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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學(xué)案 理 北師大版

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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學(xué)案 理 北師大版_第1頁
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1、 第六節(jié) 拋物線 [考綱傳真] (教師用書獨具)1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用. (對應(yīng)學(xué)生用書第141頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點的集合叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點,直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線. 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>

2、0) p的幾何意義:焦點F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點 O(0,0) 對稱軸 y=0 x=0 焦點 F F F F 離心 率 e=1 準(zhǔn)線方程 x=- x= y=- y= 范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 焦半徑(其中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y(tǒng)0+ |PF|=-y0+ [知識拓展] 已知y2=2px,過焦點F的直線l交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,l的傾斜角為θ,如圖8­6­1,則 圖8­

3、;6­1 (1)|AB|=x1+x2+p=; (2)x1x2=,y1y2=-p2; (3)+=; (4)S△AOB=; (5)|CD|=2p,即通徑,通徑是過拋物線焦點弦中最短的弦. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(  ) (2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線,且其焦點坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是x=-.(  ) (3)拋物線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.(  ) (4)AB為拋物線y2=2px(p&g

4、t;0)的過焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長|AB|=x1+x2+p.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是(  ) A.y=-1   B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 A [∵y=x2,∴x2=4y,∴準(zhǔn)線方程為y=-1.] 3.(教材改編)若拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標(biāo)是(  ) A.  B. C. D.0 B [M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點的距離,又準(zhǔn)線方程為y=-,設(shè)M(x,y),則y+=1,∴y=

5、.] 4.頂點在原點,對稱軸是y軸,并且經(jīng)過點P(-4,-2)的拋物線方程是________. x2=-8y [設(shè)拋物線的方程為x2=my,將點P(-4,-2)代入x2=my,得m=-8,所以拋物線方程是x2=-8y.] 5.(20xx·浙江高考)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是________. 9 [設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x,則點M到準(zhǔn)線x=-1的距離為x+1,由拋物線的定義知x+1=10,∴x=9, ∴點M到y(tǒng)軸的距離為9.] (對應(yīng)學(xué)生用書第142頁) 拋物線的定義及應(yīng)用  (1)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)

6、線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點,若=4 ,則|QF|=(  ) A.    B. C.3 D.2 (2)(20xx·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=________. (1)C (2)6 [(1)∵=4 , ∴||=4||, ∴=. 如圖,過Q作QQ′⊥l,垂足為Q′,設(shè)l與x軸的交點為A,則|AF|=4, ∴==, ∴|QQ′|=3. 根據(jù)拋物線定義可知|QF|=|QQ′|=3. (2)如圖,不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A,過點M

7、作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點B,交y軸于點P,∴PM∥OF. 由題意知,F(xiàn)(2,0),|FO|=|AO|=2. ∵點M為FN的中點,PM∥OF, ∴|MP|=|FO|=1. 又|BP|=|AO|=2, ∴|MB|=|MP|+|BP|=3. 由拋物線的定義知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.] [規(guī)律方法] 應(yīng)用拋物線定義的兩個關(guān)鍵點 (1)由拋物線定義,把拋物線上點到焦點距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化. (2)注意靈活運用拋物線上一點P(x,y)到焦點F的距離|PF|=|x|+或|PF|=|y|+. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·廣東汕頭調(diào)研)已知P是

8、拋物線y2=4x上的一個動點,Q是圓(x-3)2+(y-1)2=1上的一個動點,N(1,0)是一個定點,則|PQ|+|PN|的最小值為(  ) A.3 B.4 C.5 D.+1 (2)動圓過點(1,0),且與直線x=-1相切,則動圓的圓心的軌跡方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號:79140289】 (1)A (2)y2=4x [(1)由拋物線方程y2=4x,可得拋物線的焦點F(1,0),又N(1,0),所以N與F重合. 過圓(x-3)2+(y-1)2=1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH,交圓于Q,交拋物線于P,則|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3. (2)設(shè)動

9、圓的圓心坐標(biāo)為(x,y),則圓心到點(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2=4x.] 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)  (1)點M(5,3)到拋物線y=ax2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(  ) A.x2=y(tǒng) B.x2=y(tǒng)或x2=-y C.x2=-y D.x2=12y或x2=-36y (2)(20xx·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 (1)D (2)B [

10、(1)將y=ax2化為x2=y(tǒng). 當(dāng)a>0時,準(zhǔn)線y=-,則3+=6,∴a=. 當(dāng)a<0時,準(zhǔn)線y=-,則=6,∴a=-. ∴拋物線方程為x2=12y或x2=-36y. (2)設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=r2. ∵|AB|=4,|DE|=2, 拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-, ∴不妨設(shè)A,D. ∵點A,D在圓x2+y2=r2上, ∴∴+8=+5,∴p=4(負值舍去). ∴C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.] [規(guī)律方法] 1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法,因為未知數(shù)只有p,所以只需一個條件確定p值即可.

11、 (2)拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時,需先定位,再定量. 2.研究拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程,必須把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程,正確的求出p. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標(biāo)原點,M為拋物線上一點,且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為4,則拋物線的方程為 (  ) A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2= (2)若拋物線y2=2x上一點M到它的焦點F的距離為,O為坐標(biāo)原點,則△MFO的面積為(  ) A. B. C. D. (1)B (2)B [(1)設(shè)

12、M(x,y),因為|OF|=,|MF|=4|OF|, 所以|MF|=2p, 由拋物線定義知x+=2p, 所以x=p,所以y=±p. 又△MFO的面積為4, 所以××p=4,解得p=4(p=-4舍去). 所以拋物線的方程為y2=8x. (2)由題意知, 拋物線準(zhǔn)線方程為x=-. 設(shè)M(a,b),由拋物線的定義可知, 點M到準(zhǔn)線的距離為, 所以a=1, 代入拋物線方程y2=2x, 解得b=±, 所以S△MFO=××=.] 直線與拋物線的位置關(guān)系 ◎角度1 直線與拋物線的交點問題  (20xx&

13、#183;全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點P,M關(guān)于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H. (1)求; (2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由. [解] (1)如圖,由已知得M(0,t),P. 又N為M關(guān)于點P的對稱點, 故N, 故直線ON的方程為y=x, 將其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0, 解得x1=0,x2=.因此H. 所以N為OH的中點,即=2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點.理由如下: 直線MH的方程為y-t=x,即x=(y

14、-t). 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y(tǒng)2=2t, 即直線MH與C只有一個公共點, 所以除H以外,直線MH與C沒有其他公共點. ◎角度2 與拋物線弦長或中點有關(guān)的問題  (20xx·北京高考)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點. (1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2)求證:A為線段BM的中點. [解] (1)由拋物線C:y2=2px過點P(1,1),得p=. 所以拋物線C的方程為y2=x. 拋物線C的焦

15、點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-. (2)證明:由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+(k≠0),l與拋物線C的交點為M(x1,y1),N(x2,y2). 由得4k2x2+(4k-4)x+1=0, 則x1+x2=,x1x2=. 因為點P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點A的坐標(biāo)為(x1,x1). 直線ON的方程為y=x,點B的坐標(biāo)為. 因為y1+-2x1= = = ==0, 所以y1+=2x1, 故A為線段BM的中點. [規(guī)律方法] 解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的三種常用方法 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.

16、(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用弦長公式. (3)涉及拋物線的弦長、弦中點等相關(guān)問題時,一般采用“設(shè)而不求,整體代入”的解法. 提醒:涉及弦的中點、弦所在直線的斜率時一般用“點差法”求解. [跟蹤訓(xùn)練] 已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個交點的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程; (2)不過原點的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點A,B,若線段AB的中點為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積. 【導(dǎo)學(xué)

17、號:79140290】 [解] (1)易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8,-8), ∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴拋物線方程為y2=8x. (2)直線l2與l1垂直,故可設(shè)直線l2:x=y(tǒng)+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直線l2與x軸的交點為M. 由得y2-8y-8m=0, Δ=64+32m>0,∴m>-2. y1+y2=8,y1y2=-8m, ∴x1x2==m2. 由題意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0, ∴m=8或m=0(舍), ∴直線l2:x=y(tǒng)+8,M(8,0). 故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2| =3=24.

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