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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
平面向量與三角形的應用舉例
一、平面向量與三角形的心
1、重心(中線交點)
(1)是的重心
(2)是的重心(是平面上的點)
證明:
∵是的重心
∴,即
由此可得。
例如:已知向量,滿足條件,,
求證:是正三角形。
分析:對于本題中的條件,容易想到,點是的外心,而另一個條件表明,點是的重心。
故本題可描述為,若存在一個點既是三角形的重心也是外心,則該三角形一定是正三角形。又如,若
一個三角形的重心與外接圓圓心重合,則此三角形為何種三角形?與本題實質(zhì)是相同的。
2、
顯然,本題中的條件可改為。
2、垂心(高線交點)
(1)是的垂心
由,
同理,。故是的垂心。反之亦然。
(2)是(非直角三角形)的垂心,則有
且。
3、外心(邊垂直平分線交點,外接圓圓心)
(1)是的外心(點到的三個頂點距離相等)
(2)是的外心(為三邊垂直平分線交點)
(3)是的外心,則有
且。
4、內(nèi)心(角平分線交點,內(nèi)切圓圓心)
(1)是的內(nèi)心
(2)是的內(nèi)心
(3)引進單位向量,使條件變得更簡潔。記,,的單位向量為,則是的內(nèi)心
(4)是的內(nèi)心,則
故或
(5)是的內(nèi)心
(6)向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)
(7)設(shè)是所在平
3、面內(nèi)任意一點,為內(nèi)心
例如:是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足
則的軌跡一定通過的( )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
分析:已知等式即,設(shè),顯然都是單位向量,以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形,則結(jié)果為菱形,故為的平分線,選。
5、外心與重心:若是的外心,是重心,則
6、外心與垂心:若是的外心,是垂心,則
7、重心與垂心:若是的重心,是垂心,則
8、外心、重心、垂心:若分別是銳角的外心、重心、垂心,則
證明:按重心定理:是的重心;
按垂心定理:,由此可得:。
9、三角形的外心、重心、垂心的位置關(guān)系:
(1)三角形的外心
4、、重心、垂心三點共線,即歐拉線;
(2)三角形的重心在歐拉線上,且為外心、垂心連線的第一個三分點,即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。
例如:在中,已知分別是三角形的外心、重心、垂心。求證:三點共線,且
。
證明:以為原點,所在的直線為軸,建立如上圖所示的直角坐標系。
設(shè)、、,分別為的中點,
則有:,
由題設(shè)可設(shè),
,
即,故三點共線,且。
二、應用舉例
1、已知在所在平面內(nèi),且,且
,則點依次是的( C )
A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心
2、是所在平面內(nèi)的
5、一點,滿足,則點是的( D )
A、三個內(nèi)角的角平分線的交點 B、三條邊的垂直平分線的交點
C、三條中線的交點 D、三條高的交點
解:由,得 ∴
∴是的垂心,即三條高的交點。
3、在同一個平面上有及一點滿足關(guān)系式:,
則為的( D )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
4、已知,為三角形所在平面上的動點,且滿足:,則點
為的( D )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
5、已知是所在平面內(nèi)任意一點,且,則是的( C )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
解:若是
6、的重心,則有(是的中點)
,
∴。∴與重合,即是的重心。
6、已知的頂點及平面內(nèi)一點滿足:,則為的( C )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
7、已知是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足:
,則的軌跡一定通過的( C )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
8、已知,為三角形所在平面上的一點,且點滿足:,則點為的( B )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
9、在中,動點滿足:,則點一定通過的( B )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
1
7、0、已知是平面內(nèi)的一個點,是平面上不共線的三點,動點滿足
,則點的軌跡一定過的( B )
A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
11、已知是平面上不共線的三點,是的重心,動點滿足,則點一定為的( B )
A、邊中線的中點 B、邊中線的三等分點(非重心) C、重心 D、邊的中點
分析:取邊的中點,則,由,
得3,,即點為三角形中邊中線的一個三等分點,且不過重心。
12、非零向量與滿足且,則為( D )
A、三邊均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等邊三角形 D、等邊三角形
13、的外接圓的圓
8、心為,兩邊上的高的交點為,,則實數(shù) 。
解:當為時,不妨設(shè),則是的中點,是直角頂點,
∴,∴,∴。
14、若是的外心,是三邊中點構(gòu)成的的外心,且
,則 。
(其實是的中點,∴;也可用特例時得)
15、在四邊形中,=,,則四邊形
的面積是 。
解析:由題知四邊形是菱形,其邊長為,且對角線等于邊長的倍,所以
,故,。
16、如圖,已知點是的重心,過作直線與兩邊分別交于兩點,且,,求證:。
證明:點是的重心,得,有。
又三點共線(不在直線上),于是存在,使得,
有,得,于是得。
17、已知為的外心,求證:。
分析:構(gòu)造坐標系證明。
如圖,以為坐標原點,在軸的正半軸,在軸的上方。,直線的方程是,由于點與點必在直線的同側(cè),且,
因此有,得。
直線的方程是,由于點與點必在直線的同側(cè),且,因此有,得。
于是,容易驗證,,又,
,,又,
則所證成立。