《高三文科數(shù)學 總復習專項強化訓練(三)數(shù)列的綜合應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三文科數(shù)學 總復習專項強化訓練(三)數(shù)列的綜合應用（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 溫馨提示： 此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。 專項強化訓練(三) 數(shù)列的綜合應用 一、選擇題 1.設{an},{bn}分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列,a1=b1=4,a4=b4=1,則下列結論正確的是(　　) A.a2>b2 B.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6 【解析】選A.設{an}的公差為d,{bn}的公比為q, 由題可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2,故選A. 【加固訓練】若數(shù)列x,a1,a2,y成等差數(shù)列,x,b1,b

2、2,y成等比數(shù)列,則的取值范圍是　　　　. 【解析】由等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質得所以==2++. 當x,y同號時,+≥2;當x,y異號時,+≤-2. 所以的取值范圍為(-∞,0]∪[4,+∞). 答案:(-∞,0]∪[4,+∞) 2.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個零點,則b10等于(　　) A.24 B.32 C.48 D.64 【解析】選D.依題意有anan+1=2n, 所以an+1an+2=2n+1.兩式相除得=2, 所以a1,a3,a5,…成等比數(shù)列,a2,a4,a6,…也成等比數(shù)列. 而a

3、1=1,a2=2, 所以a10=2·24=32,a11=1·25=32. 又因為an+an+1=bn, 所以b10=a10+a11=64. 3.設{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,且S5<S6,S6=S7>S8,則下列結論錯誤的是(　　) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 【解析】選C.因為{an}是等差數(shù)列, 所以Sn=n2+n. 因為S5<S6,S6=S7>S8, 所以Sn關于n的二次函數(shù)開口向下,對稱軸為n=6.5, 所以d<0,S6與S7均為

4、Sn的最大值, S9<S5,a7=S7-S6=0,故選C. 4.(20xx·北京模擬)已知函數(shù)f(x)=把函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列,則該數(shù)列的通項公式為(　　) A.an=,n∈N* B.an=n(n-1),n∈N* C.an=n-1,n∈N* D.an=2n-2,n∈N* 【解析】選C.當x≤0時,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是減函數(shù),只有一個零點a1=0;當x>0時,若x=n,n∈N*,則f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n; 若x不是整數(shù), 則f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-

5、[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整數(shù)部分, 由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-1<x-[x]-1<0,沒有這樣的x. 所以g(x)=f(x)-x的零點按從小到大的順序為0,1,2,3,…,通項an=n-1,故選C. 【加固訓練】定義:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知數(shù)列{an}滿足:an=(n∈N*),若對任意正整數(shù)n,都有an≥ak(k∈N*)成立,則ak的值為(　　) A.　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.4 【解析】選A.an=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有當n=1,2時,2n2&

6、lt;(n+1)2,當n≥3時,2n2>(n+1)2,即當n≥3時,an+1>an,故數(shù)列{an}中的最小項是a1,a2,a3中的較小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值為. 5.氣象學院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀,已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用,第n天的維修保養(yǎng)費為(n∈N*)元,使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指使用的這臺儀器的平均耗資最少),一共使用了　(　　) A.600天 B.800天 C.1000天 D.1200天 【解析】選B.由第n天的維修保養(yǎng)費為(n∈N*)元,可以得出觀測儀的整個耗資費用,由平均費用最少而求

7、得最小值成立時的相應n的值. 設一共使用了n天,則使用n天的平均耗資為 =++,當且僅當=時取得最小值,此時n=800,故選B. 【方法技巧】建模解數(shù)列問題 (1)分析題意,將文字語言轉化為數(shù)學語言,找出相關量之間的關系. (2)構建數(shù)學模型,將實際問題抽象成數(shù)學問題,明確是等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題,是求和還是求項,還是其他數(shù)學問題. (3)通過建立的關系求出相關量. 【加固訓練】植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米,開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號,為使各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和最小,樹

8、苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為(　　) A.1和20 B.9和10 C.9和11 D.10和11 【解析】選D.設樹苗放在第i個樹坑旁邊(如圖所示) 則各個樹坑到第i個樹坑的距離的和是 S=10(i-1)+10(i-2)+…+10(i-i)+10[(i+1)-i]+…+10(20-i) =10+=10(i2-21i+210). 所以當i=10或11時,S有最小值. 二、填空題 6.(20xx·鎮(zhèn)江模擬)設曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=lg xn,則a1+a2+…+a99的值為　　　　. 【解析

9、】因為y=xn+1(n∈N*),所以y′=(n+1)xn(n∈N*),所以y′|x=1=n+1, 所以在點(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,當y=0時,x=,所以xn=, 所以an=lgxn=lg=lg n-lg(n+1), 所以a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+…+(lg99-lg100) =lg1-lg100 =-2. 答案:-2 7.某廠生產微機,原計劃第一季度每月增產臺數(shù)相同,在生產過程中,實際二月份比原計劃多生產10臺,三月份比原計劃多生產25臺,這樣三個月產量成等比數(shù)列,

10、而第三個月的產量比原計劃第一季度總產量的一半少10臺,則該廠第一季度實際生產微機　　　　臺. 【解析】原計劃第一季度三個月分別生產a1,a1+d,a1+2d臺微機,現(xiàn)在實際上生產了a1,a1+d+10,a1+2d+25臺.由題意得 解得故第一季度實際生產微機臺數(shù)是3a1+3d+35=305. 答案:305 8.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列: ,,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下運算和結論: ①a24=; ②數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比數(shù)列; ③數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a

11、7+a8+a9+a10,…的前n項和為Tn=; ④若存在正整數(shù)k,使Sk<10,Sk+1≥10,則ak=. 其中正確的結論有　　　　.(將你認為正確的結論的序號都填上) 【解析】依題意,將數(shù)列{an}中的項依次按分母相同的項分成一組,第n組中的數(shù)的規(guī)律是:第n組中的數(shù)共有n個,并且每個數(shù)的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n組中的各數(shù)和等于=, 對于①,注意到21=<24<=28,因此數(shù)列{an}中的第24項應是第7組中的第3個數(shù),即a24=,因此①正確. 對于②③,設bn為②③中的數(shù)列的通項,則bn==,顯然該數(shù)列是等差數(shù)列,而不是等比數(shù)列,其前n項和等于&

12、#215;=,因此②不正確,③正確. 對于④,注意到數(shù)列的前6組的所有項的和等于=10,因此滿足條件的ak應是第6組中的第5個數(shù),即ak=,因此④正確. 綜上所述,其中正確的結論有①③④. 答案:①③④ 三、解答題 9.(20xx·天津高考)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)當q=2,n=3時,用列舉法表示集合A. (2)設s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,

13、n,證明:若an<bn,則s<t. 【解析】(1)當q=2,n=3時,M={0,1},A={x|x=x1+2x2+4x3,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得 s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+（an-1-bn-1）qn-2+（an-bn）qn-1 ≤（q-1）+（q-1）q+…+（q-1）qn-2-qn-1 所以,s<t. 10.(20xx·洛陽模擬

14、)在數(shù)列{an}中,a1=-5,a2=-2,記A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N*),若對于任意n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)求數(shù)列{|an|}的前n項和. 【解析】(1)根據題意A(n),B(n),C(n)成等差數(shù)列, 所以A(n)+C(n)=2B(n), 整理得an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3. 所以數(shù)列{an}是首項為-5,公差為3的等差數(shù)列, 所以an=-5+3(n-1)=3n-8. (2)|an|=記數(shù)列{|an|}的前

15、n項和為Sn. 當n≤2時,Sn==-+n; 當n≥3時,Sn=7+=-n+14, 【加固訓練】已知等差數(shù)列{an}前三項的和為-3,前三項的積為8. (1)求等差數(shù)列{an}的通項公式. (2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項和. 【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為d,根據a1+a2+a3=-3可得a2=-1,進而得a1a3=-8, 即(a2-d)(a2+d)=-8,所以1-d2=-8,解得d=±3. 當d=3時,a1+3=-1,得a1=-4, 此時an=-4+(n-1)×3=3n-7; 當d=-3時,a1-3=-1,得a1=

16、2, 此時an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5. 所以{an}的通項公式為an=3n-7或an=-3n+5. (2)d=3時,a2=-1,a3=2,a1=-4, 此時a2,a3,a1成等比數(shù)列; 當d=-3時,a2=-1,a3=-4,a1=2, 此時a2,a3,a1不是等比數(shù)列,故an=3n-7,這個數(shù)列的第一、二兩項為負值,從第三項開始為正值. 方法一:當n≤2時,|an|=7-3n,這是一個首項為4,公差為-3的等差數(shù)列, 故Sn=4n+×(-3)=-+; 當n>2時,|an|=an=3n-7,此時這個數(shù)列從第三項起是一個公差為3的等差數(shù)列

17、,故 Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+…+an =(4+1)+[2+5+…+(3n-7)] =5+=-+10. 所以Sn=這個式子中n=2時兩段函數(shù)值相等,故可以寫為Sn= 方法二:設數(shù)列{an}的前n項和為Tn, 則Tn==-. 由于n≤2時,|an|=-an, 所以此時Sn=-Tn=-+; 當n>2時, Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+…+an) =-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=-+10. 所以Sn=這個式子中n=2時兩段函數(shù)值相等,故可以寫為 Sn= 11.已知{an}是由正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1且點(,an+1)(n∈N*)在函數(shù)y

18、=x2+1的圖象上. (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn+,求證:bn·bn+2<+1. 【解題提示】(1)由點在函數(shù)圖象上即可得出an+1與an的關系,從而可寫出通項公式.(2)結合(1)找出bn+1與bn的關系式,從而可得bn,然后利用作差法比較大小. 【解析】(1)由已知,得an+1=an+1,得an+1-an=1, 又a1=1, 所以數(shù)列{an}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列. 故an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1),知an=n,從而bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+

19、(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1. 因為bn·bn+2-+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1) =-5·2n+4·2n=-2n<0, 所以bn·bn+2<+1. 【方法技巧】數(shù)列與函數(shù)的綜合一般體現(xiàn)在兩個方面: (1)以數(shù)列的特征量n,an,Sn等為坐標的點在函數(shù)圖象上,可以得到數(shù)列的遞推關系. (2)數(shù)列的項或前n項和可以看作關于n的函數(shù),然后利用函數(shù)的性質求解數(shù)列問題.

20、 【加固訓練】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對一切正整數(shù)n,點Pn(n,Sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,且過點Pn(n,Sn)的切線的斜率為kn. (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)設Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差數(shù)列{cn}的任一項cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小數(shù),110<c10<115,求{cn}的通項公式. 【解析】(1)因為點Pn(n,Sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上, 所以Sn=n2+2n(n∈N*). 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1, 當n=1時,a1=S1=3滿足

21、上式, 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1. (2)因為Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*}, 所以Q∩R=R. 又因為cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小數(shù), 所以c1=6,因為{cn}的公差是4的倍數(shù), 所以c10=4m+6(m∈N*). 又因為110<c10<115, 所以, 解得m=27, 所以c10=114, 設等差數(shù)列{cn}的公差為d, 則d===12, 所以cn=6+(n-1)×12=12n-6, 所以{cn}的通項公式為cn=12n-6. 12.已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=

22、3,其前n項和Sn滿足Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N*);數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn+1=4bn+6(n∈N*). (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式. (2)設cn=bn+2+(-1)n-1λ·(λ為非零整數(shù),n∈N*),試確定λ的值,使得對任意n∈N*,都有cn+1>cn成立. 【解題提示】 【解析】(1)由已知,得Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=1, 所以an+2-an+1=1(n≥1). 又a2-a1=1, 所以數(shù)列{an}是以a1=2為首項,1為公差的等差數(shù)列. 所以an=n+1. 又bn+1+2=4(bn+2),

23、所以{bn+2}是以4為首項,4為公比的等比數(shù)列. 所以bn=4n-2. (2)由(1)知an=n+1,bn=4n-2, 則cn=4n+(-1)n-1λ·2n+1, 要使cn+1>cn成立,需cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ·2n+2-(-1)n-1λ·2n+1>0恒成立, 即3·4n-3λ(-1)n-12n+1>0恒成立, 所以(-1)n-1λ<2n-1恒成立. ①當n為奇數(shù)時,即λ<2n-1恒成立,當且僅當n=1時,2n-1有最小值1,所以λ<1; ②當n為偶數(shù)時,即λ>-2n-1

24、恒成立,當且僅當n=2時,-2n-1有最大值-2,所以λ>-2. 結合①②可知-2<λ<1,又λ為非零整數(shù),則λ=-1. 故存在λ=-1,使得對任意n∈N*,都有cn+1>cn成立. 【誤區(qū)警示】遇到式子中含有(-1)n的問題時要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況進行討論,本題的易錯點就是忘掉對n的奇偶性的討論. 【加固訓練】已知等差數(shù)列{an}的公差為2,其前n項和Sn=pn2+2n(n∈N*). (1)求p的值及an. (2)若bn=,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求使Tn>成立的最小正整數(shù)n的值. 【解題提示】 【解析】(1)方法一:因為{a

25、n}是公差為2的等差數(shù)列, 所以Sn=na1+d=na1+×2=n2+(a1-1)n. 又由已知Sn=pn2+2n, 所以p=1,a1-1=2, 所以a1=3, 所以an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以p=1,an=2n+1. 方法二:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4, 即a1+a2=4p+4, 所以a2=3p+2. 又此等差數(shù)列的公差為2, 所以a2-a1=2, 所以2p=2, 所以p=1, 所以a1=p+2=3, 所以an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以p=1,an=2n+1. 方法三:由已知a1=S1=p+2, 所以當n≥

26、2時,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2, 所以a2=3p+2, 由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1, 所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以p=1,an=2n+1. (2)由(1)知bn==-, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn =+++…+=1-=. 因為Tn>, 所以>, 所以20n>18n+9,即n>, 又n∈N*,所以使Tn>成立的最小正整數(shù)n=5. 13.某工廠年初用98萬元購買一臺新設備,第一年設備維修及燃料、動力消耗(稱為設備的低

27、劣化)的總費用12萬元,以后每年都增加4萬元,新設備每年可給工廠收益50萬元. (1)工廠第幾年開始獲利? (2)若干年后,該工廠有兩種處理該設備的方案:①年平均獲利最大時,以26萬元出售該設備;②總純收入獲利最大時,以8萬元出售該設備.問哪種方案對工廠合算? 【解析】(1)由題設每年費用是以12為首項,4為公差的等差數(shù)列, 設第n年時累計的純收入為f(n). 所以f(n)=50n-[12+16+…+(4n+8)]-98 =40n-2n2-98. 獲利即為:f(n)>0,所以40n-2n2-98>0?n2-20n+49<0?10-<n<10+, 又

28、n∈N,所以n=3,4,5,…,17. 所以當n=3時,即第3年開始獲利. (2)①年平均收入==40-2（n+）≤40-4=12(萬元),當且僅當n=,即n=7時等號成立. 即年平均收益最大時,總收益為:12×7+26=110(萬元),此時n=7. ②f(n)=-2(n-10)2+102, 所以當n=10時,f(n)max=102, 總收益為102+8=110萬元,此時n=10. 比較兩種方案,總收益均為110萬元,但第一種方案需7年,第二種方案需10年,故選擇第一種方案. 【加固訓練】有一種零存整取的儲蓄項目,在每月某日存入一筆相同金額,這是零存;到期可以提出全部

29、本金和利息,這是整取,它的本利和公式如下: 本利和=每期存入的金額×[存期+×存期×(存期+1)×利率]. (1)試解釋這個本利和公式. (2)若每月初存入100元,月利率為5.1%,到第12個月底的本利和是多少? (3)若每月初存入一筆金額,月利率是5.1%,希望到第12個月底取得本利和2000元,那么每月初應存入多少? 【解析】(1)設每期存入的金額為A,每期利率為P,存期為n,則各期的利息之和為nAP+(n-1)AP+…+2AP+AP=, 所以本利和為nA+ =A(元). (2)到第12個月底的本利和為 100 =1597.8(元). (3)設每月初應存入x元, 則有x =2000, 解得x≈125.2. 所以每月初應存入125.2元. 關閉Word文檔返回原板塊