湘教版高考數(shù)學(xué)文一輪題庫 第8章第8節(jié)圓錐曲線的綜合問題
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1、▼▼▼2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 高考真題備選題庫 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題 考點 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.(2013安徽,13分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點P(,). (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點.過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,2),連接AE.過點A作AE的垂線交x軸于點 D.點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,作直線QG.問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由. 解:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),直線和橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)
2、知識,考查數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力. (1)因為焦距為4,所以a2-b2=4.又因為橢圓C過點P(,),所以+=1,故a2=8,b2=4. 從而橢圓C的方程為+=1. (2)由題意,知E點坐標(biāo)為(x0,0). 設(shè)D(xD,0),則=(x0,-2),=(xD,-2). 由AD⊥AE知,=0,即xDx0+8=0. 由于x0y0≠0,故xD=-. 因為點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,所以點G. 故直線QG的斜率kQG==. 又因Q(x0,y0)在橢圓C上,所以x+2y=8.① 從而kQG=-. 故直線QG的方程為y=-.② 將②代入橢圓C方程,得 (x+2y)x
3、2-16x0x+64-16y=0.③ 再將①代入③,化簡得 x2-2x0x+x=0, 解得x=x0,y=y(tǒng)0. 即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點. 2.(2013北京,14分)直線y=kx+m(m≠0)與橢圓W:+y2=1相交于A,C兩點,O是坐標(biāo)原點. (1)當(dāng)點B的坐標(biāo)為(0,1),且四邊形OABC為菱形時,求AC的長; (2)當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時,證明:四邊形OABC不可能為菱形. 解:本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、函數(shù)與方程的思想,意在考查考生的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力、數(shù)形結(jié)合能力. (1)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分.
4、 所以可設(shè)A,代入橢圓方程得+=1,即t=. 所以|AC|=2. (2)證明:假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因為點B不是W的頂點,且AC⊥OB,所以k≠0. 由消去y并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則 =-,=k+m=. 所以AC的中點為M. 因為M為AC和OB的交點,且m≠0,k≠0,所以直線OB的斜率為-. 因為k≠-1,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾. 所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形. 3.(2013湖南,13分)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:+y2=1的
5、左、右焦點,F(xiàn)1,F(xiàn)2關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點. (1)求圓C的方程; (2)設(shè)過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當(dāng)ab最大時,求直線l的方程. 解:本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程、弦長和弦長最值的求解,意在考查考生的計算能力、數(shù)據(jù)處理能力和轉(zhuǎn)化能力. (1)由題設(shè)知,F(xiàn)1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),圓C的半徑為2,圓心為原點O關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點. 設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x0,y0),由解得所以圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2=4. (2)由題意,可設(shè)直線l的方程為x=my+2,則圓心到直線l的
6、距離d=.所以b=2=. 由得(m2+5)y2+4my-1=0. 設(shè)l與E的兩個交點坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則 y1+y2=-,y1y2=-. 于是a= = = = =. 從而ab===≤=2. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=時等號成立. 故當(dāng)m=時,ab最大,此時,直線l的方程為x=y(tǒng)+2或x=-y+2,即x-y-2=0或x+y-2=0. 4.(2013江西,13分)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3. (1)求橢圓C的方程; (2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,
7、設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明:2m-k為定值. 解:本題主要考查利用待定系數(shù)法求橢圓的方程,考查直線、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想,旨在考查推理論證能力與理性思維能力. (1)因為e==, 所以a=c,b=c.代入a+b=3得,c=,a=2,b=1. 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明:法一:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,則直線BP的方程為y=k(x-2),① 把①代入+y2=1, 解得P. 直線AD的方程為:y=x+1.② ①與②聯(lián)立解得M. 由D(0,1),P,N(x,0)三點共線知 =,解得N. 所
8、以MN的斜率為m===, 則2m-k=-k=(定值). 法二:設(shè)P(x0,y0)(x0≠0,2),則k=, 直線AD的方程為:y=(x+2), 直線BP的方程為:y=(x-2), 直線DP的方程為:y-1=x,令y=0,由于y0≠1,可得N 聯(lián)立 解得M, 因此MN的斜率為 m= = = =, 所以2m-k=- = = = =(定值). 5.(2013廣東,14分)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點. (1)求拋物線C的方程;
9、(2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程; (3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF||BF|的最小值. 解:本題主要考查點到直線距離公式的運(yùn)用、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及解析幾何中的最值問題,意在考查考生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想解決問題的能力. (1)∵拋物線C的焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為, ∴=,得c=1, ∴F(0,1),即拋物線C的方程為x2=4y. (2)設(shè)切點A(x1,y1),B(x2,y2), 由x2=4y得y′=x, ∴切線PA:y-y1=x1(x-x1), 有y=x1x-x+y1,而x=4y1,
10、即切線PA:y=x1x-y1, 同理可得切線PB:y=x2x-y2. ∵兩切線均過定點P(x0,y0), ∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2, 由以上兩式知點A,B均在直線y0=xx0-y上, ∴直線AB的方程為y0=xx0-y, 即y=x0x-y0. (3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x′,y′),由x′-y′-2=0,得x′=y(tǒng)′+2, 則|AF||BF|====(y1+1)(y2+1)=y(tǒng)1y2+(y1+y2)+1. 由得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0, 有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y(tǒng)′2, ∴|AF||BF|=y(tǒng)′2+x′2-2y′+1=y(tǒng)′2+
11、(y′+2)2-2y′+1=22+, 當(dāng)y′=-,x′=時, 即P時,|AF||BF|取得最小值. 6.(2013遼寧,12分)如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當(dāng)x0=1-時,切線MA的斜率為-. (1)求p的值; (2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動時,AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O.) 解:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求導(dǎo)運(yùn)算、直線的點斜式方程,以及求軌跡方程,意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)知識解決圓錐曲線問題的能力,以及處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的熟練
12、程度和運(yùn)算化簡能力. (1)因為拋物線C1:x2=4y上任意一點(x,y)的切線斜率為y′=,且切線MA的斜率為-,所以A點坐標(biāo)為.故切線MA的方程為y=-(x+1)+. 因為點M(1-,y0)在切線MA及拋物線C2上,于是 y0=-(2-)+=-,① y0=-=-.② 由①②得p=2. (2)設(shè)N(x,y),A,B,x1≠x2,由N為線段AB中點知x=,③ y=.④ 切線MA,MB的方程為 y=(x-x1)+,⑤ y=(x-x2)+.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標(biāo)為 x0=,y0=. 因為點M(x0,y0)在C2上,即x=-4y0, 所以x1x
13、2=-.⑦ 由③④⑦得 x2=y(tǒng),x≠0. 當(dāng)x1=x2時,A,B重合于原點O,AB中點N為O,坐標(biāo)滿足x2=y(tǒng). 因此AB中點N的軌跡方程為x2=y(tǒng). 7.(2012遼寧,5分)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點,點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的縱坐標(biāo)為( ) A.1 B.3 C.-4 D.-8 解析:因為P,Q兩點的橫坐標(biāo)分別為4,-2,且P,Q兩點都在拋物線y=x2上,所以P(4,8),Q(-2,2).因為y′=x,所以kPA=4,kQA=-2,則直線PA,QA的方程聯(lián)立得,即,可得A
14、點坐標(biāo)為(1,-4). 答案:C 8.(2010山東,5分)已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 解析:拋物線的焦點F(,0),所以過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y(tǒng)+,將其代入得:y2=2px=2p(y+)=2py+p2,所以y2-2py-p2=0,所以=p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=-1. 答案:B 9.(2012新課標(biāo)全國,12分)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)
15、的焦點為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點. (1)若∠BFD=90,△ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程; (2)若A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點,求坐標(biāo)原點到m,n距離的比值. 解:(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形,|BD|=2p,圓F的半徑|FA|=p. 由拋物線定義可知A到l的距離d=|FA|=p. 因為△ABD的面積為4,所以|BD|d=4,即2pp=4,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以F(0,1),圓F的方程為x2+(y-1)2=8. (2)因為A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上
16、,所以AB為圓F的直徑,∠ADB=90. 由拋物線定義知|AD|=|FA|=|AB|, 所以∠ABD=30,m的斜率為或-. 當(dāng)m的斜率為時,由已知可設(shè)n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0. 由于n與C只有一個公共點,故Δ=p2+8pb=0,解得b=-. 因為m的縱截距b1=,=3,所以坐標(biāo)原點到m,n距離的比值為3. 當(dāng)m的斜率為-時,由圖形對稱性可知,坐標(biāo)原點到m,n距離的比值為3. 10.(2012廣東,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上. (1)求橢圓C1的方程;
17、 (2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程. 解:(1)根據(jù)橢圓的左焦點為F1(-1,0),知a2-b2=1,又根據(jù)點P(0,1)在橢圓上,知b=1,所以a=,所以橢圓C1的方程為+y2=1. (2)因為直線l與橢圓C1和拋物線C2都相切,所以其斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0),代入橢圓方程得+(kx+m)2=1,即(+k2)x2+2kmx+m2-1=0,由題可知此方程有唯一解,此時Δ=4k2m2-4(+k2)(m2-1)=0,即m2=2k2+1.?、? 把y=kx+m(k≠0)代入拋物線方程得y2-y+m=0,由題可知此方程有唯一解
18、,此時Δ=1-mk=0,即mk=1.?、? 聯(lián)立①②得解得k2=,所以 或所以直線l的方程為y=x+或y=-x-. 11.(2012北京,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N. (1)求橢圓C的方程; (2)當(dāng)△AMN的面積為時,求k的值. 解:(1)由題意得解得b=, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 設(shè)點M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=, x1x2=,
19、所以|MN|= = =. 又因為點A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離d=, 所以△AMN的面積為 S=|MN| d=. 由=,化簡得7k4-2k2-5=0,解得k=1. 12.(2012湖南,13分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知中心在原點,離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C:x2+y2-4x+2=0 的圓心. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)P是橢圓E上一點,過P作兩條斜率之積為的直線l1,l2.當(dāng)直線l1,l2都與圓C相切時,求P的坐標(biāo). 解:(1)由x2+y2-4x+2=0得(x-2)2+y2=2,故圓C的圓心為點(2,0). 從而可設(shè)橢圓E的方程為+=1(a>b>
20、0),其焦距為2c.由題設(shè)知c=2,e==.所以a=2c=4,b2=a2-c2=12.故橢圓E的方程為+=1. (2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),l1,l2的斜率分別為k1,k2,則l1,l2的方程分別為l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=, 由l1與圓C:(x-2)2+y2=2相切得=,即[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k1+y-2=0. 同理可得[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k2+y-2=0. 從而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y-2=0的兩個實根,于是 ① 且k1k2=
21、=. 由得5x-8x0-36=0, 解得x0=-2,或x0=. 由x0=-2得y0=3;由x0=得y0=,它們均滿足①式. 故點P的坐標(biāo)為(-2,3),或(-2,-3),或(,),或(,-). 13.(2011山東,14分)(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+y2=1.如圖所示,斜率為k(k>0)且不過原點的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的中點為E,射線OE交橢圓C于點G,交直線x=-3于點D(-3,m). (Ⅰ)求m2+k2的最小值; (Ⅱ)若|OG|2=|OD||OE|, (ⅰ)求證:直線l過定點; (ⅱ)試問點B,G能否關(guān)于x軸對稱?若能,
22、求出此時△ABG的外接圓方程;若不能,請說明理由.
解:(Ⅰ)設(shè)直線l的方程為y=kx+t(k>0),由題意,t>0.
由方程組得(3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0.
由題意Δ>0,所以3k2+1>t2.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理得x1+x2=-,
所以y1+y2=.
由于E為線段AB的中點,
因此xE=-,yE=,
此時kOE==-.所以O(shè)E所在直線方程為y=-x,
又由題設(shè)知D(-3,m),令x=-3,得m=,即mk=1,
所以m2+k2≥2mk=2,當(dāng)且僅當(dāng)m=k=1時上式等號成立,
此時由Δ>0得0 23、t<2時,m2+k2取最小值2.
(Ⅱ)(ⅰ)證明:由(Ⅰ)知OD所在直線的方程為y=-x,
將其代入橢圓C的方程,并由k>0,解得G(-,).
又E(-,),D(-3,),
由距離公式及t>0得
|OG|2=(-)2+()2=,
|OD|==,
|OE|==,
由|OG|2=|OD||OE|得t=k,
因此直線l 的方程為y=k(x+1),
所以直線l恒過定點(-1,0).
(ⅱ)由(ⅰ)得G(-,),若B,G關(guān)于x軸對稱,則B(-,-).代入y=k(x+1)整理得3k2-1=k,即6k4-7k2+1=0,
解得k2=(舍去)或k2=1,所以k=1.
此時B(-,- 24、),G(-,)關(guān)于x軸對稱.
又由(Ⅰ)得x1=0,y1=1,所以A(0,1).
由于△ABG的外接圓的圓心在x軸上,可設(shè)△ABG的外接圓的圓心為(d,0),
因此d2+1=(d+)2+,解得d=-,
故△ABG的外接圓的半徑為r==.
所以△ABG的外接圓的方程為(x+)2+y2=.
14.(2011江蘇,16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M、N分別是橢圓+=1的頂點,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點,其中點P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C.連接AC,并延長交橢圓于點B.設(shè)直線PA的斜率為k.
(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時,求k的值;
(2)當(dāng)k=2時,求點 25、P到直線AB的距離d;
(3)對任意的k>0,求證:PA⊥PB.
解:(1)由題設(shè)知,a=2,b=,故M(-2,0),N(0,-),所以線段MN中點的坐標(biāo)為(-1,-).由于直線PA平分線段MN,故直線PA過線段MN的中點,又直線PA過坐標(biāo)原點,所以k==.
(2)直線PA的方程為y=2x,代入橢圓方程得+=1,
解得x=.
因此P(,),A(-,-).
于是C(,0),直線AC的斜率為=1,故直線AB的方程為x-y-=0.因此,d==.
(3)證明:法一: 將直線PA的方程y=kx代入+=1,解得x=.記μ=,則P(μ,μk),A(-μ,-μk). 于是C(μ,0).故直線AB 26、的斜率為=,
其方程為y=(x-μ),代入橢圓方程并由μ=得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0,
解得x=或x=-μ.因此B(,).
于是直線PB的斜率k1===-.
因此k1k=-1,所以PA⊥PB.
法二: 設(shè)P(x1,y1),B(x2,y2),則x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).設(shè)直線PB,AB的斜率分別為k1,k2.因為C在直線AB上,所以k2===.從而
k1k+1=2k1k2+1=2+1
=+1===0.
所以k1k=-1,所以PA⊥PB.
15.(2011遼寧,12分)如圖,已知橢圓C1的中心在原點O,長軸左 27、、右端點M,N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e.直線l⊥MN,l與C1交于兩點,與C2交于兩點,這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.
(1)設(shè)e=,求|BC|與|AD|的比值;
(2)當(dāng)e變化時,是否存在直線l,使得BO∥AN,并說明理由.
解:(1)因為C1,C2的離心率相同,故依題意可設(shè)
C1:+=1,C2:+=1,(a>b>0).
設(shè)直線l:x=t(|t|<a),分別與C1,C2的方程聯(lián)立,求得
A,B.(4分)
當(dāng)e=時,b=a,分別用yA,yB表示A,B的縱坐標(biāo),可知|BC||AD|===.
(2)t=0時的l不符合題意,t≠0時, 28、BO∥AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,即=,
解得t=-=-a.
因為|t|<a,又0<e<1,所以<1.
解得<e<1.
所以當(dāng)0<e≤時,不存在直線l,使得BO∥AN;當(dāng)<e<1時,存在直線l,使得BO∥AN.
16.(2011廣東,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:x=-2交x軸于點A.設(shè)P是l上一點,M是線段OP的垂直平分線上一點,且滿足∠MPO=∠AOP.
(1)當(dāng)點P在l上運(yùn)動時,求點M的軌跡E的方程;
(2)已知T(1,-1).設(shè)H是E上動點,求|HO|+|HT|的最小值,并給出此時點H的坐標(biāo);
(3)過點T(1,-1)且不平行于y軸的 29、直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點,求直線l1的斜率k的取值范圍.
命題意圖:本題考查的知識涉及動點、直線、軌跡、最值、參數(shù)范圍的綜合解析幾何問題.(1)先畫出圖形,“以圖助算”勢在必行,而畫出圖形后可發(fā)現(xiàn)MP∥OA或點M在x軸上,也就找到了解決問題的入口與思路;(2)順著第(1)問的結(jié)果與思路,結(jié)合拋物線的定義可求得|HO|+|HT|的最小值;(3)再次回到畫出的圖形,可直觀地求得k的取值范圍.
解:(1)如圖1,可得直線l:x=-2與x軸交于點A(-2,0),設(shè)P(-2,m),
①當(dāng)m=0時,點P與點A重合,這時OP的垂直平分線為x=-1,由∠AOP=∠MPO=0得M(-1,0) 30、,
②當(dāng)m≠0時,設(shè)M(x0,y0),
(i)若x0>-1,由∠MPO=∠AOP得MP∥OA,有y0=m, 圖1
又kOP=-,OP的中點為(-1,),
∴OP的垂直平分線為y-=(x+1),而點M在OP的垂直平分線上,
∴y0-=(x0+1),又m=y(tǒng)0,
于是y0-=(x0+1),即y=4(x0+1)(x0>-1).
(ii)若x0<-1,如圖1,由∠MPO=∠AOP得點M為OP的垂直平分線與x軸的交點,在y-=(x+1)中,令y=0,有x=--1<-1,即M(--1,0),
∴點M的軌跡E的方程為y2= 4(x+1)(x≥-1)和y=0(x<-1 31、).
(2)由(1)知軌跡E為拋物線y2=4(x+1)(x≥-1)與射線y=0(x<-1),而拋物線y2=4(x+1)(x≥-1)的頂點為B(-1,0),焦點為O(0,0),準(zhǔn)線為x=-2,當(dāng)點H在拋物線y2=4(x+1)(x≥-1)上時,作HG垂直于準(zhǔn)線x=-2于點G,由拋物線的定義得|HO|=|HG|,則|HO|+|HT|=|HT|+|HG|,作TF垂直于準(zhǔn)線x=-2于點F,則 |HT|+|HG|≥|TF|,又T 圖2
(1,-1),得|TF|=3,在y2=4(x+1)(x≥-1)中,令y=-1得x=-,即當(dāng)點H的坐標(biāo)為(-,-1)時,|HO|+|HT|的最小值為3,
32、當(dāng)點H在射線y=0(x<-1)上時,|HO|+|HT|>|TF|,
∴|HO|+|HT|的最小值為3,此時點H的坐標(biāo)為(-,-1).
(3)由(2)得kBT=-,由圖2得當(dāng)直線l1的斜率k≤-或k>0時,直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點.
∴直線l1的斜率k的取值范圍是(-∞,-]∪(0, ?。?.
17.(2010新課標(biāo)全國,12分)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點,過F1斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求E的離心率;
(2)設(shè)點P(0,-1)滿足|PA|=|PB|,求E的方程.
解: 33、(1)由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a.
l的方程為y=x+c, 其中c=.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點坐標(biāo)滿足方程組
化簡得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,
則x1+x2=,x1x2=.
因為直線AB斜率為1,所以|AB|=|x2-x1|= .
得a=,故a2=2b2,
所以E的離心率e===.
(2)設(shè)AB的中點為N(x0,y0),由(1)知
x0===-c,y0=x0+c=.
由|PA|=|PB|得kPN=-1.
即=-1,
得c=3,從而a=3,b=3.
故橢圓E的方程為+=1.
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