《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識(shí)點(diǎn)036解直角三角形及其應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識(shí)點(diǎn)036解直角三角形及其應(yīng)用（25頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 一、選擇題 1. （2016甘肅蘭州，4，4分）在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，BC=6，則AB=（ ） A．4 B．6 C． 8 D．10 【答案】D 【逐步提示】先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義確定sinA是哪兩條邊的比，再代入數(shù)據(jù)得關(guān)于AB的方程，最后解方程求得AB的長. 【詳細(xì)解答】解：因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C=90，所以sinA=，所以=，解得AB=10，故選擇D . 【解后反思】在直角三角形中，由于sinA=；cosA=； tanA=，若已知直角三角形兩邊的長，可根據(jù)勾股定理求出第三邊，再利用這個(gè)關(guān)系可

2、求出該直角三角形任意一個(gè)銳角的正弦、余弦和正切；若已知一銳角的三角函數(shù)值與一邊長，可根據(jù)銳角三角函數(shù)定義、勾股定理、設(shè)“K”求該直角三角形的其余兩邊． 【關(guān)鍵詞】銳角三角函數(shù)；銳角三角函數(shù)的定義；方程思想 2. （ 2016湖南省懷化市，10，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝，AC＝6cm，則BC的長度為（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 【答案】C. 【逐步提示】根據(jù)題意結(jié)合銳角三角形數(shù)的定義，可得tanA＝，進(jìn)而得＝，BC可求. 【詳細(xì)解答】解：∵sinA＝，∴tanA＝，∵AC＝6cm，∴＝，∴BC＝8，故選

3、擇C . 【解后反思】此題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是能由已知及銳角三角形數(shù)的定義，得tanA＝ .此題的易錯(cuò)點(diǎn)是不能根據(jù)銳角三角形數(shù)的定義，對已知的sinA＝，進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化. 【關(guān)鍵詞】解直角三角形 3. （ 2016湖南省益陽市，8，5分）小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等．小明將PB拉到PB′的位置，測得∠（為水平線），測角儀的高度為1米，則旗桿PA的高度為 A． B． C． D． 【答案】A 【逐步提示】考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解答時(shí)應(yīng)用正弦的定義，即在Rt△PC中，，變形即得正確結(jié)果

4、. 【詳細(xì)解答】解：依題意，＝PA，設(shè)PA＝x，則PC＝x－1，在Rt△PC中，，解得：，故選擇A . 【解后反思】在直角三角形中，銳角α的對邊與斜邊之比叫做∠α的正弦，記作sinα，即sinα＝余弦：在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊之比叫做∠α的余弦，記作cosα，即cosα＝正切：在直角三角形中，銳角α的對邊與鄰邊之比叫做∠α的正切，記作tanα，即tanα＝ 【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)定義的應(yīng)用 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24

5、. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. （ 2016甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市，13，4分）如圖，點(diǎn)A（3，t）在第一象限，射線OA與x軸所夾的銳角為α，tanα=，則t的值是________. 第13題圖 【答案】 【逐步提示】本題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是把已知條件集中到直角三角形中，利用正切的定義求解，根據(jù)三角函數(shù)的定義，把銳角α放置于一個(gè)直角三角形中，利用tanα=，列方程求解． 【詳細(xì)解答】

6、解：如圖，過點(diǎn)A作AB⊥x軸垂足為B，因?yàn)辄c(diǎn) A（3，t），即OB=3，AB=t，在Rt△OAB中，tanα=，即，解得，故答案為 . 【解后反思】利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟是：(1) 審題，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．(2)認(rèn)真分析題意，畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，對于非基本的題型可通過解方程(組)來轉(zhuǎn)化為基本類型，對于較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．(3) 根據(jù)條件，結(jié)合圖形，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形．(4)按照題目中已知數(shù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)得到符

7、合實(shí)際要求的解，并按題目要求的精確度確定答案，并標(biāo)注單位．對非直角三角形的求解，可以通過作輔助線的方法轉(zhuǎn)化成直角三角形解決，這種方法叫“化斜為直”法．通常以特殊角為一銳角，構(gòu)造直角三角形．若條件中含有線段的比或銳角三角函數(shù)值，也可以設(shè)未知數(shù)，列方程求解． 【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù)的應(yīng)用； 2. （ 2016甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市，22，8分）圖①是小明在健身器上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖②是小明鍛煉時(shí)上半身由ON位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的OM位置時(shí)的示意圖，已經(jīng)AC=0.66米，BD=0.26米，α=20．（參考數(shù)據(jù)：sin20≈0.342，cos20

8、≈0.940，tan20≈0.364） （1）求AB的長（精確到0.01米）； （2）若測得ON=0.8米，試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的路徑的長度（結(jié)果保留π）． 圖① 圖② 第22題圖 【逐步提示】本題考查解直角三角形和弧長的計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，（1）借助于20這一條件，把20和AB邊共同放置于一個(gè)直角三角形中，即過點(diǎn)B作AC的垂線段，設(shè)垂足為F，在直角△ABF中，利用三角函數(shù)求解； （2）是以點(diǎn)O為圓心，ON為半徑的圓中的一條弧且所對的圓心角是110，利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可． 【詳細(xì)解答】解：（1）

9、 過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F． 1分 ∴ AF=AC－BD=0.4(米)， 2分 ∴ AB=AFsin20≈1.17(米)； 3分 （2）∵ ∠MON=90＋20=110， 4分 ∴ (米)． 6分 【解后反思】在一般三角形中已知一些邊和角求另外的邊長的問題，通常都是通過添作垂線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來解決問題；對于弧長的計(jì)算，一是要知道弧所在圓的半徑二是要知道圓心角的度數(shù)，再利用進(jìn)行計(jì)算． 【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù)；解直角三角形；圓的有關(guān)計(jì)算； 3

10、. （ 2016廣東茂名，15，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1BO1的位置，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1落在直線y=x上，再將△A1BO1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1O2的位置，使點(diǎn)O1的對應(yīng)點(diǎn)O2落在直線y=x上，依次進(jìn)行下去…，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，1），則點(diǎn)A8的橫坐標(biāo)是 . 【答案】6+6 【逐步提示】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是抓住在直線y=x上翻滾的三角形的特征以及從點(diǎn)A1、A2到點(diǎn)A3、A4橫坐標(biāo)的變化規(guī)律. 先從點(diǎn)A、B的坐標(biāo)確定△AOB邊、角的特

11、征，分別過點(diǎn)A1、O2作A1H1、O2H2垂直于x軸，垂足分別為H1、H2，通過解直角三角形得出點(diǎn)A1、A2的橫坐標(biāo)，再從O2A3=2+，A3O4=1，得到點(diǎn)A1、A2到點(diǎn)A3、A4橫坐標(biāo)的變化規(guī)律，由此可類比得出點(diǎn)A7、A8橫坐標(biāo). 【詳細(xì)解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，1），∴∠OAB=90，OA=1，AB=，∴OB==2，∠AOB=60，∠ABO=30.因此在直線y=x上翻滾的是一個(gè)含30角且三邊長分別為1，，2的直角三角形，∴∠A2O2B2=∠AOB=60，∴A2O2∥OA，∴A2O2⊥x軸，即點(diǎn)A2、O2的橫坐標(biāo)相同.分別過點(diǎn)A1、O2作A1H1、O2H2垂直于

12、x軸，垂足分別為H1、H2，在Rt△OH1A1、Rt△OH2O2中，∠BOH1=30，OA1=2+，OO2=3+，由余弦函數(shù)cos30=，得OH1=（2+）、OH2=（3+），即點(diǎn)A1、A2的橫坐標(biāo)分別為（2+）、（3+）.∵O2A3=2+，A3O4=1，∴點(diǎn)A3、A4的橫坐標(biāo)分別為（5+2）、（6+2），……，點(diǎn)A7、A8的橫坐標(biāo)分別為（11+4）、（12+4），化簡（12+4）=6+6.故答案為6+6 . 【解后反思】本題的難點(diǎn)在于找出點(diǎn)A1、A2到點(diǎn)A3、A4橫坐標(biāo)的變化規(guī)律，需要將點(diǎn)A1、A2到點(diǎn)A3、A4在直線上長度的變化通過解直角三角形轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A1、A2到點(diǎn)A3、A4橫坐標(biāo)的變

13、化，從而運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想求出點(diǎn)A7、A8的橫坐標(biāo)的值. 【關(guān)鍵詞】一次函數(shù)的圖像性質(zhì)；勾股定理；直角三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；規(guī)律探索型問題；類比思想 4. （2016湖北省荊州市，15，3分）全球最大的關(guān)公塑像矗立在荊州古城東門外．如圖，張三同學(xué)在東門城墻上C處測得塑像底部B處的俯角為1148′，測得塑像頂部A處的仰角為45，點(diǎn)D在觀測點(diǎn)C正下方城墻底的地面上．若CD＝10米，則此塑像的高AB約為 米．（參考數(shù)據(jù)：tan7812′≈4.8） 特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)用，仰角、俯角有關(guān)問題 【答案】58.0 【逐步提示】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用（

14、仰角問題），利用仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)建立方程是解題的關(guān)鍵． 【詳細(xì)解答】解：∵在Rt△BCD中，tan7812′＝，∴BD＝CD tan7812′≈4.810＝48（米），∵CE＝AE＝BD，∴AB＝BD＋CD=48+10=58米，故答案為58 . 【解后反思】解決解直角三角形的實(shí)際問題，有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來，再根據(jù)以下方法和步驟解決：（1）根據(jù)題目中的已知條件，將實(shí)際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關(guān)系；（2）若三角形是直角三角形，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解

15、決．解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵是要根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，正確畫出圖形找準(zhǔn)三角形． 【關(guān)鍵詞】解直角三角形——仰角、俯角有關(guān)問題； 5. （ 2016湖北省十堰市，15，3分）在綜合實(shí)踐課上，小聰所在的小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點(diǎn)A處用測角儀測得河對岸小樹C位于東北方向，然后沿著河岸走了30米，到達(dá)B處，測得河對岸電線桿D位于北偏東30方向，此時(shí)，其它同學(xué)測得CD=10米.請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度________米（結(jié)果保留根號(hào)） 【答案】10（3+） 【逐步提示】本題主要是解直角三角形在實(shí)際測量中的應(yīng)用，涉及到方向角、解直角三角形中

16、的求邊、列解一元一次方程、二次根式的化簡等；解答此題的關(guān)鍵是設(shè)出河的寬度x，用x表示相關(guān)線段的長，并列出關(guān)于x的方程，求解即可.解答本題的思路突出在轉(zhuǎn)化：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的解直角三角形的問題. 【詳細(xì)解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P, 過點(diǎn)D作DQ⊥MN于點(diǎn)Q，設(shè)河寬為x米，則CP=DQ=AP=x.在30的直角三角形DBQ中，由于DQ= x，可以得到BQ=x , 由題意知CD=PQ=10米,.所以AQ=30+x =AP+PQ=x+10, 解得 x=10（3+），故答案為10（3+） . Q P 【解后反思】本題中的解直角三角形、解一元一次方程等是重點(diǎn)

17、,而設(shè)出河寬，用河寬表示相關(guān)的線段，進(jìn)而列出一元一次方程則是難點(diǎn). 本題的突出的思想是轉(zhuǎn)化：實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題、把線段轉(zhuǎn)化為一元一次方程的問題、把方程的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際中的線段.轉(zhuǎn)化思想:轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵非常豐富，已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過轉(zhuǎn)化來獲得解決問題的轉(zhuǎn)機(jī). 【關(guān)鍵詞】二次根式; 二次根式的化簡; 一元一次方程; 解一元一次方程; 解直角三角形; 方

18、位角問題; 直角三角形中的基本類型 6.(2016湖南省岳陽市，14，4)如圖，一山坡的坡度為，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)B，小辰上升了________米. 【答案】100 【逐步提示】在直角三角形中，先根據(jù)這個(gè)山坡的坡度求得山坡的坡角度數(shù)，再根據(jù)坡角的正弦值和斜邊AB長求得直角邊BC的長。 【詳細(xì)解答】∵tan∠A=，∴∠A=30。在Rt△ABC中，∠C=90，sin∠A=，∴BC=ABsin∠A=100(米)，所以填：100。 【解后反思】解決這類問題，關(guān)鍵是要將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素間的關(guān)系，即把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型(構(gòu)造直角三角形

19、)，然后根據(jù)直角三角形邊、角以及邊角關(guān)系求解。解題時(shí)應(yīng)意弄清仰角、俯角、水平距離、坡度(坡比)、坡角等概念的意義，認(rèn)真分析題意，觀察圖形(或畫圖)找出要解的直角三角形，選擇合適的邊角關(guān)系式計(jì)算，并按照題中要求的精確度確定答案，注明單位。 【關(guān)鍵詞】銳角三角函數(shù)；解直角三角形；俯角；坡度；正切 7. （2016江蘇鹽城，17，3分）已知△ABC中，tanB＝，BC＝6．過點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為點(diǎn)D，且滿足BD:CD＝2:1，則△ABC面積的所有可能值為 ▲ ． 【答案】8或24 【逐步提示】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，注意垂足點(diǎn)D在線段BC上，還

20、是在BC的延長線上． 【詳細(xì)解答】解：設(shè)AD＝x，由BD:CD＝2:1，得BD＝2x，若點(diǎn)D在線段BC上，BC＝BD＋CD＝3x＝6，x＝2，BD＝4，由tanB＝＝，得AD＝BD＝4＝，S△ABC＝6＝8；若點(diǎn)D在線段BC的延長線上，BC＝BD－CD＝x＝6，BD＝12，由tanB＝＝，得AD＝BD＝12＝8，S△ABC＝68＝24；故答案為8或24． 【解后反思】此類問題容易出錯(cuò)的地方是不會(huì)分情況討論，導(dǎo)致漏解；涉及三角形高的問題，注意高的位置是問題的關(guān)鍵．解決銳角三角函數(shù)問題時(shí)，注意：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90，則sinA＝，cosA＝，tan A＝．在已知一邊和一角的

21、情況下，可通過銳角三角函數(shù)求第三邊；（2）在沒有直角三角形的情況下，要構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化；（3）要注意沒有圖形時(shí)，可能的圖形要畫全． 【關(guān)鍵詞】在其它三角形中的運(yùn)用；分類討論思想 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （ 2016安徽，19，10分）如圖，河的兩岸與相互平行，A,B是上的

22、兩點(diǎn)，C,D是上的兩點(diǎn).某人在點(diǎn)A處測得∠CAB=900，∠DAB=300，再沿AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E（點(diǎn)E在線段AB上），測得∠DEB=600，求C,D兩點(diǎn)間的距離. 【逐步提示】過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)河寬DF=x米，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系分別用含x的代數(shù)式表示AF,EF,通過建立方程求x，進(jìn)而求CD. 【詳細(xì)解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，則CD=AF,設(shè)DF=x米，在Rt△ADF中，∵tan300=,∴AF=x,在Rt△DEF中，∵tan600=,∴EF=x,………5分 而x-x=20,x=10,∴AF=30(米）=CD. 答：C,D兩點(diǎn)間的距離是30米.………………

23、10分 【解后反思】運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)通常通過添作高線，構(gòu)造直角三角形，然后運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系使問題得以解決.本題也可以先證AE=DE,過點(diǎn)E作AD邊上的高，通過求AD使問題得以解決. 【關(guān)鍵詞】解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 2. （2016甘肅蘭州，24，7分）如圖，一垂直于地面的燈柱AB被—鋼纜CD固定，CD與地面成45夾角，在C點(diǎn)上方2米處加固另?xiàng)l鋼纜ED，ED與地面成53夾角（∠EDB =53），那么鋼纜ED的長度約為多少米？（結(jié)果精確到1米參考數(shù)據(jù)：sin53=0.80，cos53=0.60，tan 53=1.33）． 【逐步提示】第一步

24、：因本題中有兩個(gè)直角三角形，其中△DCB是等腰直角三角形，所以先假設(shè)BD=xm，再用x的代數(shù)式表示BC與BE；第二步：在Rt△BDE中借助∠EDB的正切列方程求x；第三步：在Rt△BDE中借助∠EDB的正弦求出ED的長． 【詳細(xì)解答】解：設(shè)BD=xm，則BC=xm，BE=(x+2)m． 在Rt△BDE中：=tan ∠EDB，∴ ，x=6.06， ∵= sin∠EDB，∴ED= =≈10． 答：鋼纜ED的長度約為10米． 【解后反思】在實(shí)際問題中，如果有多個(gè)直角三角形時(shí)，一定要認(rèn)真分析各條線段之間的關(guān)系(包括三角函數(shù)產(chǎn)生的比例關(guān)系、相等關(guān)系、和差關(guān)系等)，同時(shí)關(guān)注方程思想在解題中

25、的應(yīng)用． 【關(guān)鍵詞】 解直角三角形的應(yīng)用；方程思想 3. （ 2016甘肅省天水市，20，10分）如圖所示，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點(diǎn)C 的仰角為60，沿山坡向上走到P處再測得C的仰角為45，已知OA＝200米，山坡坡度為（即tan∠PAB＝），且O、A、B在同一條直線上，求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的垂直高度．（測傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)） A B O C P 水平地面 【逐步提示】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及仰角、俯角和坡度．在Rt△AOC中，直接利用三角函數(shù)容易求得電視塔OC的高度．求此人所在位置點(diǎn)P的垂直高度，解題的關(guān)鍵有三步：

26、1. 過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F，產(chǎn)生兩個(gè)新的直角三角形PAE和PFC；2. 利用60、45以及坡度，發(fā)現(xiàn)AE＝3PE，PF＝CF＝OC－PE，PF＝OA＋AE；3. 選取PE為未知數(shù)，通過設(shè)元列方程求解． 【詳細(xì)解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F， A B O C P 水平地面 E F 在Rt△AOC中，OA＝200，∠CAO＝60， ∴OC＝OAtan∠CAO＝200tan60＝200（米）． 設(shè)PE＝x米， ∵tan∠PAB＝＝，∴AE＝3x． 在Rt△PCF中， ∠CPF＝45，CF＝200－x，PF＝OA＋AE＝2

27、00＋3x． ∵tan∠CPF＝，∴＝tan45＝1，則PF＝CF． ∴200＋3x＝200－x，解得x＝50－50． ∴PE＝(50－50)米． 答：電視塔OC的高度為200米，此人所在位置點(diǎn)P的垂直高度為(50－50)米． 【解后反思】已知直角三角形中一邊和一銳角或兩邊，則此直角三角形可解．因此，要能把所求的線段或角置于一些特殊的直角三角形中．若無直角三角形，則需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形，再利用解直角三角形的知識(shí)求解．運(yùn)用方程思想，尋元、設(shè)元、構(gòu)造方程時(shí)常穿插其中． 【關(guān)鍵詞】仰角、俯角問題；坡度、坡角問題；化歸思想． 4. （2016廣東省廣州市，22，12分）如圖，某無

28、人機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)B，D，從無人機(jī)A上看目標(biāo)B，D的俯角分別是30，60，此時(shí)無人機(jī)的飛行高度AC為60m，隨后無人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30m到達(dá)A′處． （1）求A，B之間的距離； （2）求從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角的正切值． 60 30 A A′ B D C 【逐步提示】（1）在Rt△ABC中，可求∠BAC或∠B的度數(shù)，又知一邊AC的長度，故通過解直角三角形得到AB的長度；（2）從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角為∠AA′D，要求其正切值，可直接把它構(gòu)造在一個(gè)直角三角形中，于是作DE⊥AA′于點(diǎn)E，先通過解Rt△AD

29、E求得AE的值，進(jìn)而可知A′E的長，最后在Rt△A′ED中計(jì)算tan∠A′的值即為所求． 【詳細(xì)解答】解：（1）根據(jù)題意，可知AA′∥BC，又AC⊥BC，∴AC⊥AA′． 在Rt△ABC中，∠BAC=90－30=60，AC=60m， ∴AB==60=120(m)，即A，B之間的距離為120m； （2）如圖，作DE⊥AA′于點(diǎn)E，則DE=AC=60m． 在Rt△ADE中，tan∠DAE=，∴AE==20(m)． ∴A′E= AA′+ AE=30+20=50(m)． 在Rt△A′ED中，tan∠A′===． 即從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角的正切值為． 60 30 A

30、 A′ B D C E 【解后反思】（1）解直角三角形的問題中，雙直角三角形是常見的基本模型，具體如下： 如圖1，若BC=m，設(shè)AD=x，由BD+CD=m，可得+= m，解得x=； 如圖2，若BC=m，設(shè)AD=x，同（1），可得x=. （2）一般來說，解雙直角三角形問題，可把兩個(gè)直角三角形的相關(guān)條件聯(lián)系在一起構(gòu)建方程求解．解決該類問題時(shí)注意尋找兩直角三角形的公共邊角或相等的邊角，它們往往是溝通解證思路的“橋梁”． 【關(guān)鍵詞】特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)用；仰角、俯角有關(guān)問題 5. （2016廣東茂名，21，8分）如圖，在數(shù)學(xué)活

31、動(dòng)課中，小敏為了測量校園內(nèi)旗桿CD的高度.先在教學(xué)樓的底端A點(diǎn)處，觀測到旗桿頂端C的仰角∠CAD=60，然后爬到教學(xué)樓上的B處，觀測到旗桿底端D的俯角是30.已知教學(xué)樓AB高4米. （1）求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD；（結(jié)果保留根號(hào)）； （2）求旗桿CD的高度. 【逐步提示】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解仰角、俯角的含義的基礎(chǔ)上合理利用三角函數(shù)相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算．（1）在Rt△BAC中，利用tan∠ADB=或者tan∠ABD=求解；（2）在Rt△ADC中，利用tan∠DAC=求解. 【詳細(xì)解答】解：∵教學(xué)樓B點(diǎn)處觀測到旗桿底端D的俯角是30，結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相

32、等”， ∴∠ADB=30. 在Rt△ABD中，∠BAD=90，∠ADB=30，AB=4， ∴AD===4（米）. 因此，教學(xué)樓與旗桿的水平距離是4米. （2）∵在Rt△ACD中，∠ADC=90，∠CAD=60，AD=4， ∴CD=ADtan60=4=12（米）. 因此，旗桿CD的高度是12米. 【解后反思】利用解直角三角形解決實(shí)際問題的步驟是：（1）審題，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．（2）認(rèn)真分析題意，畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，對于非基本的題型可通過解方程（組）來轉(zhuǎn)化為基本類型，對于較復(fù)雜的問題，往往要通過

33、作輔助線構(gòu)造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．（3）根據(jù)條件，結(jié)合圖形，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形．（4）按照題目中已知數(shù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)得到符合實(shí)際要求的解，并按題目要求的精確度確定答案，并標(biāo)注單位．對非直角三角形的求解，可以通過作輔助線的方法轉(zhuǎn)化成直角三角形解決，這種方法叫“化斜為直”法．通常以特殊角為一銳角，構(gòu)造直角三角形．若條件中含有線段的比或銳角三角函數(shù)值，也可以設(shè)未知數(shù)，列方程求解． 【關(guān)鍵詞】仰角、俯角有關(guān)問題；解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 6.（ 2016河南省，19，9分）如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為370，

34、旗桿底部B點(diǎn)的俯角為450，升旗時(shí)，國旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin370≈0.60，cos370≈0.80,tan370≈0.75） 【逐步提示】要求速度需先求ＡＢ的長度，通過構(gòu)造兩個(gè)角所在的三角形，利用它們的三角函數(shù)值溝通ＣＤ、ＢＤ和ＡＤ的關(guān)系，求出AB長度以后，除以時(shí)間可得上升速度. 【詳細(xì)解答】解： 過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則DB=9. 在Rt△CBD中，∠BCD=45， ∴CD=. 在Rt△ACD中，∠ACD=37.5， ∴AD=C

35、Dtan37.5 =90.75=6.75. AB=AD+DB=6.75+9=15.75. （15.75-2.25）45=0.3（米/秒）. ∴國旗應(yīng)以約0.3米/秒的速度勻速上升. ……… 【解后反思】解直角三角形問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，利用已知角的三角函數(shù)值溝通線段的關(guān)系，往往通過列方程解決問題。解決此類問題要注意畫圖和計(jì)算的準(zhǔn)確性。 【關(guān)鍵詞】構(gòu)造直角三角形，三角函數(shù)，等腰直角三角形 7. （ 2016湖北省黃岡市22，8分）“一號(hào)龍卷風(fēng)”給小島O造成了較大的破壞，救災(zāi)部門迅速組織力量，從倉儲(chǔ)D處調(diào)集救援物資，計(jì)劃先用汽車運(yùn)到與D在同一直線上的C,B,A三個(gè)碼頭中的

36、一處，再用貨船運(yùn)到小島O，已知：OA⊥AD，∠ODA=150，∠OCA=300，∠OBA=450，CD=20km.若汽車行駛的速度為50km/時(shí)，貨船航行的速度為25km/時(shí)，問這批物資在哪個(gè)碼頭裝船，最早運(yùn)抵小島O?（在物資搬運(yùn)能力上每個(gè)碼頭工作效率相同，（參考數(shù)據(jù)：） 【逐步提示】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用特殊角的三角函數(shù)值和已知的邊長出未知的邊長。要比較三個(gè)碼頭中那個(gè)碼頭裝船最早運(yùn)抵小島，就是比較三種情況的時(shí)間，已知汽車的速度和貨船航行的速度，所以只需求出每種情況的路程即可。從C碼頭裝船的路程為DC+CO，從B碼頭裝船的路程為DB+OB,從A碼頭裝船的路程為：D

37、A+OA. 【詳細(xì)解答】解：∵∠ODA=150，∠OCA=300，CD=20km。 ∴OC=CD=20km. 在RtΔAOC中，CO=20，∠OCA=300， ∴OA=10， 。 在RtΔAOB中，∠OBA=450，OA=10， ∴AB=10，. ∴BC=, AC=. ①從C碼頭裝船，運(yùn)抵小島O所花的時(shí)間為：2050+2025=1.2（時(shí)） ②從B碼頭裝船，運(yùn)抵小島O所花的時(shí)間為： ③從A碼頭裝船，運(yùn)抵小島O所花的時(shí)間為： ∵1.1<1.2<1.54 ∴這批物資從B碼頭裝船最早運(yùn)抵小島O。 【解后反思】解直角三角形時(shí)，選用已知銳角的正弦、余弦或正切的一個(gè)合適

38、的關(guān)系式．一般情況下，在直角三角形中，已知一直角邊求另一直角邊，用已知銳角的正切函數(shù)關(guān)系式；已知或要求的涉及到斜邊，用正弦或余弦關(guān)系式．如果是特殊角，則很容易求出，如果不是特殊角，則題目提供可能用到的三角函數(shù). 【關(guān)鍵詞】解直角三角形的應(yīng)用 8. （ 2016湖北省黃石市，22，8分）如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30，∠CBE＝45． （1）求AB段山坡的高度EF； （2）求山峰的高度CF．（≈1.414，CF結(jié)果精確到米） 【逐步提示】本題考查了解直角三角形

39、的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出直角三角形，將求山高的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解答．（1）過點(diǎn)B作BD⊥AF于點(diǎn)D，構(gòu)造出矩形BEFD和Rt△ABD，然后解直角三角形；（2）先判斷出△BCE是直角三角形，然后再解直角三角形求出CE，進(jìn)而得到山高EF． 【詳細(xì)解答】解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥AF于點(diǎn)D，則BD＝EF． 在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAF＝ABsin30＝800＝400． ∴EF＝400（米）． 答：AB段山坡的高度EF為400米． （2）∵∠CBE、BAF都是坡角， ∴BE∥AF． ∵CF⊥AF， ∴BE⊥CF． 在Rt△BCE中，CE＝BCsin

40、∠CBE＝BCsin45＝200＝． ∴CF＝CE＋EF＝＋400≈541（米）． 答：山峰CF的高度約為541米． 【解后反思】解答解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題，一般通過作垂線構(gòu)造出直角三角形，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題．選用已知銳角的正弦、余弦或正切的一個(gè)合適的關(guān)系式．一般情況下，在直角三角形中，已知一直角邊求另一直角邊，用已知銳角的正切函數(shù)關(guān)系式；已知或要求的涉及到斜邊，用正弦或余弦關(guān)系式．如果是特殊角，則很容易求出，如果不是特殊角，則要用到題目提供的三角函數(shù)值． 【關(guān)鍵詞】銳角三角函數(shù)；解直角三角形． 9.（2016湖南常德，22，7分）南海是我國的南大門如圖8所

41、示，某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域正在進(jìn)行常態(tài) 化巡航，在A 處測得北偏東30方向上，距離為20海里的B處有—艘不明身份的船只正在向正東方向航行，便迅速沿北偏東75的方向前往監(jiān)視巡查，經(jīng)過一段時(shí)間后，在C處成功攔截不明船只．問我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了多少海里（最后結(jié)果保 整數(shù)？（參考數(shù)據(jù)cos75≈0．2588，sin75≈0．9659，tan75≈3．732，，） 【逐步提示】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．充分利用30和75的條件，過A作AD⊥BC構(gòu)造直角三角形，通過Rt△ABD和Rt△ACD求解． 【詳細(xì)解答】解

42、： 過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，在△ABD中， ， 在△ACD中，． 答：海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了約67海里． 【解后反思】：利用解直角三角形解決實(shí)際問題的步驟是：(1) 審題，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．(2)認(rèn)真分析題意，畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，對于非基本的題型可通過解方程(組)來轉(zhuǎn)化為基本類型，對于較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．(3) 根據(jù)條件，結(jié)合圖形，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形．(4)按照題目中已知數(shù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，

43、檢驗(yàn)得到符合實(shí)際要求的解，并按題目要求的精確度確定答案，并標(biāo)注單位．對非直角三角形的求解，可以通過作輔助線的方法轉(zhuǎn)化成直角三角形解決，這種方法叫“化斜為直”法．通常以特殊角為一銳角，構(gòu)造直角三角形．若條件中含有線段的比或銳角三角函數(shù)值，也可以設(shè)未知數(shù)，列方程求解． 【關(guān)鍵詞】方位角問題 10. （ 2016湖南省郴州市，22，8分）小宇在學(xué)習(xí)解直角三角形的知識(shí)后，萌生了測量他家對面位于同一水平面的樓房高度的想法．他站在自家C處測得對面樓房底端B的俯角為45，測得對面樓房頂端A的仰角為30，并量得兩棟房間的距離為9米．請你用小宇測得的數(shù)據(jù)求出對面樓房AB的高度．（結(jié)果保留到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈

44、1.4，≈1.7） 【逐步提示】本題考查了解直角三角形知識(shí)，主要是應(yīng)用舉例中的俯角與仰角的問題，分清俯角與仰角，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵． 過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，構(gòu)造直角三角形，知道兩樓之間的距離（CD的長），就可以分別在兩個(gè)直角三角形中求出AD，BD的長，再求AB及近似值． 【詳細(xì)解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意可知CD＝9，在Rt△ADC中，∵tan30=，∴AD=，在Rt△CDB中，∵tan45=，∴BD=CD=9， ∴AB=AD+DB=9+3≈14（米）． 答：樓房AB的高度約為14米． 【解后反思】此類問題容易出錯(cuò)的地方

45、是：1.不能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題；2.特殊角三角函數(shù)值記憶錯(cuò)誤，俯角、仰角概念不清． 解決解直角三角形的問題通常通過添作高線，構(gòu)造直角三角形使問題得以解決；直角三角形的邊角關(guān)系是：如圖，△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，則sinA=，cosA=，tanA=. 【關(guān)鍵詞】特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)用 ；解直角三角形；俯角、仰角有關(guān)問題； 11. （2016湖南省衡陽市，24，10分）（本小題滿分10分）在某次海上軍事演習(xí)期間，我軍為確保△OBC海域內(nèi)的安全，特派遣三艘軍艦分別在O、B、C處監(jiān)控△OBC海域，在雷達(dá)顯示圖上，軍艦B在軍艦O的正東方向中80海里處，軍艦C在軍

46、艦B的正北方向60海里處.三艘軍艦上裝載有相同的探測雷達(dá)，雷達(dá)的有效探測范圍是半徑為的圓形區(qū)域.（只考慮在海平面上的探測） （1）若三艘軍艦要對△OBC海域進(jìn)行無盲點(diǎn)監(jiān)控，則雷達(dá)的有效探測半徑至少為多少海里？ （2）現(xiàn)有一艘敵艦A從東部接近△OBC海域，在某一時(shí)刻軍艦B測得A位于北偏東60゜方向上，同時(shí)軍艦C測得A位于南偏東30゜方向上，求此時(shí)敵艦A離△OBC海域的最短距離為多少海里？ （3）若敵艦A沿最短距離的路線以海里地/小時(shí)的速度靠近△OBC海域，我軍軍艦B立刻沿北偏東15゜的方向進(jìn)行攔截.問軍艦B速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦A？ 【逐步提示】（1）第一步，

47、先確定雷達(dá)有效探測半徑與△OBC的關(guān)系：三艘軍艦要對△OBC海域進(jìn)行無盲點(diǎn)監(jiān)控，雷達(dá)的有效探測半徑至少應(yīng)等于△OBC的外接圓半徑；第二步，確定△OBC的外接圓圓心的位置：因△OBC為直角三角形，其外接圓圓心應(yīng)在斜邊OC的中點(diǎn)處；第三步，確定斜邊OC的長：由BO=80，CO=60，可求得斜邊OC的長，這樣便可以求計(jì)算出雷達(dá)有效探測半徑. （2）利用“垂線段最短”這一知識(shí)點(diǎn)先在圖形中畫出點(diǎn)A到BC的最短線段，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)便可計(jì)算出敵艦A離△OBC海域的最短距離. （3）假設(shè)B軍艦在點(diǎn)N處攔截到敵艦，在BM上取一點(diǎn)H，使得HB=HN，設(shè)MN=，先列出方程求出，再求出BN、AN利用不等式

48、解決問題. 【詳細(xì)解答】解：（1）在Rt?ABC中， ∵BO=80，CO=60，∠OBC＝90， ∴OC=， ∴， ∴雷達(dá)的有效探測半徑至少為50海里； （2）作AM⊥BC于M， ∵∠ACB＝30，∠CBA＝60， ∴∠CAB＝90， ∴AB=BC=30， 在Rt?ABM中，∵∠AMB=90，AB=30，∠BAM＝30， ∴BM=AB=15，AM=BM=， ∴此時(shí)敵艦A離?OBC的海域的最短距離為海里。 （3）假設(shè)軍艦B在點(diǎn)N處攔截到敵艦，在BM上取一點(diǎn)H，使得HB=HN，設(shè)MN=， ∵∠HBN=∠HNB＝15，∴∠MHN＝∠HBN+∠HNB=30，∴HN=HB=

49、2，MH=， ∵BM=15，∴15=2+，=30-，∴AN=30-30， ∴，設(shè)B軍艦速度為海里/小時(shí)， 由題意，得：，∴， ∴軍艦B速度至少為20海里/小時(shí)才能在此方向上攔截到敵艦A. 【解后反思】解決問題時(shí)要注意選取最優(yōu)化的解題思路，這道題的第（3）問也可以這樣來解決：假設(shè)軍艦B在點(diǎn)N處攔截到敵艦，過點(diǎn)N作NG⊥AB，垂足為G，設(shè)AN=， ∵∠BAM＝30，∴NG=。 ∵∠MBN=15，∠ABM＝60， ∴∠ABN＝∠ABM-∠MBN=45， ∴BN=， 設(shè)B軍艦速度為海里/小時(shí)， 由題意，得：， ∴， ∴軍艦B速度至少為20海里/小時(shí)才能在此方向上攔截到敵艦

50、A。 【關(guān)鍵詞】解直角 三角形；勾股定理；特殊角三角函數(shù)；垂線段； 12. （2016湖南省湘潭市，19，6分）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛煉，小胖同學(xué)馬上行動(dòng)，每天圍繞小區(qū)進(jìn)行晨跑鍛煉.該小區(qū)外圍道路近似為如圖所示四邊形ABCD.已知四邊形ABED是正方形，∠DCE=45，AB=100米.小胖同學(xué)某天繞該道路晨跑5圈，時(shí)間約為20分鐘，求小胖同學(xué)該天晨跑的平均速度約為多少米/分？（結(jié)果保留整數(shù)，） A B C D E 45 【逐步提示】根據(jù)正方形的四條邊相等的特點(diǎn)，可以寫出AD，BE的長，然后在Rt△DEC中，利用解直角三角形的知識(shí)，可以求出EC和DC的長

51、，進(jìn)而求出四邊形的周長，即路程，然后利用路程除以時(shí)間可以求出小胖的速度. 【詳細(xì)解答】解：作DE⊥BC于E，∵四邊形ABED是正方形，∴AD=DE=BE=AB=100米，∵在Rt△DEC中，∠C=45，∴EC=DE=100米，DC=≈1.41100=141（米），∴四邊形ABCD的周長≈100+100+200+141=541（米）.小胖的速度=(5541)20≈135（米/分）. 答：小胖同學(xué)該天晨跑的平均速度約為135米/分. 【解后反思】等腰直角三角形三邊的關(guān)系是1：1：.計(jì)算速度時(shí)要注意小胖每天跑5圈. 【關(guān)鍵詞】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形中的基本類型 13.

52、（ 2016年湖南省湘潭市，19，6分）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛煉，小胖同學(xué)馬上行動(dòng)，每天圍繞小區(qū)進(jìn)行晨跑鍛煉。該小區(qū)外圍道路近似為如圖所示四邊形ABCD，已知四邊形ABED為正方形，∠DCE＝45，AB=100米。小胖同學(xué)某天繞該道路晨跑5圈，時(shí)間約為20分鐘，求小胖同學(xué)該天晨跑的平均速度約為多少米/分（結(jié)果保留整數(shù)，） A D B E 45 C 【逐步提示】本題考查了正方形和特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值。先用45角的三角函數(shù)值求出CD、CE，再求出整個(gè)道路的1圈的長，最后可求得平均速度。 【詳細(xì)解答】解：解：∵

53、四邊形ABCD是正方形，∴DE＝AB＝BE＝AD＝100，∠DEC＝∠DEB＝90，又∵∠DCE＝45，∴sin∠DCE＝，EC＝DE＝100，∴DC＝＝＝＝，∴小胖繞小區(qū)一圈的路程為：AB＋BC＋CD＋AD＝100＋100＋100＋＋100＝（400+）（米）， ∴小胖同學(xué)該天晨跑的平均速度為：5（400+）20＝100＋25≈100＋251.41＝135.25≈135（米/分）.答：胖同學(xué)該天晨跑的平均速度約為135（米/分）. 【解后反思】本題是一道實(shí)際問題，首先應(yīng)弄清題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。另解求CD、CE：∵四邊形ABCD是正方形，∴DE＝AB＝BE＝AD＝100，∠DE

54、C＝∠DEB＝90，又∵∠DCE＝45，∴△DEC是等腰直角三角形，∴EC＝DE＝100，∴DC＝，以下解題過程同上。 【關(guān)鍵詞】四邊形；特殊的平行四邊形；正方形的性質(zhì)；勾股定理；特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)用 14. （2016湖南湘西，24，8分）測量計(jì)算是日常生活中常見的問題. 如圖，建筑物BC的屋頂瀏有一根旗桿AB，從地面上D點(diǎn)處觀測旗桿頂點(diǎn)A的仰角為50，觀測旗桿底部B點(diǎn)的仰角為45.（可用參考數(shù)據(jù)：sin50≈0.8，tan50≈1.2） (1)若已知CD=20米，求建筑物BC的高度； (2)若已知旗桿的高度AB=5米，求建筑物BC的高度. 【逐步提示】本題考查了解直角三角形

55、的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解仰角的概念，建立適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式． 【解題思路】分別在Rt△ABE和Rt△DEC中，利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的長，再相加即可． 【詳細(xì)解答】解：(1)由題意得∠ACD=90，∠BDC=45，，∴BC=CDtan∠BDC≈201=20，答: 建筑物BC的高度約為20米； (2)設(shè)CD=x米，同（1）得BC=CD =x米，AC≈1.2x，∵AB=5米，∴x＋5=1.2x，解之得x=25，∴BC=25（米），答：建筑物BC的高度約為25米. 【解后反思】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，理解仰角、俯角的定義，是解答此類題目的前提．熟記特殊角的

56、三角函數(shù)值，學(xué)會(huì)利用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式求解，是解答此類題目的必要條件． 【關(guān)鍵詞】解直角三角形；仰角 15. （ 2016江蘇省淮安市，24，8分）小華想測量位于池塘兩端的A、B兩點(diǎn)的距離，他沿著與直線AB平行的道路EF行走，當(dāng)行走到點(diǎn)C處，測得∠ACF＝45，再向前行走100米到點(diǎn)D處，測得∠BDF＝60．若直線AB與EF之間的距離為60米，求A、B兩點(diǎn)的距離． 【逐步提示】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，作垂線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．由于已知兩條平行線的距離是60米，所以過點(diǎn)A和B作EF的垂線段，得到兩個(gè)特殊的直角三角形，解這兩個(gè)三角形即可求出AB的長． 【詳細(xì)解答】解

57、：作AM⊥EF于點(diǎn)M，作BN⊥EF于點(diǎn)N，如右圖所示， 由題意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45，∠BDF=60， ∴CM=， DN=， ∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=40+20， 即A、B兩點(diǎn)的距離是（40+20）米． 答：AB兩點(diǎn)之間的距離為（米） 【解后反思】解直角三角形的應(yīng)用題的步驟： （1）審題：沒有平面圖要根據(jù)題干作出正確的平面圖，在圖形中弄明白哪 些是已知量，哪些是未知量； （2）將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊，角關(guān)系 ，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形； （3）選擇行當(dāng)?shù)年P(guān)系解直角三角形； （4）沒有直角三角形的，需要通

58、過作水平線和垂直線構(gòu)造直角三角形． 【關(guān)鍵詞】解直角三角形的應(yīng)用； 16.（ 2016江蘇省連云港市，25，10分）如圖，在中，，，． （1）求的長； （2）利用此圖形求的值（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，） 【逐步提示】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形和15的直角三角形是解題的關(guān)鍵． （1）先構(gòu)造直角三角形，即過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，分別解Rt△ACD和Rt△ABD，即可求出BC的長；（2）需要構(gòu)造15的直角三角形，即在CB上截取CE=CA=4，則∠CEA=∠CAE=∠ACD=15，然后求出15角的對邊和鄰邊，利用定義求值即可． 【詳細(xì)解答】解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥B

59、C的延長線于點(diǎn)D，∵∠ACB=150，∴∠ACD=30，∴AD=AC=2，CD==， 在Rt△ABD中，∵，∴， ∴BC=16- （1）題圖 （2）在CB上截取CE=CA=4，則∠CEA=∠CAE=∠ACD=15， （2）題圖 ∴≈0．3 所以15的正切值等于0．3． 【解后反思】本題的重點(diǎn)解直角三角形，難點(diǎn)是兩次構(gòu)造，即第一次通過作垂線構(gòu)直角三角形，把斜三角形轉(zhuǎn)化成含有特殊角的直角三角形和一般的直角三角形，進(jìn)而利用三角函數(shù)的定義求解；第二次是要求15的正切值，但圖中沒有15的角，只有30的角，于是通過構(gòu)造等腰三

60、角形得出15的角，求出這個(gè)角的對邊和鄰邊，最后用正切的定義求出它的正切值． 【關(guān)鍵詞】解直角三角形； 17. （ 2016江蘇泰州，22，10分）如圖，地面上兩個(gè)村莊C、D處于同一水平線上，一飛行器在空中以6千米/小時(shí)的速度沿MN方向水平飛行，航線MN與C、D在同一鉛直平面內(nèi)．當(dāng)該飛行器飛至村莊C的正上方A處時(shí)，測得∠NAD=60，該飛行器從A處飛行40分鐘至B處時(shí)，測得∠ABD=75，求村莊C、D間的距離（取1.73，結(jié)果精確到0.1千米）． （第22題圖） 【逐步提示】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形．在△ABD中，∠

61、NAD=60，∠ABD=75，則∠BDA=45，很顯然想到過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，然后依次解三個(gè)特殊的直角三角形即可． （第22題答圖） 【詳細(xì)解答】解：過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，∵AB=6=4，∴BE= ABsin∠NAD=4sin 60=2，AE= ABcos∠NAD=4cos 60=2，∵∠ABD=75，∠ABE=90－∠NAD=30，∴∠EBD=45，∴DE=BEtan∠EBD=2tan 45=2，∴AD=2＋2，∵M(jìn)N∥CD，∴∠ADC=∠NAD=60，在Rt△ACD中，CD= ADcos∠ADC=（2＋2）cos 60=1＋≈1＋1.73≈2.7（千米），答：村莊C、D

62、間的距離約為2.7千米． 【解后反思】本題主要是化斜（斜三角形）為直（直角三角形），特別是見60、45、30，要想到將這兩個(gè)特殊角放到相應(yīng)的直角三角形中，若見到75=45＋30、105=45＋60，通過作高進(jìn)行分割，再用特殊角的三角函數(shù)值． 【關(guān)鍵詞】解直角三角形 18. （2016江蘇省宿遷市，22，6分）如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60方向，該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45方向．如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？試說明理由．（參考數(shù)據(jù)：） 【逐步提示】過P作AB的垂線，求

63、出這條垂線段的長，再把這個(gè)長度與10進(jìn)行比較，若這個(gè)距離大于10，則沒有觸礁危險(xiǎn)，若這個(gè)距離小于10，則有觸礁危險(xiǎn)． 【詳細(xì)解答】 解：過P作PD⊥AB，垂足為D． 設(shè)PD=x 在Rt△APD中， tan30=， ∴ AD= 在Rt△BPD中， tan45=， ∴ BD= ∴ 解得：x=4>10 ∴ 海輪繼續(xù)向正東方向航行，沒有觸礁的危險(xiǎn)． 【解后反思】解決解直角三角形的實(shí)際問題，有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來，再根據(jù)以下方法和步驟解決：①根據(jù)題目中的已知條件，將實(shí)際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題，畫出平面幾何

64、圖形，弄清已知條件中各量之間的關(guān)系；②若三角形是直角三角形，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決．解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵是要根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，正確畫出圖形找準(zhǔn)三角形． 【關(guān)鍵詞】 方位角問題；方程思想；；； 20. 19.（2016山東省德州市，20，8分）2016年2月1日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，用長征三號(hào)丙運(yùn)載火箭成功將第5顆新一代北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。如圖，火箭從地面L處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，從位于地面R處雷達(dá)站測得AR的距離是6km，仰角為42.4；1秒后火箭到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測得仰角為45.5. （1） 求發(fā)射臺(tái)

65、與雷達(dá)站之間的距離LR； （2）求這枚火箭從A到B的平均速度是多少（結(jié)果精確到0.01）？ （參考數(shù)據(jù)：sin42.4≈0.67,cos42.4≈0.74,tan42.4≈0.905,sina45.5≈0.71,cos45.5≈0.70,tan45.5≈1.02.) 【逐步提示】(1) 在 Rt△ALR中,知道斜邊AR和∠ARL，求∠ARL的鄰邊，運(yùn)用余弦函數(shù)即可得發(fā)射臺(tái)與雷達(dá)站之間的距離LR .（2）知道時(shí)間求速度，應(yīng)該運(yùn)用公式v=,因此求得s即可。此處s為AB，而且AB=BL－AL .因此轉(zhuǎn)化成在 Rt△ALR中，知道斜邊AR和∠ARL，求∠ARL的對邊AL用正弦函數(shù)；在 Rt△BLR中，知道邊∠BRL和它的鄰邊LR，求∠ARL的對邊BL ，運(yùn)用正切函數(shù)；最后AB=BL－AL得解. 【詳細(xì)解答】解： （1）在 Rt△ALR中，AR=6,∠ARL=42.4, 由, 得LR=ARcos∠ARL=6cos42.4≈4.44 故發(fā)射臺(tái)與雷達(dá)站之間的距離LR為4.44km (2) ）在 Rt△BLR中 ,LR=4.44, ∠BRL=45.5, 由 ，得BR=LRtan∠BRL=4.44tan45.5≈4.441.02=4.5288 又, 得AL=ARsin∠ARL=6sin42.4≈4.02, ∴AB=BL－AL=4.5288－4.02