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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
技法強(qiáng)化訓(xùn)練(一) 函數(shù)與方程思想
(對應(yīng)學(xué)生用書第159頁)
題組1 運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列、不等式等問題
1.已知{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,Sn是其前n項(xiàng)和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8的值為( )
A.16 B.32
C.64 D.62
C [由題意可知a=a1a5,
即(1+d)2=1×(1+4d),解得d=2,
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
∴S8==4×(
2、1+15)=64.]
2.若2x+5y≤2-y+5-x,則有( )
A.x+y≥0 B.x+y≤0
C.x-y≤0 D.x-y≥0
B [原不等式可化為2x-5-x≤2-y-5y,構(gòu)造函數(shù)y=2x-5-x,其為R上的增函數(shù),所以有x≤-y,即x+y≤0.]
3.若關(guān)于x的方程x2+2kx-1=0的兩根x1,x2滿足-1≤x1<0<x2<2,則k的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334007】
A. B.
C. D.
B [構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+2kx-1,因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2+2kx-1=0的兩根x1,x2滿足-1≤x1<0<x
3、2<2,
所以即
所以-<k≤0,所以k的取值范圍是.]
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=60,an+1-an=2n(n∈N*),則的最小值為________.
[由an+1-an=2n,得
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2(n-1)+2(n-2)+…+2+60
=n2-n+60.
∴==n+-1.
令f(x)=x+-1,易知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
又n∈N*,當(dāng)n=7時(shí),=7+-1=,
當(dāng)n=8時(shí),=8+-1=.
又<,故的最小值為.]
5.已知函數(shù)f(x)=x
4、ln x+a,g(x)=x2+ax,其中a≥0.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與曲線y=g(x)也相切,求a的值;
(2)證明:x>1時(shí),f(x)+<g(x)恒成立.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334008】
[解] (1)由f(x)=xln x+a,得f(1)=a,
f′(x)=ln x+1,所以f′(1)=1. 1分
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=x+a-1.因?yàn)橹本€y=x+a-1與曲線y=g(x)也相切,
所以兩方程聯(lián)立消元得x2+ax=a+x-1,
即x2+(a-1)x+1-a=0, 3分
所以Δ=(a-1)2
5、-4××(1-a)=0,得a2=1.
因?yàn)閍≥0,所以a=1. 4分
(2)證明:x>1時(shí),f(x)+<g(x)恒成立,等價(jià)于x2+ax-xln x-a->0恒成立.
令h(x)=x2+ax-xln x-a-,
則h(1)=0且h′(x)=x+a-ln x-1. 6分
令φ(x)=x-ln x-1,則φ(1)=0且φ′(x)=1-=, 8分
所以x>1時(shí),φ′(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增,
所以φ(x)>φ(1)=0.
又因?yàn)閍≥0,所以h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)>h(1)=0,
所以x>1時(shí),x2+ax-xln
6、x-a->0恒成立, 11分
即x>1時(shí),f(x)+<g(x)恒成立. 12分
題組2 利用函數(shù)與方程思想解決幾何問題
6.設(shè)拋物線C:y2=3px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
C [由拋物線的定義可知MF=xM+=5,∴xM=5-,y=15p-,故以MF為直徑的圓的方程為(x-xM)(x-xF)+(y-yM)(y-yF)=0,
即+(2-yM)(2-0)=0.
∴yM=2+-
7、=2+?yM=4,p=或.
∴C的方程為y2=4x或y2=16x.]
7.(20xx·寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬考試)在直三棱柱A1B1C1ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GD⊥EF,則線段DF的長度的取值范圍為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334009】
A. B.
C. D.
A [建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E,G,設(shè)F(x,0,0),D(0,y,0),則=,=,x,y∈(0,1).
由于GD⊥EF,所以x+2y-1=0
8、,x=1-2y∈(0,1),解得0<y<.DF===,當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí),線段DF長度的最小值是,當(dāng)y=0時(shí),線段DF的最大值是1,由于不包括端點(diǎn),故y=0不能取,所以線段DF的長度的取值范圍是,故選A.]
8.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,并且經(jīng)過定點(diǎn)P.
(1)求橢圓E的方程;
(2)問:是否存在直線y=-x+m,使直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且滿足·=?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334010】
[解] (1)由e==且+=1,c2=a2-b2,
解得a2=4,b2=1,
即橢圓E的方程為+y2=1. 4分
9、 (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由?x2+4(m-x)2-4=0?
5x2-8mx+4m2-4=0.(*)
所以x1+x2=,x1x2=, 8分
y1y2=(m-x1)(m-x2)=m2-m(x1+x2)+x1x2=m2-m2+=,由·=得(x1,y1)·(x2,y2)=,即x1x2+y1y2=,+=,
m=±2.
又方程(*)要有兩個(gè)不等實(shí)根,所以Δ=(-8m)2-4×5(4m2-4)>0,解得-<m<,所以m=±2. 12分
9.如圖1,直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=5,
10、AA′=AB=6,D,E分別為AB和BB′上的點(diǎn),且==λ.
圖1
(1)求證:當(dāng)λ=1時(shí),A′B⊥CE;
(2)當(dāng)λ為何值時(shí),三棱錐A′CDE的體積最小,并求出最小體積.
[解] (1)證明:∵λ=1,∴D,E分別為AB和BB′的中點(diǎn). 1分
又AA′=AB,且三棱柱ABCA′B′C′為直三棱柱,
∴平行四邊形ABB′A′為正方形,∴DE⊥A′B. 2分
∵AC=BC,D為AB的中點(diǎn),∴CD⊥AB. 3分
∵三棱柱ABCA′B′C′為直三棱柱,
∴CD⊥平面ABB′A′,∴CD⊥A′B, 4分
又CD∩DE=D,∴A′B⊥平面CDE.
∵CE?平面CDE,∴A′B⊥CE. 6分
(2)設(shè)BE=x,則AD=x,DB=6-x,B′E=6-x.由已知可得C到平面A′DE的距離即為△ABC的邊AB所對應(yīng)的高h(yuǎn)==4, 8分
∴VA′CDE=VCA′DE=(S四邊形ABB′A-S△AA′D-S△DBE-S△A′B′E)·h
=·h
=(x2-6x+36)=[(x-3)2+27](0<x<6), 14分
∴當(dāng)x=3,即λ=1時(shí),VA′CDE有最小值18. 15分