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1、
人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料
第三章 三角恒等變換(B)
(時(shí)間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.sin 15cos 75+cos 15sin 105等于( )
A.0 B. C. D.1
2.若函數(shù)f(x)=sin2x-(x∈R),則f(x)是( )
A.最小正周期為的奇函數(shù)
B.最小正周期為π的奇函數(shù)
C.最小正周期為2π的偶函數(shù)
D.最小正周期為π的偶函數(shù)
3.已知α∈(,π),sin α=,則tan(α+)等于( )
A. B.7
2、 C.- D.-7
4.函數(shù)f(x)=sin x-cos x(x∈[-π,0])的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.[-π,-] B.[-,-]
C.[-,0] D.[-,0]
5.化簡:的結(jié)果為( )
A.1 B. C. D.tan θ
6.若f(sin x)=3-cos 2x,則f(cos x)等于( )
A.3-cos 2x B.3-sin 2x
C.3+cos 2x D.3+sin 2x
7.若函數(shù)f(x)=sin(x+)+asin(
3、x-)的一條對(duì)稱軸方程為x=,則a等于( )
A.1 B. C.2 D.3
8.函數(shù)y=sin 2x+sin2x,x∈R的值域是( )
A.[-,] B.[-+,+]
C.[-,] D.[--,-]
9.若3sin θ=cos θ,則cos 2θ+sin 2θ的值等于( )
A.- B. C.- D.
10.已知3cos(2α+β)+5cos β=0,則tan(α+β)tan α的值為( )
A.4 B.4 C.-4
4、D.1
11.若cos =,sin =-,則角θ的終邊所在的直線方程為( )
A.7x+24y=0 B.7x-24y=0
C.24x+7y=0 D.24x-7y=0
12.使奇函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)在[-,0]上為減函數(shù)的θ的值為( )
A.- B.- C. D.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.函數(shù)f(x)
5、=sin2(2x-)的最小正周期是______.
14.已知sin αcos β=1,則sin(α-β)=________.
15.若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(α+β)=,則cos α=________.
16.函數(shù)y=sin(x+10)+cos(x+40),(x∈R)的最大值是________.
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(10分)已知sin(α+)=-,α∈(0,π).
(1)求的值;
(2)求cos(2α-)的值.
18.(12分)已知函數(shù)f(x)=2cos xsin x+2
6、cos2x-.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值;
(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
19.(12分)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ),且x∈[-,].
(1)求ab及|a+b|;
(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.
20.(12分)已知△ABC的內(nèi)角B滿足2cos 2B-8cos B+5=0,若=a,=b且a,b滿足:ab=-9,|a|=3,|b|=5,θ為a,b的夾
7、角.
(1)求角B;
(2)求sin(B+θ).
21.(12分)已知向量m=(-1,cos ωx+sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其中ω>0,且m⊥n,又函數(shù)f(x)的圖象任意兩相鄰對(duì)稱軸的間距為.
(1)求ω的值;
(2)設(shè)α是第一象限角,且f(α+)=,求的值.
22.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),其圖象過點(diǎn)(,).
(1)求φ的值;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐
8、標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在[0,]上的最大值和最小值.
第三章 三角恒等變換(B)
答案
1.D [原式=sin 15cos 75+cos 15sin 75=sin 90=1.]
2.D [f(x)=sin2x-=(2sin2x-1)=-cos 2x,
∴T==π,f(x)為偶函數(shù).]
3.A [∵α∈(,π),sin α=,∴cos α=-,
tan α==-.∴tan(α+)===.]
4.D [f(x)=sin x-cos x=2sin(x-).
令2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ-≤x≤2k
9、π+(k∈Z),
令k=0得-≤x≤.
由此可得[-,0]符合題意.]
5.B [原式===sin 60=.]
6.C [f(sin x)=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x,
∴f(x)=2x2+2,
∴f(cos x)=2cos2x+2=1+cos 2x+2=3+cos 2x.]
7.B [f(x)=sin(x+)-asin(-x)=sin(x+)-acos(+x)=sin(x+-φ)
∴f()=sin +asin =a+=.
解得a=.]
8.B [y=sin 2x+sin2x=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,
∵x∈R,
10、
∴-1≤sin(2x-)≤1,
∴y∈[-+,+].
9.B [∵3sin θ=cos θ,∴tan θ=.
cos 2θ+sin 2θ=cos2θ-sin2θ+2sin θcos θ=
===.]
10.C [3cos(2α+β)+5cos β
=3cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cos α+5sin(α+β)sin α=0,
∴2sin(α+β)sin α=-8cos(α+β)cos α,
∴tan(α+β)tan α=-4.]
11.D [cos =,sin =-,tan =-,∴tan θ===.
∴角θ的終邊在直線24
11、x-7y=0上.]
12.D [∵f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=sin θ+cos θ=0.
∴tan θ=-.∴θ=kπ-,(k∈Z).
∴f(x)=2sin(2x+θ+)=2sin 2x.
∵f(x)在[-,0]上為減函數(shù),
∴f(x)=-2sin 2x,∴θ=.]
13.
解析 ∵f(x)=[1-cos(4x-)]=-sin 4x ∴T==.
14.1
解析 ∵sin αcos β=1,
∴sin α=cos β=1,或sin α=cos β=-1,
∴cos α=sin β=0.
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos
12、 β=1.
15.
解析 cos β=-,sin β=,
sin(α+β)=,cos(α+β)=-,
故cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=(-)(-)+=.
16.1
解析 令x+10=α,則x+40=α+30,
∴y=sin α+cos(α+30)
=sin α+cos αcos 30-sin αsin 30
=sin α+cos α
=sin(α+60).
∴ymax=1.
17.解 (1)sin(α+)=-,α∈(0,π)?cos α=-,α∈(0,π)?sin α=.
==-.
(2)∵cos α
13、=-,sin α=?sin 2α=-,cos 2α=-.
cos(2α-)=-cos 2α+sin 2α=-.
18.解 (1)原式=sin 2x+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)=2(sin 2xcos +cos 2xsin )
=2sin(2x+).
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)當(dāng)2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)時(shí),f(x)有最大值為2.
當(dāng)2x+=2kπ-,即x=kπ-(k∈Z)時(shí),f(x)有最小值為-2.
(3)要使f(x)遞增,必須使2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間
14、為[kπ-,kπ+](k∈Z).
19.解 (1)ab=cos cos -sin sin =cos 2x,
|a+b|===2|cos x|,
∵x∈[-,],∴cos x>0,
∴|a+b|=2cos x.
(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2(cos x-)2-.
∵x∈[-,].∴≤cos x≤1,
∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最小值-;當(dāng)cos x=1時(shí),f(x)取得最大值-1.
20.解 (1)2(2cos2B-1)-8cos B+5=0,即4cos2B-8cos B+3=0,得cos B=.
又B為△ABC的內(nèi)角,∴B
15、=60.
(2)∵cos θ==-,∴sin θ=.∴sin(B+θ)=sin Bcos θ+cos Bsin θ=.
21.解 (1)由題意,得mn=0,所以
f(x)=cos ωx(cos ωx+sin ωx)=+=sin(2ωx+)+.
根據(jù)題意知,函數(shù)f(x)的最小正周期為3π.
又ω>0,所以ω=.
(2)由(1)知f(x)=sin(+)+,
所以f(α+)=sin(α+)+=cos α+=.
解得cos α=.
因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?故sin α=.
所以====-.
22.解 (1)因?yàn)閒(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0
16、<φ<π),
所以f(x)=sin 2xsin φ+cos φ-cos φ
=sin 2xsin φ+cos 2xcos φ
=(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)
=cos(2x-φ).
又函數(shù)圖象過點(diǎn)(,),
所以=cos(2-φ),
即cos(-φ)=1,
又0<φ<π,所以φ=.
(2)由(1)知f(x)=cos(2x-),將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,可知g(x)=f(2x)=cos(4x-),
因?yàn)閤∈[0,],所以4x∈[0,π],
因此4x-∈[-,],
故-≤cos(4x-)≤1.
所以y=g(x)在[0,]上的最大值和最小值分別為和-.