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1、 精品資料
章末分層突破
[自我校對(duì)]
①C(α+β)
②C2α
③S(α+β)
④S2α
⑤T(α-β)
⑥T2α
求值問(wèn)題
三角函數(shù)求值主要有三種類(lèi)型,即
(1)“給角求值”,一般給出的角都是非特殊角,觀察發(fā)現(xiàn)題中的角與特殊角都有著一定的關(guān)系,如和或差為特殊角,必要時(shí)運(yùn)用誘導(dǎo)公式.
(2)“給值求值”,即給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些三角函數(shù)的值,這類(lèi)求值問(wèn)題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角,合理拆、配角,要注意角的范圍.
(3)“給值求角”,本質(zhì)上還是“給值求值”,只不過(guò)往往求出的是
2、特殊角的值,在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角,必要時(shí)還要討論角的范圍.
已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均為銳角,求cos β的值.
【精彩點(diǎn)撥】 由tan α求sin α,由cos(α+β)求sin(α+β),再利用cos β=cos[(α+β)-α]展開(kāi)求解.
【規(guī)范解答】 因?yàn)棣?,β均為銳角,
所以0<α+β<π,又cos(α+β)=-,
所以<α+β<π,
且sin(α+β)=.因?yàn)閠an α=4,
所以sin α=,cos α=.
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
[再練
3、一題]
1.已知sinsin=,α∈,求的值.
【解】 ∵sinsin=,
∴sincos=,
sin=,即cos 2α=.
又α∈,2α∈(π,2π),
∴sin 2α=-
=-=-.
∴=
==-.
化簡(jiǎn)與證明
三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明要遵循“三看”原則
(1)一看“角”,通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式.
(2)二看“函數(shù)名稱(chēng)”,看函數(shù)名稱(chēng)之間的差異,從而確定使用的公式,常見(jiàn)的有“切化弦”.
(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向.
求證:=.
【精彩點(diǎn)撥】 先對(duì)原式進(jìn)行等價(jià)變形,同時(shí)注意應(yīng)用“二倍角”的正弦
4、、余弦、正切公式.
【規(guī)范解答】 證明原不等式成立,即證明
1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ)成立.
∵tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ)
=(2cos22θ+2sin 2θcos 2θ)
=2sin 2θ(cos 2θ+sin 2θ)
=2sin 2θcos 2θ+2sin22θ
=sin 4θ+1-cos 4θ.
∴=.
[再練一題]
2.化簡(jiǎn):.
【解】 原式=
=
=
=
=
=
==2.
三角恒等變換的綜合應(yīng)用
1.進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱(chēng)、變結(jié)構(gòu),尤其是角之間的關(guān)系;注
5、意公式的逆用和變形使用.
2.把形如y=asin x+bcos x化為y=sin(x+φ),可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱(chēng)性.
設(shè)向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值.
【精彩點(diǎn)撥】 分別表示兩向量的模,利用相等求解x的值;利用數(shù)量積運(yùn)算及輔助角公式化為一個(gè)角的一種函數(shù)求解.
【規(guī)范解答】 (1)由|a|2=(sin x)2+sin2 x=4sin2x,
|b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈,從而
6、sin x=,所以x=.
(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x
=sin 2x-cos 2x+=sin+,
當(dāng)x=∈時(shí),sin取最大值1.
所以f(x)的最大值為.
[再練一題]
3.已知函數(shù)f(x)=cos2-sincos-.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(2)若f(α)=,求sin 2α的值.
【解】 (1)f(x)=cos2-sincos-=(1+cos x)-sin x-=cos.
所以f(x)的最小正周期為2π,值域?yàn)?
(2)由(1)知f(α)=cos=,
所以cos=.
所以sin 2α=-cos
=-cos
=1-2
7、cos2=1-=.
轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角變換中的應(yīng)用
在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值中,常常對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行合理的變換,通過(guò)轉(zhuǎn)化溝通已知與未知的關(guān)系,角的轉(zhuǎn)化、函數(shù)名稱(chēng)的轉(zhuǎn)化、常數(shù)代換、冪的升降變換、結(jié)構(gòu)變化等技巧在解題中經(jīng)常用到,應(yīng)熟練掌握.
已知tan α=,tan β=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
【精彩點(diǎn)撥】 先求tan(2α-β)的值,再結(jié)合2α-β的范圍求2α-β的值.
【規(guī)范解答】 ∵tan α=>0,
∴α∈,2α∈(0,π),
∴tan 2α===>0,
∴2α∈,
又∵tan β=-<0,β∈(0,π),
∴β∈,
∴tan(2α-β)=
8、
==1,
又∵2α∈,β∈,
∴2α-β∈(-π,0),∴2α-β=-π.
[再練一題]
4.已知<α<,0<β<,cos=,sin=,求sin(α+β)的值.
【解】 ∵<α<,0<β<,
∴-<-α<0,<+β<π,
∴sin=-
=-=-,cos
=-=-,
∴sin(α+β)=-cos
=-cos=
=-=.
1.(2015重慶高考改編)若tan α=2tan,則=________.
【解析】 ∵cos=cos=sin,
∴原式===.
又∵tan α=2tan,∴原式==3.
【答案】 3
2.(2016全國(guó)卷Ⅱ改編)若cos=,則s
9、in 2α=________.
【解析】 因?yàn)閏os=,
所以sin 2α=cos=cos 2
=2cos2-1=2-1=-.
【答案】 -
3.(2016四川高考)cos2-sin2=________.
【解析】 cos2-sin2=cos =.
【答案】
4.(2016浙江高考)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A=________,b=________.
【解析】 ∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+sin,
∴1+sin=Asin(ωx+φ)+b,∴A=,b=1.
【答案】 1
5.(2015
10、江蘇高考)已知tan α=-2,tan(α+β)=,則tan β的值為_(kāi)_______.
【解析】 tan β=tan[(α+β)-α]===3.
【答案】 3
6.(2016江蘇高考)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.
(1)求AB的長(zhǎng);(2)求cos的值.
【解】 (1)因?yàn)閏os B=,0
11、os A=-+=-.
因?yàn)?
12、α=1,sin β=1.由sin2α+cos2α=1得cos α=0.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1.
【答案】 1
3.sin 163sin 223+sin 253sin 313=________.
【解析】 原式=-sin 17cos 47+cos 17sin 47
=sin(47-17)
=sin 30
=
【答案】
4.化簡(jiǎn):=________.
【解析】 原式==tan 2α.
【答案】 tan 2α
5.若α∈,sin α=,則tan 2α=________.
【解析】 ∵α∈,sin α=,
∴cos α
13、=-,∴tan α=-,
∴tan 2α==-.
【答案】?。?
6.(2016南通高一檢測(cè))化簡(jiǎn):
cos2-sin2=________.
【解析】 原式=-
=
=
=
=cos x.
【答案】 cos x
7.已知sin-cos =-,450<α<540,則tan=________.
【解析】 已知等式兩邊平方得sin α=,450<α<540,
∴cos α=-,∴tan==2.
【答案】 2
8.tan 19+tan 41+tan 19tan 41的值為_(kāi)_______.
【解析】 tan 19+tan 41=tan 60(1-tan 19tan 41)
14、
=-tan 19tan 41
∴原式=-tan 19tan 41+tan 19tan 41=.
【答案】
9.設(shè)a=sin 14+cos 14,b=sin 16+cos 16,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是________.
【解析】 a=sin 59,b=sin 61,c=sin 60,
所以a<c<b.
【答案】 a<c<b
10.為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 3x的圖象向________平移________個(gè)單位.
【解析】 y=sin 3x+cos 3x=cos
=cos 3
故將y=cos 3x的圖象向右平移個(gè)單位得
15、到y(tǒng)=sin 3x+cos 3x的圖象.
【答案】 右
11.函數(shù)y=sin xcos x+cos2x-圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為_(kāi)_______.
【解析】 ∵y=sin 2x+cos 2x=sin
∴由2x+=kπ+得x=+(k∈Z).
【答案】 x=+,k∈Z
12.(2016蘇州高一檢測(cè))已知點(diǎn)Psin π,cos π落在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π),則tan的值為_(kāi)_______.
【解析】 由題意知,點(diǎn)P在第四象限,且落在角θ的終邊上,所以tan θ=-1,所以tan===2-.
【答案】 2-
13.設(shè)α,β∈(0,π),且sin(α+β)=,tan =,則cos
16、 β的值為_(kāi)_______.
【解析】 由tan =,得sin α===,∵α∈(0,π),∴cos α=,
由sin(α+β)=
17、【答案】 0
二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
15.(本小題滿(mǎn)分14分)已知sin α=cos 2α,α∈,求sin 2α.
【解】 ∵sin α=1-2sin2α,即2sin2α+sin α-1=0,
∴sin α=-1或sin α=.
又∵α∈,∴sin α=,α=.
∴cos α=.∴sin 2α=2=.
16.(本小題滿(mǎn)分14分)求-sin 10-tan 5的值.
【解】 原式=-2sin 10
=-2sin 10
=-2cos 10=
==.
17.(本小題滿(mǎn)分14分)已知向量a=(cos α,sin α),b
18、=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α的值.
【解】 (1)a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β),
|a-b|2=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2-2cos(α-β),∴=2-2cos(α-β),
∴cos(α-β)=.
(2)由0<α<,-<β<0且sin β=-,
可知cos β=,且0<α-β<π,
∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)=.
∴sin α=sin(α-β+β)
=sin(α-β)cos β+co
19、s(α-β)sin β
=+
=.
18.(本小題滿(mǎn)分16分)已知cos=-,sin=且α∈,β∈.
求:(1)cos ;(2)tan(α+β).
【解】 (1)∵<α<π,0<β<,
∴<α-<π,-<-β<,
∴sin==,
cos==.
∴cos=cos
=coscos+sinsin2
=+
=.
(2)又α+β∈,∴∈,且cos<0,故tan<0,∴tan=-.
∴tan(α+β)==.
19.(本小題滿(mǎn)分16分)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-.
(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值.
(2)求函數(shù)f(x)的最小正
20、周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
【解】 f(x)=sin xcos x+cos2x-
=sin 2x+-
=sin 2x+cos 2x=sin.
(1)∵0<α<,sin α=,∴α=.
從而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
20.(本小題滿(mǎn)分16分)如圖1,在直徑為1的圓O中,作一關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)、鄰邊互相垂直的十字形,其中y>x>0.
圖1
(1)將十字形的面積表示成θ的函數(shù);
(2)求十字形的最大面積.
【解】 (1)設(shè)S為十字形面積,
則S=2xy-x2=2sin θcos θ-cos2θ.
(2)S=2sin θcos θ-cos2θ=sin 2θ-cos 2θ-
=-
=sin(2θ-φ)-(設(shè)φ為銳角且tan φ=)
當(dāng)sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=時(shí),S最大.
即當(dāng)θ=+時(shí),十字形取得最大面積-.