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1、課題:解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例
一、教材分析
本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課,可以說(shuō)是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計(jì)的,因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。在本節(jié)課的教學(xué)中,用方程的思想作支撐,以具體問(wèn)題具體分析作指導(dǎo),引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題并最終解決問(wèn)題。
二、教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能
①能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題,了解測(cè)量的方法和意義
②會(huì)在各種應(yīng)用問(wèn)題中,抽象或構(gòu)造出三角形,標(biāo)出已知量、未知量,確定解三角形的方法,搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問(wèn)題和基本圖形和基本等量關(guān)系,
2、理解各種應(yīng)用問(wèn)題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)(如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等)
2、過(guò)程與方法
①采用啟發(fā)與嘗試的方法,讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會(huì)正確識(shí)圖、畫圖、想圖,幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架
②通過(guò)解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí),提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力;通過(guò)解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用,要求學(xué)生體會(huì)具體問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題,以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用
3、情感態(tài)度價(jià)值觀
①激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值
②培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力
③進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力
三、教學(xué)重點(diǎn)
3、、難點(diǎn)
1、重點(diǎn):①實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化
②掌握運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)方法解三角形的方法
2、難點(diǎn):實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化思路的確定
四、教學(xué)方法與手段
本節(jié)課的重點(diǎn)是正確運(yùn)用正弦定理、余弦定理解斜三角形,而正確運(yùn)用兩個(gè)定理的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形,明確各已知量、未知量以及它們之間的相互關(guān)系。通過(guò)問(wèn)題的探究,要讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際問(wèn)題,畫出相關(guān)圖形,學(xué)會(huì)分析問(wèn)題情景,確定合適的求解順序,明確所用的定理;其次,在教學(xué)中讓學(xué)生分析討論,在方程求解繁與簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上選擇解題的思路,以提高學(xué)生觀察、識(shí)別、分析、歸納等思維能力。
五、教學(xué)過(guò)程
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)過(guò)程
設(shè)計(jì)意圖
引言
“
4、遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)?”在古代,天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離,是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢?
我們知道,對(duì)于未知的距離、高度等,存在著許多可供選擇的測(cè)量方案,比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下,上述方法存在特殊性,不能完全實(shí)施。今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)更一般的在實(shí)踐中使用正弦定理和余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題。
通過(guò)引言,讓學(xué)生體會(huì)解三角形在生活中的廣泛應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生對(duì)于本堂課內(nèi)容的濃厚興趣
例題講解
5、
基于例題
變式講解
例題變式
例1、如圖所示,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離,測(cè)量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是55m,BAC=,ACB=。
6、求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)
啟發(fā)提問(wèn)1:ABC中,根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角,運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)?
啟發(fā)提問(wèn)2:運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢?請(qǐng)學(xué)生回答。
分析:這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題,題目條件告訴了邊AB的對(duì)角,AC為已知邊,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角,應(yīng)用正弦定理算出AB邊。
解:根據(jù)正弦定理,得
=
AB===
=≈ 65.7(m)
答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米
變式練習(xí):兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30,燈塔B在觀察站C南偏東60,則
7、A、B之間的距離為多少?
解略:a km
例2、如圖,A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá)),設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。
解:測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測(cè)得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得
BCA=,ACD=,CDB=,BDA =,在ADC和BDC中,應(yīng)用正弦定理得
AC==
BC==
計(jì)算出AC和BC后,再在ABC中,應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離
AB=
分組討論:還沒(méi)有其它的方法?師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。
變式訓(xùn)練:若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn),測(cè)得BCA=60,ACD=30,CDB=45,BDA =60
略解:將題中各已知量代入
8、例2推出的公式,
得AB=20
例3、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物,A為建筑物的最高點(diǎn),設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。
分析:求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE,在ACE中,如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA,再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角,就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。
解:選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是、,CD = a,測(cè)角儀器的高是h,那么,在ACD中,根據(jù)正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例4、如圖,一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75的方向航
9、行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?
(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)
分析:首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角ABC,即可用余弦定理算出AC邊,再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。
解:在ABC中,ABC=180- 75+ 32=137,根據(jù)余弦定理,
AC=
=
≈113.15
根據(jù)正弦定理,
=
sinCAB =
10、 =
≈0.3255,
所以 CAB =19.0
75- CAB =56.0
答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
練習(xí):(對(duì)例3的變式)
在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為,沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2,再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn),測(cè)得頂端A的仰角為4,求的大小和建筑物AE的高。
解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中,
AC=BC=30, AD=DC=10, ADC =180-4
=
因?yàn)閟in4=2s
11、in2cos2
cos2=, 得 2=30
=15
在RtADE中,AE=ADsin60=15
答:所求角為15,建筑物高度為15m
解法二:(設(shè)方程來(lái)求解)設(shè)DE= x,AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10)
兩式相減,得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2==
2=30,=15
答:所求角為15,建筑物高度為15m
解法三:(用倍角公式求解)設(shè)建筑物高為AE=8,由題意,得
BAC=, CAD=2,
AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtAC
12、E中,sin2= ①
在RtADE中,sin4=, ②
②① 得 cos2=,
2=30,=15,AE=ADsin60=15
答:所求角為15,建筑物高度為15m
啟發(fā)式教學(xué)
老師引導(dǎo)學(xué)生畫圖解題。體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想方法。
對(duì)于例1的變式練習(xí)
變式教學(xué),使得課堂延展性增強(qiáng)
在研究三角形時(shí),靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案,但有些過(guò)程較繁復(fù),如何找到最優(yōu)的方法,最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn),結(jié)
13、合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。
仍然是距離問(wèn)題,由測(cè)量長(zhǎng)度變?yōu)闇y(cè)量高度,讓學(xué)生感受不同類型的問(wèn)題。
解三角形在航海問(wèn)題中的應(yīng)用
實(shí)際問(wèn)題中需要掌握
近似估計(jì)、運(yùn)算
通過(guò)變式,讓學(xué)生體會(huì)該數(shù)學(xué)模型的在不同問(wèn)題中的應(yīng)用
一題多解、挑戰(zhàn)思維
提升學(xué)生專研
14、數(shù)學(xué)的興趣
課堂小結(jié)
(采用提問(wèn)形式,學(xué)生闡述,老師適當(dāng)補(bǔ)充)
1、解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟:
①分析:理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖
②建模:根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型
③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解
④檢驗(yàn):檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解
2、利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí),要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素,進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。
3、解三角形的應(yīng)用題時(shí),通常會(huì)遇到兩種情
15、況:
①已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之;
②已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形,這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究,再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解。
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和學(xué)后反思的習(xí)慣及歸納總結(jié)的能力。
六、課后作業(yè)
1、必做題:①自學(xué)課本第三節(jié)中的4個(gè)例子,寫出你的解題步驟
②課本習(xí)題2-3 A組 第2、4題
2、選做題: 課本習(xí)題2-3 B組 第1、2題
七、教學(xué)反思
本節(jié)課,我是一些實(shí)例來(lái)探索關(guān)于解三角形在實(shí)際應(yīng)用中的思維方法,具體解三角形時(shí),所選例題突出了數(shù)學(xué)建模的思想及函數(shù)與方程的思想,將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組,處理已知量與未知量之間的關(guān)系。