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高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 階段復習課 第2課 數(shù)列學案 新人教A版必修5

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1、 第二課 數(shù)列 [核心速填] 等差、等比數(shù)列的性質 項目 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m 中項 若三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,這時A叫做a與b的等差中項,且A= 若三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列,這時G叫做a與b的等比中項,且G=± 前n項和 公式 Sn==na1+d q≠1時, Sn= = q=1時,Sn=na1 性 質 下標性質 m、n、p、q∈N*且m+n=p+q am+an=ap+aq am·an=ap·aq Sm,

2、 S2m-Sm, S3m-S2m … 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列 [體系構建] [題型探究] 等差(比)數(shù)列的基本運算  等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若a3,a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項,試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn. [解] (1)設{an}的公比為q, 由已知得16=2q3, 解得q=2,∴an=2×2n-1=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32, 則b3=8,b5=32. 設{bn}的公差為d,則有 解得 所以bn=-16+12(n-1)=12

3、n-28. 所以數(shù)列{bn}的前n項和 Sn==6n2-22n. [規(guī)律方法]  在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式an與前n項和公式Sn中,共涉及五個量:a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)為基本量,“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a1,d(q),an,Sn,n的方程組,利用方程的思想求出需要的量,當然在求解中若能運用等差(比)數(shù)列的性質會更好,這樣可以化繁為簡,減少運算量,同時還要注意整體代入思想方法的運用. [跟蹤訓練] 1.已知等差數(shù)列{an}的公差d=1,前n項和為Sn. (1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1; (2)若S5>a1a9,求a

4、1的取值范圍. 【導學號:91432240】 [解] (1)因為數(shù)列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列,所以a=1×(a1+2), 即a-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因為數(shù)列{an}的公差d=1,且S5>a1a9, 所以5a1+10>a+8a1, 即a+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 求數(shù)列的通項公式  (1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3+2n,求an. (2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn且a1=1,an+1=Sn,求an. 思路探究:(1)已知Sn求an時,應分n=1與n≥2討論;

5、 (2)在已知式中既有Sn又有an時,應轉化為Sn或an形式求解. [解] (1)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1, 當n=1時,a1=S1=5不適合上式. ∴an= (2)∵Sn=3an+1, ① ∴n≥2時,Sn-1=3an. ② ①-②得Sn-Sn-1=3an+1-3an, ∴3an+1=4an, ∴=,又a2=S1=a1=. ∴n≥2時,an=&#

6、183;n-2,不適合n=1. ∴an= [規(guī)律方法] 數(shù)列通項公式的求法 (1)定義法,即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法,這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目. (2)已知Sn求an.若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關系,求數(shù)列{an}的通項an可用公式an=求解. (3))累加或累乘法,形如an-an-1=f(n)(n≥2)的遞推式,可用累加法求通項公式;形如=f(n)(n≥2)的遞推式,可用累乘法求通項公式. [跟蹤訓練] 2.設數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列,且an+1-an+an+1·an=0(n∈N*),求{an}的通項公式. 【導

7、學號:91432241】 [解] ∵an+1-an+an+1·an=0, ∴-=1.又=1, ∴是首項為1,公差為1的等差數(shù)列. 故=n. ∴an=. 等差(比)數(shù)列的判定  數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*). (1)設bn=an+1-2an,求證:{bn}是等比數(shù)列. (2)設cn=,求證:{cn}是等差數(shù)列. 思路探究:分別利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義進行證明. [證明] (1)an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2 =4an+1-4an. ====2. 因為S2=a1+a2=4a1+2,所

8、以a2=5. 所以b1=a2-2a1=3. 所以數(shù)列{bn}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an, 所以-=3. 所以cn+1-cn=3,且c1==2, 所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,公差為3,首項為2. [規(guī)律方法] 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法 (1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;(q為常數(shù),q≠0)?{an}是等比數(shù)列. (2)中項公式法:2an+1=an+an+2?{an}是等差數(shù)列;是等比數(shù)列. (3)通項公式法:an=kn+b(k,b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;an=c

9、3;qn(c,q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列. (4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列;Sn=Aqn-A(A,q為常數(shù),且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. 特別提醒:①前兩種方法是判定等差、等比數(shù)列的常用方法,而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.②若要判定一個數(shù)列不是等差(比)數(shù)列,則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等差(比)即可. [跟蹤訓練] 3.(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列{bn}是否

10、為等比數(shù)列,并說明理由; (3)求{an}的通項公式. [解] (1)由條件可得an+1=an. 將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4. 將n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12. 從而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列. 由條件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1. 數(shù)列求和 [探究問題] 1.若數(shù)列{cn}是公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,且an=cn

11、+bn,如何求數(shù)列{an}的前n項和? 提示:數(shù)列{an}的前n項和等于數(shù)列{cn}和{bn}的前n項和的和. 2.有些數(shù)列單獨看求和困難,但相鄰項結合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和.試用此種方法求和: 12-22+32-42+…+992-1002. 提示:12-22+32-42+…+992-1002=(12-22)+(32-42)+…+(992-1002) =(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(99-100)(99+100) =-(1+2+3+4+…+99+100)=-5 050. 3.我們知道=-,試用此公式求和:++…+. 提示:由=-得 ++…+

12、=1-+-+…+-=1-=.  已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=kcn-k(其中c、k為常數(shù)),且a2=4,a6=8a3, (1)求an; (2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn. 【導學號:91432242】 思路探究:(1)已知Sn,據an與Sn的關系an=確定an;(2)若{an}為等比數(shù)列,則{nan}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應項的積構成的新數(shù)列,則可用錯位相減法求和. [解] (1)當n>1時,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1), 則a6=k(c6-c5), a3=k(c3-c2), ==c3=8, ∴c=2. ∵a2=4,即k(c2-c1)=4,

13、 解得k=2, ∴an=2n. 當n=1時,a1=S1=2. 綜上所述,an=2n(n∈N*). (2)nan=n·2n, 則Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n, 2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1, 兩式作差得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1, Tn=2+(n-1)·2n+1. 母題探究:1.(變結論)例題中的條件不變,(2)中“求數(shù)列{nan}的前n項和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列{n+an}的前n項和Tn”.

14、 [解] 由題知Tn=1+2+2+22+3+23+…+n+2n =(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n) =+ =2n+1-2+. 2.(變結論)例題中的條件不變,將(2)中“求數(shù)列{nan}的前n項和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列的前n項和Tn”. [解] 由題Tn=+++…+,① Tn=++…++,② ①-②得:  Tn=+++…+- =-=1-n-, ∴Tn=2--=2-. [規(guī)律方法] 數(shù)列求和問題一般轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和問題或已知公式的數(shù)列求和,不能轉化的再根據數(shù)列通項公式的特點選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠼?,一般常見的求和方法有: (1)公式法:利用等差數(shù)列

15、或等比數(shù)列前n項和公式; (2)分組求和法:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列. (3)裂項(相消)法:有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式, 相加過程消去中間項,只剩有限項再求和. (4)錯位相減法:適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成 的數(shù)列求和. (5)倒序相加法:例如,等差數(shù)列前n項和公式的推導. 我國經濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉變經濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經濟結構,實現(xiàn)經濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。

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