高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程 1.5.3 定積分的概念學(xué)案 新人教A版選修22
《高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程 1.5.3 定積分的概念學(xué)案 新人教A版選修22》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程 1.5.3 定積分的概念學(xué)案 新人教A版選修22(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程 1.5.3 定積分的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo):、1.了解定積分的概念(難點(diǎn)).2.理解定積分的幾何意義.(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)).3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程,了解“以直代曲”“以不變代變”的思想(難點(diǎn)).4.能用定積分的定義求簡(jiǎn)單的定積分(重點(diǎn)). [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程 (1)曲邊梯形的面積 ①曲線梯形:由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖151①所示). ②求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)
2、間[a,b]分成許多小區(qū)間,進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形,對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”,即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值,對(duì)這些近似值求和,就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖151②所示). 圖① 圖② 圖151 ③求曲邊梯形面積的步驟:分割,近似代替,求和,取極限. (2)求變速直線運(yùn)動(dòng)的(位移)路程 如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng),速度函數(shù)v=v(t),那么也可以采用分割,近似代替,求和,取極限的方法,求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s. 2.定積分的概念 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0<x1<…<xi-
3、1<xi<…<xn=b將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n)作和式f(ξi)Δx= f(ξi),當(dāng)n→∞時(shí),上述和式無限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作f(x)dx,即f(x)dx=.其中a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式. 思考:f(x)dx是一個(gè)常數(shù)還是一個(gè)變量?f(x)dx與積分變量有關(guān)系嗎? [提示]由定義可得定積分f(x)dx是一個(gè)常數(shù),它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限,而與積分變量沒有
4、關(guān)系,即f(x)dx=f(t)dt=f(u)du. 3.定積分的幾何意義與性質(zhì) (1)定積分的幾何意義 由直線x=a,x=b(a<b),x軸及一條曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S,則有: ① ?、凇 、? 圖152 ①在區(qū)間[a,b]上,若f(x)≥0,則S=f(x)dx,如圖152①所示,即f(x)dx=S. ②在區(qū)間[a,b]上,若f(x)≤0,則S=-f(x)dx,如圖152②所示,即f(x)dx=-S. ③若在區(qū)間[a,c]上,f(x)≥0,在區(qū)間[c,b]上,f(x)≤0,則S=f(x)dx-f(x)dx,如圖152③所示,即(SA,SB表
5、示所在區(qū)域的面積). (2)定積分的性質(zhì) ①kf(x)dx=kf(x)dx(k為常數(shù)); ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx; ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b). [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.思考辨析 (1)f(x)dx=f(t)dt.( ) (2)f(x)dx的值一定是一個(gè)正數(shù).( ) (3)2xdx<2xdx( ) [答案] (1)√ (2) (3)√ 2.在“近似代替”中,函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi,xi+1]上的近似值( ) A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi) B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi+1) C.可以
6、是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi,xi+1]) D.以上答案均正確 C [作近似計(jì)算時(shí),Δx=xi+1-xi很小,誤差可忽略,所以f(x)可以是[xi,xi+1]上任一值f(ξi).] 3.圖153中陰影部分的面積用定積分表示為( ) 圖153 A.2xdx B.(2x-1)dx C.(2x+1)dx D.(1-2x)dx B [根據(jù)定積分的幾何意義,陰影部分的面積為2xdx-1dx=(2x-1)dx.] 4.已知x2dx=,x2dx=,1dx=2,則(x2+1)dx=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062080】 [解析] ∵x2dx=,x
7、2dx=,1dx=2, ∴(x2+1)dx=x2dx+x2dx+1dx =++2 =+2=. [答案] [合 作 探 究攻 重 難] 求曲邊梯形的面積 求由直線x=0,x=1,y=0和曲線y=x(x-1)圍成的圖形面積. 圖154 [解] (1)分割 將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形,用分點(diǎn),,…,把區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間: ,,…,,…,, 簡(jiǎn)寫作(i=1,2,…,n). 每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx=-=.過各分點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,它們的面積分別記作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSi,…,ΔSn. (2)近似代替 用小矩形面積
8、近似代替小曲邊梯形面積,在小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n),為了計(jì)算方便,取ξi為小區(qū)間的左端點(diǎn),用f(ξi)的相反數(shù)-f(ξi)=-為其一邊長(zhǎng),以小區(qū)間長(zhǎng)度Δx=為另一邊長(zhǎng)的小矩形對(duì)應(yīng)的面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積,可以近似地表示為 ΔSi≈-f(ξi)Δx=-(i=1,2,…,n). (3)求和 因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)小曲邊梯形面積的近似值,所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值,即 S=Si≈-(ξi)Δx = =-[02+12+22+…+(n-1)2]+[0+1+2+…+(n-1)]=-n(n-1)(2n-1)+ =-=-. (4)
9、取極限 當(dāng)分割無限變細(xì),即Δx趨向于0時(shí),n趨向于∞, 此時(shí)-趨向于S.從而有 S= =. 所以由直線x=0,x=1,y=0和曲線y=x(x-1)圍成的圖形面積為. [規(guī)律方法] 求曲邊梯形的面積 (1)思想:以直代曲. (2)步驟:分割→近似代替→求和→取極限. (3)關(guān)鍵:近似代替. (4)結(jié)果:分割越細(xì),面積越精確. (5)求和時(shí)可用到一些常見的求和公式,如 1+2+3+…+n=, 12+22+32+…+n2=, 13+23+33+…+n3=2. [跟蹤訓(xùn)練] 1.求由拋物線y=x2與直線y=4所圍成的曲邊梯形的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062081】
10、 [解] ∵y=x2為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,∴所求曲邊梯形的面積應(yīng)為拋物線y=x2(x≥0)與直線x=0,y=4所圍圖形面積S陰影的2倍,下面求S陰影.由 得交點(diǎn)為(2,4),如圖所示,先求由直線x=0,x=2,y=0和曲線y=x2圍成的曲邊梯形的面積. (1)分割 將區(qū)間[0,2]n等分, 則Δx=, 取ξi=. (2)近似代替求和 Sn= 2 =[12+22+32+…+(n-1)2] =. (3)取極限 S=Sn= =. ∴所求平面圖形的面積為 S陰影=24-=. ∴2S陰影=,即拋物線y=x2與直線y=4所圍成的圖形面積為. 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路
11、程 已知汽車做變速直線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t的速度為v(t)=-t2+2t(單位:km/h),求它在1≤t≤2這段時(shí)間行駛的路程是多少? [解] 將時(shí)間區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間,則第i個(gè)小區(qū)間為, 在第i個(gè)時(shí)間段的路程近似為Δsi=vΔt=,i=1,2,…,n. 所以sn=Δsi= =-[(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(2n)2]+[(n+1)+(n+2)+…+2n] =-+ =-++3+, s=sn= =,所以這段時(shí)間行駛的路程為 km. [規(guī)律方法] 求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的問題,方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積,用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解
12、過程為:分割、近似代替、求和、取極限.應(yīng)特別注意變速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間區(qū)間. [跟蹤訓(xùn)練] 2.一物體自200 m高空自由落下,求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離.(g=9.8 m/s2) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062082】 [解] 自由落體的下落速度為v(t)=gt. 將[3,6]等分成n個(gè)小區(qū)間,每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為. 在第i個(gè)小區(qū)間(i=1,2,…,n)上,以左端點(diǎn)函數(shù)值作為該區(qū)間的速度. 所以sn=v= ==9g+=9g+g. 所以s=sn= =9g+g=9.8=132.3(m). 故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m. 利用定積分的性質(zhì)
13、及 幾何意義求定積分 [探究問題] 1.在定積分的幾何意義中f(x)≥0,如果f(x)<0,f(x)dx表示什么? 提示:如果在區(qū)間[a,b]上,函數(shù)f(x)<0,那么曲邊梯形位于x軸的下方(如圖所示), 由于Δxi>0,f(ξi)<0, 故f(ξi)Δxi<0,從而定積分f(x)dx<0,這時(shí)它等于圖中所示曲邊梯形面積的相反數(shù), 即f(x)dx=-S或S=-f(x)dx. 2.dx的幾何意義是什么? 提示:是由直線x=0,x=2,y=0和曲線y=所圍成的曲邊梯形面積,即以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓的面積即dx=π. 3.若f(x)為[-a,a]上的偶函數(shù),則f(x)dx
14、與f(x)dx存在什么關(guān)系?若f(x)為[-a,a]上的奇函數(shù),則f(x)dx等于多少? 提示:若f(x)為偶函數(shù),則f(x)dx=2f(x)dx;若f(x)為奇函數(shù),則f(x)dx=0. 說明下列定積分所表示的意義,并根據(jù)其意義求出定積分的值. (1)2dx; (2)xdx; (3) dx. [解] (1)2dx表示的是圖①中陰影部分所示的長(zhǎng)方形的面積,由于這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為2,所以2dx=2. ① ?、凇 、? (2)xdx表示的是圖②中陰影部分所示的梯形的面積,由于這個(gè)梯形的面積為,所以xdx=. (3) dx表示的是圖③中陰影部分所示的半徑為1
15、的半圓的面積,其值為,所以dx=. 母題探究:1.(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求dx. [解] dx表示的是圖④中陰影部分所示半徑為1的圓的的面積,其值為, ∴dx=. 2.(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求dx. [解] dx表示的是圖⑤中陰影部分所示半徑為1的圓的面積,其值為, ∴dx=. 3.(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求 (x+)dx. [解] 由定積分的性質(zhì)得, (x+)dx= xdx+dx. ∵y=x是奇函數(shù),∴xdx=0. 由例3(3)知dx=. ∴ (x+)dx=. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基]
16、 1.把區(qū)間[1,3]n等分,所得n個(gè)小區(qū)間中每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為( ) A. B. C. D. B [區(qū)間長(zhǎng)度為2,n等分后每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都是,故選B.] 2.定積分f(x)dx的大小( ) A.與f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān),與ξi的取法無關(guān) B.與f(x)有關(guān),與區(qū)間[a,b]以及ξi的取法無關(guān) C.與f(x)以及ξi的取法有關(guān),與區(qū)間[a,b]無關(guān) D.與f(x)、積分區(qū)間[a,b]和ξi的取法都有關(guān) A [由定積分的定義可知A正確.] 3.由y=sin x,x=0,x=,y=0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):310
17、62083】 [解析] ∵0<x<, ∴sin x>0. ∴y=sin x,x=0,x=,y=0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式為 sin xdx. [答案] sin xdx 4.已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度為v=t,t∈[0,10],若把區(qū)間10等分,取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高,則物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值為__________. [解析] ∵把區(qū)間[0,10]10等分后,每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為n(n=1,2,…,10),每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為1. ∴物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值s=1(1+2+…+10)=55. [答案] 55 5.計(jì)算: (2-5sin x)dx. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062084】 [解] 由定積分的幾何意義得, 2dx=2=2π. 由定積分的幾何意義得,sin xdx=0. 所以 (2-5sin x)dx =2dx-5sin xdx=2π. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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