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【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)突破 第一部分 專題七 第一講 函數(shù)與方程思想 理

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1、 專題七 數(shù)學(xué)思想方法第一講 函數(shù)與方程思想 一、選擇題 1.已知向量a=(3,2),b=(-6,1),而(λa+b)⊥(a-λb),則實(shí)數(shù)λ等于 (  ) A.1或2 B.2或- C.2 D.0 解析:λa+b=(3λ-6,2λ+1),a-λb=(3+6λ,2-λ),若(λa+b)⊥(a-λb),則 (3λ-6)·(3+6λ)+(2λ+1)(2-λ)=0,解得λ=2或λ=- 答案:B 2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2.若對(duì)任意的x∈[t,t+2],不 等式f(x+t)≥2f(x)

2、恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 (  ) A.[,+∞) B.[2,+∞) C.(0,2] D.[-,-1]∪[,] 答案:A 3.f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0.對(duì)任意正數(shù)a、 b,若a<b,則必有 (  ) A.a(chǎn)f(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(

3、a) C.a(chǎn)f(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b) 解析:∵xf′(x)+f(x)≤0,即[xf(x)]′≤0, ∴xf(x)是減函數(shù).又∵a<b, ∴af(a)≥bf(b). 又∵b>a>0,f(x)≥0, ∴bf(a)≥af(a)且bf(b)≥af(b), ∴bf(a)≥af(a)≥bf(b)≥af(b), ∴bf(a)≥af(b). 答案:C 4.f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),f(2)=0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-1,4)內(nèi)的 零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

4、 (  ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù), ∴f(0)=0.由f(2)=0,得f(-2)=0. 又∵f(x)的周期為3,∴f(1)=0,f(3)=0. 又∵f=f=f=-f, ∴f=0.故選D. 答案:D 5.已知對(duì)于任意的a∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于0,則x的 取值范圍是 (  

5、) A.1<x<3 B.x<1或x>3 C.1<x<2 D.x<2或x>3 解析:將f(x)=x2+(a-4)x+4-2a看作是a的一次函數(shù),記為g(a)=(x-2)a+x2- 4x+4. 當(dāng)a∈[-1,1]時(shí)恒有g(shù)(a)>0,只需滿足條件 即, 解之得x<1或x>3. 答案:B 二、填空題 6.已知不等式(x+y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為 ________. 解析:只需求(x+y)的最小

6、值大于等于9即可,又(x+y)=1+a·++ a≥a+1+2=a+2+1,等號(hào)成立僅當(dāng)a·=即可,所以()2+2+ 1≥9,即()2+2-8≥0求得≥2或≤-4(舍), 所以a≥4,即a的最小值為4. 答案:4 7.若關(guān)于x的方程(2-2-|x-2|)2=2+a有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:令f(x)=(2-2-|x-2|)2,要使f(x)=2+a有實(shí)根,只需2+a是f(x)的值域內(nèi)的 值. ∵f(x)的值域?yàn)閇1,4) ∴1≤a+2<4,∴-1≤a<2. 答案:[-1,2) 8.已知函數(shù)f(x)=,a∈R,若方程f

7、2(x)-f(x)=0共有7個(gè)實(shí)數(shù)根, 則a=________. 解析:設(shè)y=t2-t,t=f(x)作出兩函數(shù)的圖象如圖所示,由t2-t=0知t=0,或t=1, 當(dāng)t=0時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)根;當(dāng)t=1時(shí),要使此時(shí)方程有5個(gè)不同實(shí)根,則a=1. 答案:1 9.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=×n-3×n+n(其中n∈N*),且該數(shù)列中最大 的項(xiàng)為am,則m=________. 解析:令x=n,則0<x≤ 構(gòu)造f(x)=x3-3x2+x,x∈ ∴f′(x)=8x2-6x+1 令f′(x)=0,故x1=,x2=. ∴f(x)在上為增函數(shù), f(

8、x)在上為減函數(shù) ∴f(x)max=f 即當(dāng)x=時(shí),f(x)最大, ∴n=2時(shí),a2最大. ∴m=2. 答案:2 三、解答題 10.設(shè)P是橢圓+y2=1(a>1)短軸的一個(gè)端點(diǎn),Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|PQ|的最 大值. 解:依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=. 又因?yàn)镼在橢圓上,所以x2=a2(1-y2). |PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2 =(1-a2)2-+1+a2, 因?yàn)閨y|≤1,a>1,若a≥,則≤1, 當(dāng)y=時(shí),|PQ|取最大值; 若1<a<,則當(dāng)y=-1時(shí),

9、|PQ|取最大值2, 綜上,當(dāng)a≥時(shí),|PQ|最大值為;當(dāng)1<a<時(shí),|PQ|最大值為2. 11.已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù),當(dāng)x為奇數(shù)時(shí),f(x+1)-f(x)=1,當(dāng)x為 偶數(shù)時(shí),f(x+1)-f(x)=3,且滿足f(1)+f(2)=5. (1)求證:{f(2n-1)}(n∈N*)是等差數(shù)列; (2)求f(x)的解析式. (1)證明:由題意得 , 兩式相加得f(2n+1)-f(2n-1)=4. 因此f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1)成等差數(shù)列. 即{f(2n-1)}(n∈N*)是等差數(shù)列. (2)解:由題意得,解得. 所以f(

10、2n-1)=f(1)+(n-1)×4=2(2n-1),因此當(dāng)x為奇數(shù)時(shí),f(x)=2x. 又因?yàn)楫?dāng)x為奇數(shù)時(shí),f(x+1)-f(x)=1,所以f(x+1)=2x+1=2(x+1)-1, 故當(dāng)x為偶數(shù)時(shí),f(x)=2x-1. 綜上,f(x)=. 12.某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額,擬在2010年度進(jìn)行一系列的促銷活 動(dòng).經(jīng)過市場調(diào)查和測算,化妝品的年銷量x萬件與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足: 3-x與t+1成反比例.如果不搞促銷活動(dòng),化妝品的年銷量只能是1萬件.已知 2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元,每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投資32萬元, 當(dāng)年每件化妝品的零售

11、價(jià)定為“年平均成本的150%”與“年均每件所占促銷費(fèi)的 一半”之和,則當(dāng)年的產(chǎn)銷量相等. (1)將2010年的年利潤y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù); (2)該企業(yè)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí),企業(yè)的年利潤最大?(注:利潤=收入 -生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)) 解:(1)由題意,得3-x=, 將t=0,x=1代入,得k=2. ∴x=3-. 由題意,知每件零售價(jià)為+·. 年利潤y=x-(3+32x)-t =16x-t+=16-t+ =50-=(t≥0). (2)∵y=50-≤50-2=42(萬元),當(dāng)且僅當(dāng)=, 即t=7時(shí),ymax=42, ∴當(dāng)促銷費(fèi)定為7萬元時(shí),利潤最大. 5 用心 愛心 專心

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