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1、(人教版)精品數(shù)學教學資料
第2課時 集合的表示
學習目標 1.掌握集合的兩種表示方法:列舉法和描述法(重點).2.能夠運用集合的兩種表示方法表示一些簡單的集合(難點).
預習教材P3-P5,完成下面問題:
知識點 集合的表示方法
(1)列舉法:
①定義:把集合的元素一一列舉出來,并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法;
②形式:A={a1,a2,a3,…,an}.
(2)描述法:
①定義:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法;
②寫法:在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所
2、具有的共同特征.
【預習評價】
(1)集合{x∈N*|x-4<2}的另一種表示形式是( )
A.{0,1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4,5}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
(2)方程x2-1=8的解集用列舉法表示為________.
解析 (1)由x-4<2得x<6,又x∈N*,故x的值為1,2,3,4,5,用列舉法表示為{1,2,3,4,5}.
(2)由x2-1=8得x2=9,即x=3,故其解集用列舉法表示為{-3,3}.
答案 (1)D (2){-3,3}
題型一 用列舉法表示集合
【例1】 用列舉法表示下列集合:
(
3、1)15的正約數(shù)組成的集合;
(2)不大于10的正偶數(shù)集;
(3)方程組的解集.
解 (1)因為15的正約數(shù)為1,3,5,15,
所以所求集合可表示為{1,3,5,15}.
(2)因為不大于10的正偶數(shù)有2,4,6,8,10,
所以所求集合可表示為{2,4,6,8,10}.
(3)解方程組得
所以所求集合可表示為{(-3,0)}.
規(guī)律方法 用列舉法表示集合的三個注意點
(1)用列舉法表示集合時,首先要注意元素是數(shù)、點,還是其他的類型,即先定性.
(2)列舉法適合表示有限集,當集合中元素個數(shù)較少時,用列舉法表示集合比較方便.
(3)搞清集合是有限集還是無限集是選擇恰當?shù)?/p>
4、表示方法的關(guān)鍵.
【訓練1】 用列舉法表示下列集合:
(1)絕對值小于5的偶數(shù);
(2)24與36的公約數(shù);
(3)方程組的解集.
解 (1)絕對值小于5的偶數(shù)集為{-2,-4,0,2,4},是有限集.
(2){1,2,3,4,6,12},是有限集.
(3)由得
∴方程組的解集為{(x,y)|}={(x,y)|}={(1,1)},是有限集.
典例遷移
題型二 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合:
(1)正偶數(shù)集;
(2)被3除余2的正整數(shù)的集合;
(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合.
解 (1)偶數(shù)可用式子x=2n,n∈Z表示,但此題要求
5、為正偶數(shù),故限定n∈N*,所以正偶數(shù)集可表示為{x|x=2n,n∈N*}.
(2)設被3除余2的數(shù)為x,則x=3n+2,n∈Z,但元素為正整數(shù),故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)坐標軸上的點(x,y)的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0,即xy=0,故坐標軸上的點的集合可表示為{(x,y)|xy=0}.
【遷移1】 (變換條件)例2(3)改為“用描述法表示平面直角坐標系中位于第二象限的點的集合.”
解 位于第二象限的點(x,y)的橫坐標為負,縱坐標為正,
即x<0,y>0,故第二象限的點的集合為{(x,y)|x<0,y>0}
6、.
【遷移2】 (變換條件)例2(3)改為“用描述法表示圖中陰影部分點(含邊界)的坐標的集合.”
解 本題是用圖形語言給出的問題,要求把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言.用描述法表示(即用符號語言表示)為{(x,y)|-1≤x≤,-≤y≤1,且xy≥0}.
規(guī)律方法 用描述法表示集合的注意點
(1)“豎線”前面的x∈R可簡記為x;
(2)“豎線”不可省略;
(3)p(x)可以是文字語言,也可以是數(shù)學符號語言,能用數(shù)學符號表示的盡量用數(shù)學符號表示;
(4)同一集合用描述法表示可以不唯一.
題型三 集合表示方法的綜合應用
【例3】 (1)用列舉法表示集合A==________.
(2
7、)集合A={x∈kx2-8x+16=0},若集合A中只有一個元素,試求實數(shù)k的值,并用列舉法表示集合A.
(1)解析 ∵x∈Z且∈N,∴1≤6-x≤8,-2≤x≤5.當x=-2時,1∈N;當x=-1時,?N;當x=0時,?N;當x=1時,?N;當x=2時,2∈N;當x=3時,?N;當x=4時,4∈N;當x=5時,8∈N.綜上可知A={-2,2,4,5}.
答案 {-2,2,4,5}
(2)解 ①當k=0時,原方程為16-8x=0.
∴x=2,此時A={2};
②當k≠0時,
∵集合A中只有一個元素,
∴方程kx2-8x+16=0有兩個相等實根.
∴Δ=64-64k=0,即k=1
8、.
從而x1=x2=4,∴A={4}.
綜上可知,實數(shù)k的值為0或1.
當k=0時,A={2};
當k=1時,A={4}.
規(guī)律方法 1.識別集合的兩個步驟:
一看代表元素:例如{x|p(x)}表示數(shù)集,{(x,y)|y=p(x)}表示點集;
二看條件:即看代表元素滿足什么條件(公共特性).
2.方程ax2+bx+c=0的根的個數(shù)
在涉及ax2+bx+c=0的根的集合中,要討論二次項的系數(shù)a是否為0,當a=0時,方程為bx+c=0是一次方程,再分b是否為0兩種情況討論其根的個數(shù);當a≠0時,方程ax2+bx+c=0為二次方程,結(jié)合判別式的符號判定其根的個數(shù).
【訓練2】 用
9、列舉法表示下列集合.
(1)A={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(2)B={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.
解 (1)因為y=-x2+6≤6,且x∈N,y∈N,
所以x=0,1,2時,y=6,5,2,符合題意,
所以A={2,5,6}.
(2)(x,y)滿足條件y=-x2+6,x∈N,y∈N,
則應有
所以B={(0,6),(1,5),(2,2)}.
課堂達標
1.用列舉法表示集合{x|x2-2x+1=0}為( )
A.{1,1} B.{1} C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}
解析 集合{x|x2-2x+1=0}實質(zhì)是
10、方程x2-2x+1=0的解,此方程有兩相等實根,為1,故可表示為{1}.故選B.
答案 B
2.下列各組集合中,表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={3,2},N={(3,2)}
解析 由于集合中的元素具有無序性,故{3,2}={2,3}.
答案 B
3.設集合A={1,2,3},B={1,3,9},x∈A,且x?B,則x=( )
A.1 B.2 C.3 D.9
解析 比較A和B中的元素可知x=2.
答案 B
4.
11、大于3并且小于10的整數(shù)的集合用描述法表示為________.
解析 設該數(shù)為x,由題意得3