diǎn)C. (1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo); (2)此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是等腰三角形?若存在,

7、請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 解:(1)令y=0,得x2-x-2=0, 解得x1=-2,x2=4. ∴A(4,0),B(-2,0). 令x=0,得y=-2. ∴C(0,-2). (2)存在點(diǎn)P,使得△ACP是等腰三角形. 設(shè)P(1,a), 則AP2=a2+9,CP2=(a+2)2+1=a2+4a+5,AC2=20. ①當(dāng)AP=CP時(shí),即a2+9=a2+4a+5, 解得a=1.∴P1(1,1); ②當(dāng)CP=AC時(shí),即a2+4a+5=20, 解得a=-2. ∴P2(1,-2+),P3(1,-2-); ③當(dāng)AP=AC時(shí),即a2+9=20, 解得a=.∴P4(1,),P5(1,-). 綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1,1),P2(1,-2+),P3(1,-2-),P4(1,),P5(1,-). 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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