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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 第6章 數列 第1節(jié) 等差數列與等比數列 題型70 等差、等比數列的通項及基本量的求解 1. (20xx安徽文7）設為等差數列的前項和，，，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 借助等差數列前項和公式及通項公式的性質，計算數列的公差，進而得到的值. 解析 由等差數列性質及前項和公式，得，所以. 又，所以公差，所以.故選A. 2. （20xx遼寧文14）已知等比數列是遞增數列，是的前項和

2、.若是方 程的兩個根，則 . 2. 解析：因為，是方程的兩個根，且數列是遞增的等比數列，所 以，，，所以. 3. （20xx四川文16）在等比數列中，，且為和的等差中項，求數列的首項、公比及前項和. 3．分析 由已知列出兩個含和的方程并求解，再借助等比數列求和公式得． 解析 設該數列的公比為． 由已知，得所以解得（舍去） 故首項，公比.所以數列的前項和. 4. （20xx山東文20）設等差數列的前項和為，且，. （1）求數列的通項公式； （2）設數列滿足，，求數列的前項和． 4.分析 （1）由于已知是等差數列，因此可考慮用基本量表示已知等式

3、，進而求 出的通項公式.（2）先求出，進而求出的通項公式，再用錯位相減法求的 前項和. 解析 （1）設等差數列的前項為，公差為. 由，，得 解得因此. （2）由已知， 當時，； 當時，.所以. 由（1）知，所以. 所以. . 兩式相減，得，所以. 5.（20xx浙江19）在公差為的等差數列中，已知，且成等比數列. （1）求，； （2）若，求 5.分析 （1）用把表示出來，利用成等比數列列方程即可解出， 進而根據等差數列的通項公式寫出.（2）根據（1）及確定數列的通項公式，確定

4、 的符號，以去掉絕對值符號，這需要對的取值范圍進行分類討論. 解析（1）由題意得，，由，為公差為的等差數列得， ，解得或.所以或.（2）設數列的前項和為. 因為，由（1）得，，所以當時， ； 當時，. 綜上所述， 6.（20xx重慶文2）在等差數列中，，則（ ）. 7.（20xx江蘇7）在各項均為正數的等比數列中，，，則的值是 ． 8.（20xx新課標Ⅰ文17）（本小題滿分12分） 已知是遞增的等差數列，，是方程的根. （1）求的通項公式； （2）求數列的前項和. 9. （

5、20xx山東文19）（本小題滿分12分） 在等差數列中，已知公差，是與的等比中項. （1）求數列的通項公式； （2）設，記，求. 10.（20xx福建文17）（本小題滿分12分） 在等比數列中，. （1）求； （2）設，求數列的前項和. 11.（20xx浙江文19）已知等差數列的公差，設的前項和為，，. （1）求及； （2）求的值，使得. 12.（20xx北京文5）執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的值為（ ）. A.3 B. 4 C.5 D.6 12.解析 解法

6、一:執(zhí)行程序框圖， ，， ，， ，， ，， 輸出.故選B. 解法二：由算法圖知是一個以3為首項，為公比的等比數列，即，解得. 13.（20xx全國文7）已知是公差為1的等差數列，為的前項和，若，則（ ）. A. B. C. D. 13.解析 解法一：由，，知， 解得.所以.故選B. 解法二：由，即，可得. 又公差，所以，即，解得. 則.故選B. 14.（20xx全國1文13）在數列中，，為的前n項和.若，則 . 14.解析 由，得，即數列是公比為的等比數

7、列. ，得. 15.（20xx全國Ⅱ文9）已知等比數列滿足，，則（ ）. A. B. C. D. 15.解析 由等比數列的性質得，即，則 .所以有， 所以.故 .故選C. 16.（20xx陜西文13）中位數為的一組數構成等差數列，其末項為，則該數列的 首項為________. 16.解析 若這組數有個，則，，又， 所以；若這組數有個，則，， 又，所以. 17.（20xx江蘇8）已知是等差數列，是其前項和.若，，則的值是 . 17.20解析 設公差為，則由題

8、意可得，解得，則. 18.（20xx全國甲文17）等差數列中，，. （1）求的通項公式； （2）設，求數列的前項和，其中表示不超過的最大整數，如，. 18.解析 （1），解得，所以（）. （2） . 19.（20xx江蘇9）等比數列的各項均為實數，其前項的和為，已知，，則 ． 19.解析 解法一：由題意等比數列公比不為，由，因此，得． 又，得，所以．故填． 解法二（由分段和關系）：由題意，所以，即．下同解法一． 20.（20xx全國1文17）記為等比數列的前項和.已知，. （1）求的通項公式； （2）求，并判斷，，是否成等差數列. 20

9、.解析 （1）由題意設等比數列的首項為，公比為， 則，從而，即， 整理得，因此，所以， 數列的通項公式為． （2）由（1）知， 因此 ． 所以，，成等差數列． 21.（20xx全國2文17）已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為，，，. （1）若，求的通項公式； （2）若，求. 21.解析 (1)設的公差為，的公比為. 由等差數列、等比數列的通項公式可得，解得， 故的通項公式為. (2)由(1)及已知得，解得或. 所以或. 22.（20xx北京文15）已知等差數列和等比數列滿足，，． （1）求的通項公式； （2）求和：． 22解析 （1）設的公差

10、為， ，所以，所以. （2） 設的公比為，=，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以. 題型71 等差、等比數列的求和問題的拓展 1.（20xx廣東文11） 設數列是首項為，公比為的等比數列，則 ． 1.分析 由首項和公比寫出等比數列的前項，然后代入代數式求值.也 可以構造新數列，利用其前項和公式求解. 解析 方法一：. 方法二：因為，數列是首項為，公比為的等比數列，故所求代數式的值為. 2.（20xx安徽理13） 已知在數列中，，，則數列的 前9項和等于 . 2.解析 由題意可得，又，所以是以為首項，為公差的等差數列， 所以.又滿

11、足上式，所以， 所以.所以. 題型72 等差、等比數列的性質及其應用 1. （20xx遼寧文4 ）下面是關于公差的等差數列的四個命題： 數列是遞增數列； 數列是遞增數列； 數列是遞增數列；數列是遞增數列； 其中的真命題為 A. B. C. D. 1.分析 根據等差數列的性質判定. 解析 因為，所以，所以是真命題．因為，但是的符號不知道，所以是假命題.同理是假命題． 由，所以是真命題．故選D. 2. （20xx江西文12）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于棵，若第一天植棵，以后每天植樹 的棵樹是前一天的倍

12、，則需要的最少天數（）等于 . 2.解析 每天植樹的棵數構成以為首項，為公比的等比數列，其前項和 .由，得.由于， 則，即. 3. （20xx江蘇14） 在正項等比數列中，，，則滿足 的最大正整數的值為 . 3. 分析 首先由已知條件求出的公比與首項，然后根據求和公式和通項公式將不等式的 兩邊求出，用表示，得到關于的不等式，然后對不等式進行轉化，求得的取值范圍并 進行估算和驗證，從而得到的最大值. 解析 設的公比為，則由已知可得解得 于是，. 由可得，整理得. 由可得，即， 解得

13、，即，可以驗證當時滿足，時不滿足，故的最大值為12. 4.(20xx重慶文12） 若成等差數列，則 . 4.分析 利用等差數列的有關知識先求出公差再運算求解. 解析 由題意得該等差數列的公差，所以. 5. (20xx陜西文17）設表示數列的前項和. （1）若是等差數列，推導的計算公式； （2）若，且對所有正整數，有.判斷是否為等比數列，并證明你的結論. 5.分析 利用等差數列的性質倒序相加求和；等比數列的證明通過定義進行. 解析 （1）方法一：設的公差為，則 . 又，所以，所以． 方法二：設的公差為，則 ． 又, 所以， 所以. （2）是

14、等比數列.證明如下： 因為，所以． 因為，，所以當時，有. 因此，是首項為且公比為的等比數列． 6.（20xx遼寧文9）設等差數列的公差為，若數列為遞減數列，則（ ） A． B． C． D． 7.（20xx陜西文8）原命題為“若，則為遞減數列”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）. A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假 8. （20xx廣東文13）等比數列的各項均為正數，且，則 ________.

15、 9.（20xx江西文13）在等差數列中，，公差為，前項和為，當且僅當時取得最大值，則的取值范圍是 . 10.（20xx陜西文16）（本小題滿分12分） 的內角所對的邊分別為. （1）若成等差數列，求證：； （2）若成等比數列，且，求的值. 11.（20xx廣東文13）若三個正數，，成等比數列，其中，， 則 ． 11.解析 因為三個正數，，成等比數列，所以. 因為，所以. 12.（20xx全國Ⅱ文5） 設是等差數列的前項和，若，則（ ）. A. B. C. D

16、. 12.解析 由已知，則，. 又因為 .故選A. 13.（20xx江蘇19）對于給定的正整數，若數列滿足對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”． （1）證明：等差數列是“數列”； （2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列． 13.解析 （1）因為是等差數列，設其公差為，則， 從而當時， ，， 所以，因此等差數列是“數列”． （2）由數列既是“數列”，又是“數列”， 因此，當時， ① 當時， ② 由①知，

17、 ③ ④ 將③④代入②，得，其中， 所以是等差數列，設其公差為． 在①中，取，則，所以， 在①中，取，則，所以，從而數列是等差數列． 評注 這是數列新定義的問題，其實類似的問題此前我們也研究過，給出僅供參考． （20xx南通基地密卷7第20題）設數列的各項均為正數，若對任意的，存在，使得成立，則稱數列為“型”數列． （1）若數列是“型”數列，且，，求； （2）若數列既是“型”數列，又是“型”數列，證明數列是等比數列． 解析 （1）由題意得，成等比數列， 且公比，所以． （2）由

18、是“型”數列得成等比數列，設公比為， 由是“型”數列得成等比數列，設公比為； 成等比數列，設公比為； 成等比數列，設公比為； 則，，， 所以，不妨令，則． 所以，， 所以， 綜上，從而是等比數列． 題型73 判斷或證明數列是等差、等比數列 1.（20xx江蘇20）設數列的前項和為．若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是“數列”． （1）若數列的前項和 ，求證：是“數列”； （2）設是等差數列，其首項，公差．若 是“數列”，求的值； （3）求證：對任意的等差數列，總存在兩個“數列”和，使得成立． 2.（20xx廣東文19）設數列的前項和為，．已知，，，

19、且當時，． （1）求的值； （2）求證：為等比數列； （3）求數列的通項公式． 2.解析 （1）當時，， 即，解得. （2）因為（）， 所以（）， 即（），亦即， 則. 當時，，滿足上式. 故數列是以為首項，公比為的等比數列. （3）由（2）可得，即， 所以數列是以為首項，為公差的等差數列， 所以，即， 所以數列的通項公式是. 3.（20xx湖南文19）設數列的前項和為，已知，， 且. （1）證明：； （2）求. 3.解析（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即， 又，所以，故對一切，. （2）由（I）知，，所以，于是數列是首項，公

20、比為的等比數列，數列是首項，公比為的等比數列，所以， 于是 ， 從而， 綜上所述，. 4.（20xx湖南文21）函數，記為的從小到大的第個極值點. （1）證明：數列是等比數列； （2）若對一切恒成立，求的取值范圍. 4.解析（1）， 令，由，得，即， 若，即，則； 若，即，則. 因此，在區(qū)間與上，的符號總相反， 于是當時，取得極值，所以， 此時，，易知， 而是常數， 故數列是首項為，公比為的等比數列. （2）對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因為）. 設，則，令得， 當時，，所以在區(qū)間上單調遞減； 當時，，所以在區(qū)間上單調遞增； 因為，且當時，，

21、所以， 因此恒成立，當且僅當，解得， 故實數的取值范圍是. 5.（20xx浙江文8）如圖所示，點列分別在某銳角的兩邊上，且， (表示點與不重合) .若，為的面積，則（ ）. A .是等差數列 B.是等差數列 C.是等差數列 D.是等差數列 5.A解析 設點到對面直線的距離為，則.由題目中條件可知的長度為定值，則.那么我們需要知道的關系式，過點作垂直得到初始距離，那么和兩個垂足構成了直角梯形，那，其中為兩條線的夾角，那么，由題目中條件知，則.所，其中為定值，所以為等差數列.故選A. 6.（20xx全國1文17）記為等比數列的前項和.已知，. （1）求的通項公式； （2）求，并判斷，，是否成等差數列. 6.解析 （1）由題意設等比數列的首項為，公比為， 則，從而，即， 整理得，因此，所以，數列的通項公式為． （2）由（1）知， 因此 ． 所以，，成等差數列． 歡迎訪問“高中試卷網”——http://sj.fjjy.org