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高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修23

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1、 第三章 統(tǒng)計案例 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.會求線性回歸方程,并用回歸直線進行預(yù)報.2.理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟. 1.最小二乘法 對于一組數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,n,如果它們線性相關(guān),則線性回歸方程為=x+,其中==,=- . 2.22列聯(lián)表 22列聯(lián)表如表所示: B 總計 A a b a+b c d c+d 總計 a+c b+d n 其中n=a+b+c+d為樣本容量. 3.獨立性檢驗 常用隨機變量 K2=來檢驗兩個變量是否有關(guān)系. 類型一 回歸分析 例1 (2016全國Ⅲ改編)如圖是我國200

2、8年到2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖. 注:年份代碼1~7分別對應(yīng)年份2008~2014 (1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明; (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2019年我國生活垃圾無害化處理量. 附注: 參考數(shù)據(jù):i=9.32,iyi=40.17, =0.55,≈2.646. 參考公式:相關(guān)系數(shù)r=, 回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:=,=- . 考點 線性回歸分析 題點 線性回歸方程的應(yīng)用 解 (1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 =4,(ti-)2=28,

3、 =0.55, (ti-)(yi-)=iyi-i=40.17-49.32=2.89, r≈≈0.99. 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系. (2)由=≈1.331及(1)得 ==≈0.103, =-≈1.331-0.1034≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為=0.92+0.10t. 將2019年對應(yīng)的t=12代入回歸方程得 =0.92+0.1012=2.12. 所以預(yù)測2019年我國生活垃圾無害化處理量約為2.12億噸. 反思與感悟 解決回歸分析問題的一般步驟 (1)畫散點圖.根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出

4、散點圖. (2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程.通過觀察散點圖,直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系;在此基礎(chǔ)上,利用最小二乘法求回歸系數(shù),然后寫出回歸方程. (3)回歸分析.畫殘差圖或計算R2,進行殘差分析. (4)實際應(yīng)用.依據(jù)求得的回歸方程解決實際問題. 跟蹤訓(xùn)練1 經(jīng)分析預(yù)測,美國通用汽車等10家大公司的銷售總額xi(i=1,2,…,10,單位:百萬美元)與利潤yi(i=1,2,…,10,單位:百萬美元)的近似線性關(guān)系為=0.026x+,經(jīng)統(tǒng)計i=623 090,i=29 300. (1)求; (2)若通用汽車公司的銷售總額x1=126 974(百萬美元),殘差1=-387,估計

5、通用汽車的利潤; (3)福特公司的銷售總額為96 933百萬美元,利潤為3 835,比較通用汽車公司與福特公司利潤的解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率說明了什么?(以上答案精確到個位) 考點 殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點 殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 解 (1)由i=623 090,i=29 300, 得樣本點中心為(62 309,2 930), 所以=2 930-0.02662 309≈1 310. (2)由(1)知=0.026x+1 310, 當(dāng)x1=126 974時, 1=0.026126 974+1 310≈4 611, 所以y1=1+1=4 611+(-387)=4 224,

6、 估計通用汽車公司的利潤為4 224百萬美元. (3)由(1)(2)可得通用汽車公司利潤的解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率為R, 則R=1-=1-≈0.911=91.1%. 設(shè)福特公司利潤的解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率為R, 由=0.026x+1 310得 2=0.02696 933+1 310≈3 830, 則R=1-=1-≈0.999 97 =99.997%. 由R<R知,用=0.026x+1 310作為解釋變量與預(yù)報變量的關(guān)系,預(yù)報通用汽車公司的效果沒有預(yù)報福特公司的效果好,或者說預(yù)報通用汽車公司的精確度低于預(yù)報福特公司的精確度. 類型二 獨立性檢驗 例2 奧運會

7、期間,為調(diào)查某高校學(xué)生是否愿意提供志愿者服務(wù),用簡單隨機抽樣方法從該校調(diào)查了60人,結(jié)果如下:      是否愿意提供 志愿者服務(wù) 性別      愿意 不愿意 男生 20 10 女生 10 20 (1)用分層抽樣的方法在愿意提供志愿者服務(wù)的學(xué)生中抽取6人,其中男生抽取多少人? (2)你能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)? 下面的臨界值表供參考: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841

8、 5.024 6.635 7.879 10.828 獨立性檢驗統(tǒng)計量K2=,其中n=a+b+c+d. 考點 獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點 分類變量與統(tǒng)計、概率的綜合性問題 解 (1)由題意,男生抽取6=4(人). (2)K2=≈6.667,由于6.667>6.635,所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān). 反思與感悟 獨立性檢驗問題的求解策略 (1)等高條形圖法:依據(jù)題目信息畫出等高條形圖,依據(jù)頻率差異來粗略地判斷兩個變量的相關(guān)性. (2)通過公式K2= 先計算觀測值k,再與臨界值表作比較,最后得出結(jié)論. 跟蹤訓(xùn)練

9、2 某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進行了一次調(diào)查,并用莖葉圖表示30人的飲食指數(shù),如圖所示.(說明:圖中飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的人,飲食以肉類為主). (1)根據(jù)莖葉圖,幫助這位同學(xué)說明其親屬30人的飲食習(xí)慣; (2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列22列聯(lián)表; 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 50歲以上 總計 (3)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,是否能認(rèn)為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”? 考點 獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點 獨立性檢驗在分類變量中的應(yīng)用 解 (1)30位親屬中50歲以

10、上的人多以食蔬菜為主,50歲以下的人多以食肉類為主. (2)22列聯(lián)表如表所示: 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 4 8 12 50歲以上 16 2 18 總計 20 10 30 (3)K2==10>6.635, 故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”. 1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,B兩變量進行線性相關(guān)檢驗,并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 則這四位同學(xué)的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出A,B兩變量有更強的線性相關(guān)

11、性的是(  ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 考點 線性相關(guān)系數(shù) 題點 線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案 D 解析 由相關(guān)系數(shù)的意義可知,相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,相關(guān)性越強,結(jié)合題意可知丁的線性相關(guān)性更強.故選D. 2.為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系,某研究機構(gòu)隨機抽取了60名高中生,通過問卷調(diào)查,得到以下數(shù)據(jù): 作文成績優(yōu)秀 作文成績一般 總計 課外閱讀量較大 22 10 32 課外閱讀量一般 8 20 28 總計 30 30 60 由以上數(shù)據(jù),計算得到K2的觀測值k≈9.643,根據(jù)臨界值表,以下說法正確的是(  )

12、 A.沒有充足的理由認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) B.有0.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) C.有99.9%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) D.有99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) 考點 獨立性檢驗及其基本思想 題點 獨立性檢驗的方法 答案 D 解析 根據(jù)臨界值表,10.828>9.643>7.879,在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān),即有99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān). 3.某化妝品公司為了增加其商品的銷售利潤,調(diào)查了該商品投入的廣告費用x與銷售利潤y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:

13、 廣告費用x(萬元) 2 3 5 6 銷售利潤y(萬元) 5 7 9 11 由表中數(shù)據(jù),得線性回歸方程l:=x+,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.<0 B.<0 C.直線l過點(4,8) D.直線l過點(2,5) 考點 線性回歸方程 題點 樣本點中心的應(yīng)用 答案 C 解析 因為=1.4>0,=-=8-1.44=2.4>0,所以排除A,B;因為=1.4x+2.4,所以1.42+2.4=5.2≠5,所以點(2,5)不在直線l上,所以排除D;因為=4,=8,所以回歸直線l過樣本點的中心(4,8),故選C. 4.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快,

14、這已經(jīng)成為全球性的威脅.為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果,現(xiàn)隨機抽取100只小鼠進行試驗,得到如下列聯(lián)表: 感染 未感染 總計 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 總計 30 70 100 附表: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 參照附表,在犯錯誤的概率不超過________(填百分比)的前提下,認(rèn)為“小鼠是否被感染與服用疫苗有關(guān)”. 考點 獨立性檢驗及其基本思想 題點 獨立性檢驗的方法 答案 5% 解析 K2的觀測值k=≈4.762>3.841,

15、所以在犯錯誤的概率不超過5%的前提下,認(rèn)為“小鼠是否被感染與服用疫苗有關(guān)”. 5.對于線性回歸方程=x+,當(dāng)x=3時,對應(yīng)的y的估計值是17,當(dāng)x=8時,對應(yīng)的y的估計值是22,那么,該線性回歸方程是________,根據(jù)線性回歸方程判斷當(dāng)x=________時,y的估計值是38. 考點 線性回歸分析 題點 線性回歸方程的應(yīng)用 答案?。絰+14 24 解析 首先把兩組值代入線性回歸方程,得 解得 所以線性回歸方程是=x+14. 令x+14=38,可得x=24,即當(dāng)x=24時,y的估計值是38. 1.建立回歸模型的基本步驟: (1)確定研究對象,明確哪個變量是解釋變量,哪

16、個變量是預(yù)報變量. (2)畫出散點圖,觀察它們之間的關(guān)系. (3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型. (4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù). (5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常. 2.獨立性檢驗是利用隨機變量K2來判斷兩個分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的方法,常用的直觀方法為等高條形圖,等高條形圖由于是等高的,因此它能直觀地反映兩個分類變量之間的差異的大小,而利用假設(shè)的思想方法,計算出某一個隨機變量K2的值來判斷更精確些. 一、選擇題 1.有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)如表: 平均氣溫(℃) -2 -3 -5 -6 銷售額(萬元)

17、 20 23 27 30 則該商品銷售額與平均氣溫有(  ) A.確定性關(guān)系 B.正相關(guān)關(guān)系 C.負(fù)相關(guān)關(guān)系 D.函數(shù)關(guān)系 考點 回歸分析 題點 回歸分析的概念和意義 答案 C 解析 根據(jù)春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)知,y隨x的減小而增大,是負(fù)相關(guān)關(guān)系,故選C. 2.如果K2的觀測值為8.654,可以認(rèn)為“x與y無關(guān)”的可信度為(  ) A.99.5% B.0.5% C.99% D.1% 考點 獨立性檢驗及其基本思想 題點 獨立性檢驗的方法 答案 B 解析 ∵8.654>7.879,∴x與y無關(guān)的可信度為0.5%.

18、3.下面的等高條形圖可以說明的問題是(  ) A.“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響是絕對不同的 B.“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同 C.此等高條形圖看不出兩種手術(shù)有什么不同的地方 D.“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的,但是沒有100%的把握 考點 定性分析的兩類方法 題點 利用圖形定性分析 答案 D 解析 由等高條形圖可知選項D正確. 4.為了了解疾病A是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機地對入院的50人進行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表: 患疾病A 不患疾病A 總

19、計 男 20 5 25 女 10 15 25 總計 30 20 50 則認(rèn)為疾病A與性別有關(guān)的把握約為(  ) A.95% B.99% C.99.5% D.99.9% 考點 獨立性檢驗及其基本思想 題點 獨立性檢驗的方法 答案 C 解析 由公式得K2=≈8.333>7.879,故有(1-0.005)100%=99.5%的把握認(rèn)為疾病A與性別有關(guān). 5.某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(單位:千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位:千元)統(tǒng)計調(diào)查,y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,回歸方程為=0.66x+1.562.若某城市居民人均消費水平為7.

20、675千元,估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為(  ) A.83% B.72% C.67% D.66% 考點 線性相關(guān)系數(shù) 題點 線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案 A 解析 將y=7.675代入回歸方程,可計算得x≈9.26,所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.6759.26≈0.83,即約為83%. 6.考察棉花種子經(jīng)過處理與生病之間的關(guān)系,得到下表中的數(shù)據(jù): 種子處理 種子未處理 總計 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 總計 93 314 407 根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出(  ) A.種子是

21、否經(jīng)過處理與是否生病有關(guān) B.種子是否經(jīng)過處理與是否生病無關(guān) C.種子是否經(jīng)過處理決定是否生病 D.有90%的把握認(rèn)為種子經(jīng)過處理與生病有關(guān) 考點 獨立性檢驗及其基本思想 題點 獨立性檢驗的方法 答案 B 解析 k=≈0.164<0.455, 即沒有充足的理由認(rèn)為種子是否經(jīng)過處理跟生病有關(guān). 7.為預(yù)測某種產(chǎn)品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)取了8組觀察值.計算知i=52,i=228,=478,iyi=1 849,則y關(guān)于x的回歸方程是(  ) A.=11.47+2.62x B.=-11.47+2.62x C.=2.62+11.47x D.

22、=11.47-2.62x 考點 線性回歸分析 題點 線性回歸方程的應(yīng)用 答案 A 解析 由=,=- , 直接計算得≈2.62,≈11.47, 所以線性回歸方程為=2.62x+11.47. 8.若對于變量y與x的10組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的回歸模型中,相關(guān)指數(shù)R2=0.95,又知殘差平方和為120.53,那么(yi-)2的值為(  ) A.241.06 B.2 410.6 C.253.08 D.2 530.8 考點 殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點 殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案 B 解析 設(shè)總偏差平方和為x,根據(jù)公式R2=1-,有0.95=1-, ∴x==2 410.6

23、,故選B. 二、填空題 9.在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時,若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85,則表明氣溫解釋了________的熱茶銷售杯數(shù)變化,而隨機誤差貢獻了剩余的________,所以氣溫對熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機誤差的效應(yīng)大得多. 考點 殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點 殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案 85% 15% 解析 由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知,R2≈0.85表明氣溫解釋了85%,而隨機誤差貢獻了剩余的15%. 10.為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行5次試驗,得到5組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5).根據(jù)收集

24、到的數(shù)據(jù)可知x1+x2+x3+x4+x5=150,由最小二乘法求得線性回歸方程為=0.67x+54.9,則y1+y2+y3+y4+y5的值為______. 考點 線性回歸方程 題點 樣本點中心的應(yīng)用 答案 375 解析 由題意,得=(x1+x2+x3+x4+x5)=30,且回歸直線=0.67x+54.9恒過點(,),則=0.6730+54.9=75,所以y1+y2+y3+y4+y5=5=375. 11.在研究性別與吃零食這兩個分類變量是否有關(guān)系時,下列說法中正確的是________. ①若K2的觀測值k=6.635,則我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系,

25、那么在100個吃零食的人中必有99人是女性; ②由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時,如果某人吃零食,那么此人是女性的可能性為99%; ③由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時,是指每進行100次這樣的推斷,平均有1次推斷錯誤. 考點 獨立性檢驗及其基本思想 題點 獨立性檢驗的思想 答案 ③ 解析 K2的觀測值是支持確定有多大把握認(rèn)為“兩個分類變量吃零食與性別有關(guān)系”的隨機變量值,所以由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時,是指每進行100次這樣的推斷,平均有1次推斷

26、錯誤,故填③. 三、解答題 12.如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出如表數(shù)據(jù)的散點圖; (2)請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+; (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤? 考點 線性回歸分析 題點 線性回歸方程的應(yīng)用 解 (1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù),可得散點圖如圖. (2)由

27、數(shù)據(jù),計算得:=86, ==4.5, ==3.5, iyi=66.5, 所以,由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為 = ==0.7, =-=3.5-0.74.5=0.35, 因此,所求的線性回歸方程為=0.7x+0.35. (3)由(2)中的線性回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為90-(0.7100+0.35)=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤). 四、探究與拓展 13.對某臺機器購置后的運營年限x(x=1,2,3,…)與當(dāng)年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關(guān)關(guān)系,線性回歸方程為=10.47-1.3x,估計該臺機器使用________年最合算. 考點 線性回

28、歸分析 題點 線性回歸方程的應(yīng)用 答案 8 解析 只要預(yù)計利潤不為負(fù)數(shù),使用該機器就算合算,即≥0,所以10.47-1.3x≥0,解得x≤8.05,所以該臺機器使用8年最合算. 14.某校高一年級理科有8個班,在一次數(shù)學(xué)考試中成績情況分析如下: 班級 1 2 3 4 5 6 7 8 大于145分人數(shù) 6 6 7 3 5 3 3 7 不大于145分人數(shù) 39 39 38 42 40 42 42 38 附:xiyi=171,x=204. (1)求145分以上成績y對班級序號x的線性回歸方程;(精確到0.000 1) (2)能否

29、在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為7班與8班的成績是否優(yōu)秀(大于145分)與班級有關(guān)系. 考點 獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點 獨立性檢驗與線性回歸方程、均值的綜合應(yīng)用 解 (1)=4.5,=5,xiyi=171,x=204, == =-≈-0.214 3, =-=5-(-0.214 3)4.5≈5.964 4, ∴線性回歸方程為=-0.214 3x+5.964 4. (2)K2==1.8, ∵1.8<6.635,∴不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為7班與8班的成績是否優(yōu)秀(大于145分)與班級有關(guān)系. 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu),實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。

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