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g3.1069棱錐
一. 知識(shí)回顧:
棱錐:棱錐是一個(gè)面為多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.
[注]:①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.
②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐;所以.
⑴①正棱錐定義:底面是正多邊形;頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.
[注]:i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)
ii. 正四面體是各棱相等,而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等
iii. 正棱錐定義的推論:若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形(即側(cè)棱相等);底面為正多邊形.
②正棱錐的側(cè)面積:(底面周長為,斜
2、高為)
③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式:(側(cè)面與底面成的二面角為)
附: 以知⊥,,為二面角.
則①,②,③ ①②③得.
注:S為任意多邊形的面積(可分別多個(gè)三角形的方法).
⑵棱錐具有的性質(zhì):
①正棱錐各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).
②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形,正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.
⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置:
①棱錐的側(cè)棱長均相等,則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面
3、多邊形的外心.
②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等,則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.
③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等,則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等,則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
⑤三棱錐有兩組對棱垂直,則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.
⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.
⑦每個(gè)四面體都有外接球,球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn),此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑;
⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球,球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn),到各面的距離等于半徑.
[注]:i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形,且底面是正方
4、形的棱錐是正四棱錐.()(各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等)
ii. 若一個(gè)三角錐,兩條對角線互相垂直,則第三對角線必然垂直.
簡證:AB⊥CD,AC⊥BD BC⊥AD. 令
得,已知
則.
iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等,則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.
iv. 若是四邊長與對角線分別相等,則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.
簡證:取AC中點(diǎn),則平面90易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等,則為正方形.
二. 基礎(chǔ)訓(xùn)練:
1.給出下列命題:
①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐;
②側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐;
③側(cè)棱和底面成等角的
5、棱錐是正棱錐;
④側(cè)面和底面所成二面角都相等的棱錐是正棱錐,其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
2.如果三棱錐的底面是不等邊三角形,側(cè)面與底面所成的二面角都相等,且頂點(diǎn)在底面的射影在內(nèi),那么是的( )
垂心 重心 外心 內(nèi)心
.已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面全等,且 ,,則以為棱,以面與面為面的二面角的大小是( )
4、若一個(gè)三棱錐中,有一條棱長為a,其余棱長均為1,則其體積取得最大值時(shí)的值為( )
A、1 B、 C、
6、 D、
三.例題分析:
例1.正四棱錐中,高,兩相鄰側(cè)面所成角為 ,,
(1)求側(cè)棱與底面所成的角。(2)求側(cè)棱 長、底面邊長和斜高(見圖)。
解:(1) 作于,連結(jié),則且,故是相鄰側(cè)面所成二面角的平面角,連結(jié),則, ,在與中, ==(其中為與底面所成的角,設(shè)為) 故 。
(2)在 中,側(cè)棱=,,
∴邊長;取的中點(diǎn),連結(jié),則是正四棱錐的斜高,
在中,斜高;
例2.如圖正三棱錐中,底面邊長為,側(cè)棱長為,若經(jīng)過對角線且與對角線平行的平面交上底面
7、于。(1)試確定點(diǎn)的位置,并證明你的結(jié)論;(2)求平面與側(cè)面所成的角及平面與底面所成的角;(3)求到平面的距離。
解:(1)為的中點(diǎn)。連結(jié)與交于,則為的中點(diǎn),為平面
與平面的交線,∵//平面
∴//,∴為的中點(diǎn)。
(2)過作于,由正三棱錐的性質(zhì),平面,連結(jié),則為平面與側(cè)面所成的角的平面角,可求得,
由,得,∴
∵為的中點(diǎn),∴,由正三棱錐的性質(zhì),,∴平面
∴,∴是平面與上底面所成的角的平面角,可求得
,∴
(3)過作,∵平面,∴,∴平面
即是到平面的距離,,∴
圖31—3
P
C1
C
B
A
A1
B1
例3.如圖,已知三棱錐的側(cè)面是底角為的等腰三角形,
8、,且該側(cè)面垂直于底面,,,,
(1)求證:二面角是直二面角;
(2)求二面角的正切值;
圖31-31
P
C1
C
B
A
E
A1
B1
D
(3)若該三棱錐被平行于底面的平面所截,得到一個(gè)幾何體,求幾何體的側(cè)面積.
證 (1) 如圖,在三棱錐中,取的中點(diǎn).
由題設(shè)知是等腰直角三角形,且.∴ .
∵ 平面平面,∴ 平面 ,
∵ ∴ ,∴ 平面,
∵ 平面 , ∴平面平面,
即二面角是直二面角.
解 (2)作,為垂足,則 .∴ 是二面角的平面角.在中,,則
由,得
==,
9、
∴ 所求正切為=.
(3) ∵ ∴ 分別是的中點(diǎn).
∴ , .
∵ ==,
.
∴ ,∴ 幾何體的側(cè)面積
四、作業(yè) 同步練習(xí)g3.1069 棱錐
1.給出下列命題:
①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐;
②側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐;
③側(cè)棱和底面成等角的棱錐是正棱錐;
④側(cè)面和底面所成二面角都相等的棱錐是正棱錐,其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
2.如果三棱錐的底面是不等邊三角形,側(cè)面與底面所成的二面角都相等,且頂點(diǎn)在底面的射影在內(nèi),那么是的( )
垂心 重心 外
10、心 內(nèi)心
.已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面全等,且 ,,則以為棱,以面與面為面的二面角的大小是( )
4、若P是正四面體內(nèi)一點(diǎn),P到各面距離之和是一個(gè)定值,這個(gè)定值等于( )
A、正四面體的棱長 B、正四面體的斜高
C、正四面體相對棱間的距離 D、正四面體的高
5、若一個(gè)三棱錐中,有一條棱長為a,其余棱長均為1,則其體積取得最大值時(shí)的值為( )
A、1 B、 C、
11、D、
6、一棱錐被平行于底面的平面所截,若截面面積與底面面積之比為1:3,則此截面把一條側(cè)棱分成的兩線段之比為( )
A、1:3 B、1:2 C、1: D、1:
7、正三棱錐的高是,側(cè)棱長是,那么側(cè)面和底面所成的二面角的大小是 .
8、三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且長度分別為1cm,2cm,3cm,則此棱錐的體積為 。
9、已知三棱錐A-BCD的體積為V,棱BC的長為a,面ABC和面DBC的面積分別為S1和S2,設(shè)面ABC和面DBC所成二面角為,則= .
10
12、、三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=AB=AC=a,則該三棱錐表面積S的取值范圍是 ;體積V的取值范圍是 .
11.如圖,已知三棱錐的側(cè)面是底角為的等腰三角形,,且該側(cè)面垂直于底面,,,,
(1)求證:二面角是直二面角;
(2)求二面角的正切值;
P
C1
C
B
A
A1
B1
(3)若該三棱錐被平行于底面的平面所截,得到一個(gè)幾何體,求幾何體的側(cè)面積.
12、已知在四面體ABCD中,= a,= b,= c,G∈平面ABC.
(1)若G為△AB
13、C的重心,試證明(a+b+c);
A
B
C
D
G
P
(2)試問(1)的逆命題是否成立?并證明你的結(jié)論.
參考答案
ADCDDD
7、 8、1cm3 9、 10、
11、證 (1) 如圖,在三棱錐中,取的中點(diǎn).
圖31-31
P
C1
C
B
A
E
A1
B1
D
由題設(shè)知是等腰直角三角形,且.∴ .
∵ 平面平面,∴ 平面 ,
∵ ∴ ,∴ 平面,
∵ 平面 , ∴平面平面,
即二面角是直二面角.
14、
解 (2)作,為垂足,則 .∴ 是二面角的平面角.在中,,則
由,得
==,
∴ 所求正切為=.
(3) ∵ ∴ 分別是的中點(diǎn).
∴ , .
∵ ==,
.
∴ ,∴ 幾何體的側(cè)面積
12、解:(1)連AG交BC于D,則D平分BC,且G分所成的比為2∶1,從而
,
,
故.
(2)逆命題成立,證明如下:
設(shè)D分所成的比為p,G分所成的比為q.
則,
,
于是,
=
因(a+b+c),故,
解得q =2,p = 1,于是G為△ABC的重心.
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