高中數(shù)學(xué)數(shù)列練習(xí)題及解析[共32頁(yè)]
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1、 . 數(shù)列練習(xí)題 一.選擇題(共16小題) 1.?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1﹣an(n∈N*),若b3=﹣2,b10=12,則a8=( ?。? A. 0 B. 3 C. 8 D. 11 2.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),則an=( ) A. 2+lnn B. 2+(n﹣1)lnn C. 2+nlnn D. 1+n+lnn 3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k等于( ?。? A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 4.已
2、知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=( ) A. 2n﹣1 B. C. D. 5.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且,且n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( ?。? A. an= B. an= C. an=n+2 D. an=(n+2)3n 6.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,bn=log2an,那么數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和等于( ) A. 130 B. 120 C. 55 D. 50 7.在數(shù)列中,若,則該數(shù)列的通項(xiàng)( ?。? A. B.
3、 C. D. 8.在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為( ) A. an= B. an= C. an= D. an= 9.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣an﹣1(n≥2),a1=1,a2=3,記Sn=a1+a2+…+an,則下列結(jié)論正確的是( ?。? A. a100=﹣1,S100=5 B. a100=﹣3,S100=5 C. a100=﹣3,S100=2 D. a100=﹣1,S100=2 10.已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=2an+1,則a3=( ?。? A.
4、3 B. 7 C. 15 D. 18 11.已知數(shù)列{an},滿足an+1=,若a1=,則a2014=( ?。? A. B. 2 C. ﹣1 D. 1 12.已知數(shù)列中,,,,則=( ?。? A. B. C. D. 13.已知數(shù)列中,;數(shù)列中,。當(dāng)時(shí),,,求,.( ?。? 14.已知:數(shù)列{an}滿足a1=16,an+1﹣an=2n,則的最小值為( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 15.已知數(shù)列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N+,則a11=( )
5、 A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an+2Sn﹣1=n,則S2015的值為( ) A. 2015 B. 2013 C. 1008 D. 1007 二.填空題(共8小題) 17.已知無(wú)窮數(shù)列{an}前n項(xiàng)和,則數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為 18.若數(shù)列{an}中,a1=3,且an+1=an2(n∈N*),則數(shù)列的通項(xiàng)an= ?。? 19.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=3,﹣=5(n∈N+),則an= . 20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣
6、2n+2,則數(shù)列的通項(xiàng)an= ?。? 21.已知數(shù)列{an}中,,則a16= ?。? 22.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,若它的前n項(xiàng)和為10,則項(xiàng)數(shù)n為 ?。? 23.?dāng)?shù)列{an}滿足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,則{an}的前60項(xiàng)和為 ?。? 24.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=,an+bn=1,bn+1=(n∈N*),則b2012= ?。? 三.解答題(共6小題) 25.設(shè)數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且當(dāng)a≥2時(shí),4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1. (1)求a4的值;(2)證
7、明:{an+1﹣an}為等比數(shù)列; (3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 26.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2. (Ⅰ)設(shè)bn=an+1﹣an,證明{bn}是等差數(shù)列; (Ⅱ)求{an}的通項(xiàng)公式. 27.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(1+)an+. (1)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 28.(2015?瓊海校級(jí)模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列滿足4Sn=(an+1)2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
8、 (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 29.已知{an}是等差數(shù)列,公差為d,首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn.令,{cn}的前20項(xiàng)和T20=330.?dāng)?shù)列{bn}滿足bn=2(a﹣2)dn﹣2+2n﹣1,a∈R. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若bn+1≤bn,n∈N*,求a的取值范圍. 30.已知數(shù)列{an}中,a1=3,前n和Sn=(n+1)(an+1)﹣1. ①求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列 ②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 ③設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在實(shí)數(shù)M,使得Tn≤M
9、對(duì)一切正整數(shù)n都成立?若存在,求M的最小值,若不存在,試說(shuō)明理由. 2015年08月23日1384186492的高中數(shù)學(xué)組卷 參考答案與試題解析 一.選擇題(共16小題) 1.(2014?湖北模擬)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1﹣an(n∈N*),若b3=﹣2,b10=12,則a8=( ) A. 0 B. 3 C. 8 D. 11 (累加) 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題. 分析: 先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別表示出b3和b10,聯(lián)立方程求得b1和d,進(jìn)而利用疊加法求得b1+b
10、2+…+bn=an+1﹣a1,最后利用等差數(shù)列的求和公式求得答案. 解答: 解:依題意可知求得b1=﹣6,d=2 ∵bn=an+1﹣an, ∴b1+b2+…+bn=an+1﹣a1, ∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了數(shù)列的遞推式.考查了考生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握. 2.(2008?江西)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),則an=( ) A. 2+lnn B. 2+(n﹣1)lnn C. 2+nlnn D. 1+n+lnn (累加) 考點(diǎn): 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)
11、所有 專題: 點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法. 分析: 把遞推式整理,先整理對(duì)數(shù)的真數(shù),通分變成,用迭代法整理出結(jié)果,約分后選出正確選項(xiàng). 解答: 解:∵, , … ∴ = 故選:A. 點(diǎn)評(píng): 數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意n∈N成立,因此可將其中的n換成n+1或n﹣1等,這種辦法通常稱迭代或遞推.解答本題需了解數(shù)列的遞推公式,明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同;會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng). 3.(2007?廣東)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k等于( ?。? A. 9 B. 8 C. 7
12、 D. 6 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題. 分析: 先利用公式an=求出an,再由第k項(xiàng)滿足5<ak<8,求出k. 解答: 解:an= = ∵n=1時(shí)適合an=2n﹣10,∴an=2n﹣10. ∵5<ak<8,∴5<2k﹣10<8, ∴<k<9,又∵k∈N+,∴k=8, 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,解題時(shí)要注意公式an=的合理運(yùn)用. 4.(2015?房山區(qū)一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=( ) A. 2n﹣1 B. C. D.
13、考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題. 分析: 直接利用已知條件求出a2,通過(guò)Sn=2an+1,推出數(shù)列是等比數(shù)列,然后求出Sn. 解答: 解:因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,a2= 所以Sn﹣1=2an,n≥2,可得an=2an+1﹣2an,即:, 所以數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起,是等比數(shù)列,所以Sn=1+=,n∈N+. 故選:B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,前n項(xiàng)和的求法,考查計(jì)算能力. 5.(2015?衡水四模)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且,且n∈N*),則數(shù)
14、列{an}的通項(xiàng)公式為( ?。? A. an= B. an= C. an=n+2 D. an=(n+2)3n 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析: 由題意及足a1=1,且,且n∈N*),則構(gòu)造新的等差數(shù)列進(jìn)而求解. 解答: 解:因?yàn)?,且n∈N*)?, 即,則數(shù)列{bn}為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列, 所以bn=b1+(n﹣1)1=3+n﹣1=n+2,所以, 故答案為:B 點(diǎn)評(píng): 此題考查了構(gòu)造新的等差數(shù)列,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式. 6.(2015?江西一模)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,bn=log2an,那么數(shù)列{b
15、n}的前10項(xiàng)和等于( ?。? A. 130 B. 120 C. 55 D. 50 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由題意可得,可得數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到an,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得到bn,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得出. 解答: 解:在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,即, ∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列, ∴=2n. ∴=n. ∴數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和=1+2+…+10==55. 故選C. 點(diǎn)評(píng)
16、: 熟練掌握等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得出. 7.在數(shù)列中,若,則該數(shù)列的通項(xiàng)( ?。? A. B. C. D. 8.(2015?遵義校級(jí)二模)在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為( ) A. an= B. an= C. an= D. an= 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由=+,確定數(shù)列{}是等差數(shù)列,即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解答: 解:∵=+, ∴數(shù)列{}
17、是等差數(shù)列, ∵a1=1,a2=, ∴=n, ∴an=, 故選:A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,確定數(shù)列{}是等差數(shù)列是關(guān)鍵. 9.(2015?錦州一模)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣an﹣1(n≥2),a1=1,a2=3,記Sn=a1+a2+…+an,則下列結(jié)論正確的是( ?。? A. a100=﹣1,S100=5 B. a100=﹣3,S100=5 C. a100=﹣3,S100=2 D. a100=﹣1,S100=2 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析:
18、 由an+1=an﹣an﹣1(n≥2)可推得該數(shù)列的周期為6,易求該數(shù)列的前6項(xiàng),由此可求得答案. 解答: 解:由an+1=an﹣an﹣1(n≥2),得 an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣(an+2﹣an+1)=﹣(an+1﹣an﹣an+1)=an, 所以6為數(shù)列{an}的周期, 又a3=a2﹣a1=3﹣1=2,a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1,a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3,a6=a5﹣a4=﹣3﹣(﹣1)=﹣2, 所以a100=a96+4=a4=﹣1, S100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=16
19、0+1+3+2﹣1=5, 故選A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列求和,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力. 10.(2015春?滄州期末)已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=2an+1,則a3=( ?。? A. 3 B. 7 C. 15 D. 18 考點(diǎn): 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法. 分析: 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可得到結(jié)論. 解答: 解:∵a1=3,an+1=2an+1, ∴a2=2a1+1=23+1=7, a3=2a2+1=27+1=15, 故選:C. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查數(shù)列的
20、計(jì)算,利用數(shù)列的遞推公式是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ). 11.(2015春?巴中校級(jí)期末)已知數(shù)列{an},滿足an+1=,若a1=,則a2014=( ?。? A. B. 2 C. ﹣1 D. 1 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由已知條件,分別令n=1,2,3,4,利用遞推思想依次求出數(shù)列的前5項(xiàng),由此得到數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列,由此能求出a2014. 解答: 解:∵數(shù)列{an},滿足an+1=,a1=, ∴a2==2, a3==﹣1, a4==, , ∴數(shù)列{an}是周期為3的周期
21、數(shù)列, ∵20143=671…1, ∴a2014=a1=. 故選:A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列的第2014項(xiàng)的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意遞推思想的合理運(yùn)用. 12.已知數(shù)列中,,,,則=( ?。? A. B. C. D. 13.已知數(shù)列中,;數(shù)列中,。當(dāng)時(shí),,,求,.( ?。? A. C. B. 解:因 所以 即…………………………………………(1) 又因?yàn)? 所以…… .即………………………(2) 由(1)、(2)得:, 14.(2014?通州區(qū)二模)已知:數(shù)
22、列{an}滿足a1=16,an+1﹣an=2n,則的最小值為( ?。? A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: a2﹣a1=2,a3﹣a2=4,…,an+1﹣an=2n,這n個(gè)式子相加,就有an+1=16+n(n+1),故,由此能求出的最小值. 解答: 解:a2﹣a1=2, a3﹣a2=4, … an+1﹣an=2n, 這n個(gè)式子相加,就有 an+1=16+n(n+1), 即an=n(n﹣1)+16=n2﹣n+16, ∴, 用均值不等式,知道它在n=4的時(shí)候取最小值7.
23、 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)更列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意遞推公式的靈活運(yùn)用. 15.(2014?中山模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N+,則a11=( ) A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 在等式的兩邊同時(shí)除以n(n+1),得﹣=2(﹣),然后利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可. 解答: 解:因?yàn)閚an+1=(n+1)an+2(n∈N*), 所以在等式的兩邊同時(shí)除以n(n+1),得﹣=2(﹣), 所
24、以=+2[(﹣)+(﹣)+…+(1﹣)]= 所以a11=42 故選D. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,要使熟練掌握這些變形技巧. 16.(2015?綏化一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an+2Sn﹣1=n,則S2015的值為( ?。? A. 2015 B. 2013 C. 1008 D. 1007 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法. 分析: 根據(jù)an+2Sn﹣1=n得到遞推關(guān)系an+1+an=1,n≥2,從而得到當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),an=
25、1,n是偶數(shù)時(shí),an=0,即可得到結(jié)論. 解答: 解:∵當(dāng)n≥2時(shí),an+2Sn﹣1=n, ∴an+1+2Sn=n+1,兩式相減得: an+1+2Sn﹣(an+2Sn﹣1)=n+1﹣n, 即an+1+an=1,n≥2, 當(dāng)n=2時(shí),a2+2a1=2,解得a2=2﹣2a1=0, 滿足an+1+an=1, 則當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),an=1, 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),an=0, 則S2015=1008, 故選:C 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查數(shù)列和的計(jì)算,根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵. 二.填空題(共8小題) 17.(2008?上海)已知無(wú)窮數(shù)列{an}前n項(xiàng)和,則數(shù)
26、列{an}的各項(xiàng)和為 ﹣1 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;極限及其運(yùn)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題. 分析: 若想求數(shù)列的前N項(xiàng)和,則應(yīng)先求數(shù)列的通項(xiàng)公式an,由已知條件,結(jié)合an=Sn﹣Sn﹣1可得遞推公式,因?yàn)槭乔鬅o(wú)窮遞縮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和,故由公式S=即得 解答: 解:由可得:(n≥2), 兩式相減得并化簡(jiǎn):(n≥2), 又, 所以無(wú)窮數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比為﹣, 即無(wú)窮數(shù)列{an}為遞縮等比數(shù)列, 所以所有項(xiàng)的和S= 故答案是﹣1 點(diǎn)評(píng): 本題主要借助數(shù)列前N項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系,考查了數(shù)列的遞推公式和無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和公式,并檢測(cè)了學(xué)生對(duì)求極
27、限知識(shí)的掌握,屬于一個(gè)比較綜合的問(wèn)題. 18.(2002?上海)若數(shù)列{an}中,a1=3,且an+1=an2(n∈N*),則數(shù)列的通項(xiàng)an= ?。? 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 由遞推公式an+1=an2多次運(yùn)用迭代可求出數(shù)列an=an﹣12=an﹣24=…=a12n﹣1 解答: 解:因?yàn)閍1=3 多次運(yùn)用迭代,可得an=an﹣12=an﹣24=…=a12n﹣1=32n﹣1, 故答案為: 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查利用迭代法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,迭代中要注意規(guī)律,靈活運(yùn)用公式,熟練變形是解題的關(guān)鍵 19.(20
28、15?張掖二模)數(shù)列{an}滿足a1=3,﹣=5(n∈N+),則an= . 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題. 分析: 根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式,看出數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列,根據(jù)所給的原來(lái)數(shù)列的首項(xiàng)看出等差數(shù)列的首項(xiàng),根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列,進(jìn)一步得到結(jié)果. 解答: 解:∵根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式 ∴數(shù)列{}是一個(gè)公差是5的等差數(shù)列, ∵a1=3, ∴=, ∴數(shù)列的通項(xiàng)是 ∴ 故答案為: 點(diǎn)評(píng): 本題看出數(shù)列的遞推式和數(shù)列的通項(xiàng)公式,本題解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公
29、式寫出通項(xiàng),本題是一個(gè)中檔題目. 20.(2015?歷下區(qū)校級(jí)四模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣2n+2,則數(shù)列的通項(xiàng)an= . 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題. 分析: 由已知中數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣2n+2,我們可以根據(jù)an=求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,但最后要驗(yàn)證n=1時(shí),是否滿足n≥2時(shí)所得的式子,如果不滿足,則寫成分段函數(shù)的形式. 解答: 解:∵Sn=n2﹣2n+2, ∴當(dāng)n≥2時(shí), an=Sn﹣Sn﹣1=(n2﹣2n+2)﹣[(n﹣1)2﹣2(n﹣1)+2]=2n﹣3 又∵當(dāng)n=1時(shí) a1=S1=1≠21﹣3
30、 故an= 故答案為: 點(diǎn)評(píng): 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由前n項(xiàng)和公式,求數(shù)列的通項(xiàng)公式,其中掌握an=,及解答此類問(wèn)題的步驟是關(guān)鍵. 21.(2015春?邢臺(tái)校級(jí)月考)已知數(shù)列{an}中,,則a16= . 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題. 分析: 由,可分別求a2,a3,a4,從而可得數(shù)列的周期,可求 解答: 解:∵, 則=﹣1 =2 = ∴數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列 ∴a16=a1= 故答案為: 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng),其中尋求數(shù)列的項(xiàng)的規(guī)律,找出數(shù)列的周期是求解的關(guān)鍵 22.(
31、2014春?庫(kù)爾勒市校級(jí)期末)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,若它的前n項(xiàng)和為10,則項(xiàng)數(shù)n為 120?。? 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題. 分析: 由題意知an=,所以Sn=(﹣)+(﹣)+()=﹣1,再由﹣1=10,可得n=120. 解答: 解:∵an== ∴Sn=(﹣)+(﹣)+() =﹣1 ∴﹣1=10,解得n=120 答案:120 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答. 23.(2012?黑龍江)數(shù)列{an}滿足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,則{an}的前60項(xiàng)和為 1830?。?
32、 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得數(shù)列{bn}是以16為公差的等差數(shù)列,而{an}的前60項(xiàng)和為即為數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和,由等差數(shù)列的求和公式可求 解答: 解:∵, ∴ 令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,a4n+1+a4n+3=(a4n+3+a4n+2)﹣(a4n+2﹣a4n+1)=2, a4n+2
33、+a4n+4=(a4n+4﹣a4n+3)+(a4n+3+a4n+2)=16n+8, 則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16 ∴數(shù)列{bn}是以16為公差的等差數(shù)列,{an}的前60項(xiàng)和為即為數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和 ∵b1=a1+a2+a3+a4=10 ∴=1830 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的和,等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列 24.(2012?浙江模擬)已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=,an+bn=1,bn+1=(n∈N*),則b20
34、12= ?。? ; 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題. 分析: 根據(jù)數(shù)列遞推式,判斷{}是以﹣2為首項(xiàng),﹣1為公差的等差數(shù)列,即可求得,故可求結(jié)論. 解答: 解: ∵an+bn=1,bn+1= ∴bn+1== ∴bn+1﹣1= ∴﹣=﹣1 ∵=﹣2 ∴{}是以﹣2為首項(xiàng),﹣1為公差的等差數(shù)列 ∴ ∴ ∴b2012= 故答案為: 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列遞推式,解題的關(guān)鍵是判定{}是以﹣2為首項(xiàng),﹣1為公差的等差數(shù)列,屬于中檔題. 三.解答題(共6小題) 25.(2015?廣東)設(shè)數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N*.已知a
35、1=1,a2=,a3=,且當(dāng)a≥2時(shí),4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1. (1)求a4的值; (2)證明:{an+1﹣an}為等比數(shù)列; (3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (1)直接在數(shù)列遞推式中取n=2,求得; (2)由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1(n≥2),變形得到4an+2+an=4an+1(n≥2),進(jìn)一步得到,由此可得數(shù)列{}是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列; (3)由{}是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,可得.進(jìn)一步得到,說(shuō)明{}是以為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,由此可得數(shù)
36、列{an}的通項(xiàng)公式. 解答: (1)解:當(dāng)n=2時(shí),4S4+5S2=8S3+S1,即, 解得:; (2)證明:∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1(n≥2),∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn(n≥2), 即4an+2+an=4an+1(n≥2), ∵,∴4an+2+an=4an+1. ∵=. ∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列; (3)解:由(2)知,{}是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列, ∴. 即, ∴{}是以為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列, ∴,即, ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的
37、確定,考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,關(guān)鍵是靈活變形能力,是中檔題. 26.(2014?廣西)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2. (Ⅰ)設(shè)bn=an+1﹣an,證明{bn}是等差數(shù)列; (Ⅱ)求{an}的通項(xiàng)公式. 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差關(guān)系的確定.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (Ⅰ)將an+2=2an+1﹣an+2變形為:an+2﹣an+1=an+1﹣an+2,再由條件得bn+1=bn+2,根據(jù)條件求出b1,由等差數(shù)列的定義證明{bn}是等差數(shù)列; (Ⅱ)由(Ⅰ)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b
38、n,代入bn=an+1﹣an并令n從1開(kāi)始取值,依次得(n﹣1)個(gè)式子,然后相加,利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出{an}的通項(xiàng)公式an. 解答: 解:(Ⅰ)由an+2=2an+1﹣an+2得, an+2﹣an+1=an+1﹣an+2, 由bn=an+1﹣an得,bn+1=bn+2, 即bn+1﹣bn=2, 又b1=a2﹣a1=1, 所以{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. (Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1, 由bn=an+1﹣an得,an+1﹣an=2n﹣1, 則a2﹣a1=1,a3﹣a2=3,a4﹣a3=5,…,an﹣an﹣1=2(n﹣1)﹣1,
39、所以,an﹣a1=1+3+5+…+2(n﹣1)﹣1 ==(n﹣1)2, 又a1=1, 所以{an}的通項(xiàng)公式an=(n﹣1)2+1=n2﹣2n+2. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題. 27.(2012?碑林區(qū)校級(jí)模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(1+)an+. (1)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;綜合題. 分析: (1)由已知得=+,即bn+1=bn+,由此能夠推
40、導(dǎo)出所求的通項(xiàng)公式. (2)由題設(shè)知an=2n﹣,故Sn=(2+4+…+2n)﹣(1++++…+),設(shè)Tn=1++++…+,由錯(cuò)位相減法能求出Tn=4﹣.從而導(dǎo)出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解答: 解:(1)由已知得b1=a1=1,且=+, 即bn+1=bn+,從而b2=b1+, b3=b2+, bn=bn﹣1+(n≥2). 于是bn=b1+++…+=2﹣(n≥2). 又b1=1, 故所求的通項(xiàng)公式為bn=2﹣. (2)由(1)知an=2n﹣, 故Sn=(2+4+…+2n)﹣(1++++…+), 設(shè)Tn=1++++…+,① Tn=+++…++,② ①﹣②得, T
41、n=1++++…+﹣ =﹣=2﹣﹣, ∴Tn=4﹣. ∴Sn=n(n+1)+﹣4. 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法,解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用. 28.(2015?瓊海校級(jí)模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列滿足4Sn=(an+1)2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (Ⅰ)由4Sn=(an+1)2.可知當(dāng)n≥2時(shí),4Sn﹣1=(an﹣1+1)2,兩式相減,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求 (Ⅱ) 由(1)知 =
42、,利用裂項(xiàng)求和即可求解 解答: 解:(Ⅰ)∵4Sn=(an+1)2. ∴當(dāng)n≥2時(shí),4Sn﹣1=(an﹣1+1)2. 兩式相減可得,4(sn﹣sn﹣1)= 即4an= 整理得an﹣an﹣1=2 …(4分) 又a1=1 ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1 …(6分) (Ⅱ) 由(1)知 =…(8分) 所以= …(12分) 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用 29.(2015?揭陽(yáng)校級(jí)三模)已知{an}是等差數(shù)列,公差為d,首項(xiàng)a1=3,前
43、n項(xiàng)和為Sn.令,{cn}的前20項(xiàng)和T20=330.?dāng)?shù)列{bn}滿足bn=2(a﹣2)dn﹣2+2n﹣1,a∈R. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若bn+1≤bn,n∈N*,求a的取值范圍. 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;等差數(shù)列的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (Ⅰ)利用T20=330,求出公差,即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)先求出bn,再根據(jù)bn+1≤bn,n∈N*,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求a的取值范圍. 解答: 解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 因?yàn)椋? 所以T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330,
44、 則a2+a4+a6+…+a20=330…(3分) 則 解得d=3 所以an=3+3(n﹣1)=3n…(6分) (Ⅱ) 由(Ⅰ)知bn=2(a﹣2)3n﹣2+2n﹣1bn+1﹣bn=2(a﹣2)3n﹣1+2n﹣[2(a﹣2)3n﹣2+2n﹣1] =4(a﹣2)3n﹣2+2n﹣1= 由bn+1≤bn?…(10分) 因?yàn)殡S著n的增大而增大, 所以n=1時(shí),最小值為, 所以…(12分) 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列的通項(xiàng),考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題. 30.(2015?惠州模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=3,前n和Sn=(n+1)(an+1)﹣1.
45、 ①求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列 ②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 ③設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在實(shí)數(shù)M,使得Tn≤M對(duì)一切正整數(shù)n都成立?若存在,求M的最小值,若不存在,試說(shuō)明理由. 考點(diǎn): 數(shù)列遞推式;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差關(guān)系的確定;數(shù)列的求和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: ①由Sn=(n+1)(an+1)﹣1,得,兩式相減后整理可得nan+1=(n+1)an﹣1(1),則(n+1)an+2=(n+2)an+1﹣1(2),兩式相減整理后利用等差中項(xiàng)公式可判斷; ②由①知,nan+1=(n+1)an﹣1,可求得a2=2a1﹣1=5,
46、又a1=3可求公差,從而可得an; ③使得Tn≤M對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,等價(jià)于Tn的最大值小于等于M,利用裂項(xiàng)相消法可求得Tn,進(jìn)而可求得其最大值; 解答: 解:①∵Sn=(n+1)(an+1)﹣1, ∴, ∴an+1=Sn+1﹣Sn=, 整理得,nan+1=(n+1)an﹣1…(1) ∴(n+1)an+2=(n+2)an+1﹣1…(2) (2)﹣(1),得(n+1)an+2﹣nan+1=(n+2)an+1﹣(n+1)an, ∴2(n+1)an+1=(n+1)(an+2+an), ∴2an+1=an+2+an, ∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列. ②由①知,nan+
47、1=(n+1)an﹣1,得a2=2a1﹣1=5, 又a1=3,∴a2﹣a1=2,即公差為2, an=3+(n﹣1)2=2n+1; ③∵=(), ∴ =, 又當(dāng)n∈N*時(shí),, 要使得Tn≤M對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,只要M≥, ∴存在實(shí)數(shù)M使得Tn≤M對(duì)一切正整數(shù)n都成立,M的最小值為. 點(diǎn)評(píng): 本題考查等差關(guān)系的確定、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和,恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決,裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,要熟練掌握. 單純的課本內(nèi)容,并不能滿足學(xué)生的需要,通過(guò)補(bǔ)充,達(dá)到內(nèi)容的完善 教育之通病是教用腦的人不用手,不教用手的人用腦,所以一無(wú)所能。教育革命的對(duì)策是手腦聯(lián)盟,結(jié)果是手與腦的力量都可以大到不可思議。 優(yōu)質(zhì)范文
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