《【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第4節(jié) 雙曲線課時訓(xùn)練 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第4節(jié) 雙曲線課時訓(xùn)練 理（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第4節(jié) 雙曲線課時訓(xùn)練 理 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 【選題明細表】 知識點、方法 題號 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 1、6、7、10 雙曲線的幾何性質(zhì) 2、3、4、8、9 雙曲線的綜合問題 5、11、12、13、14、15、16、17 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(2014福建晉江模擬)雙曲線2x2-y2=8的實軸長是(　C　) (A)2 (B)22 (C)4 (D)42 解析:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y28=1,所以a=2,則實軸長是4. 2.(2014湖南師大附中質(zhì)檢)設(shè)雙曲線x

2、2a2-y29=1(a>0)的漸近線方程為3x2y=0,則a的值為(　C　) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由題意得3a=32,∴a=2. 3.已知0<θ<π4,則雙曲線C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1與C2:y2cos2θ-x2sin2θ=1的(　D　) (A)實軸長相等 (B)虛軸長相等 (C)離心率相等 (D)焦距相等 解析:雙曲線C1的半焦距c1=sin2θ+cos2θ=1,雙曲線C2的半焦距c2=cos2θ+sin2θ=1,故選D. 4.(2014福建福州模擬)雙曲線x24-y2=1的頂點到漸近線的距離等于(　C　) (A)25 (B)45 (

3、C)255 (D)455 解析:雙曲線的右頂點為(2,0),漸近線方程為x2y=0,則頂點到漸近線的距離為25=255. 5.(2014高考湖北卷)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的兩個不等實根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線與雙曲線x2cos2θ-y2sin2θ=1的公共點的個數(shù)為(　A　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:關(guān)于t的方程t2cos θ+tsin θ=0有兩個不等實根為0,-tan θ(tan θ≠0),則過A,B兩點的直線方程為y=-xtan θ,雙曲線x2cos2θ-y2sin2θ=1的漸近線為y=xtan θ,所以

4、直線y=-xtan θ與雙曲線沒有公共點. 6.(2014鄭州模擬)已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2等于(　C　) (A)14 (B)35 (C)34 (D)45 解析:由雙曲線的定義有c=2, 且|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=22, ∴|PF1|=2|PF2|=42, 則cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2| =(42)2+(22)2-4224222 =34. 7.(2014濟南模擬)已知△ABP的頂點A、B分別為雙曲線x216-y29=

5、1的左、右焦點,頂點P在雙曲線上,則|sinA-sinB|sinP的值等于(　A　) (A)45 (B)74 (C)54 (D)7 解析:在△ABP中,由正弦定理知 |sinA-sinB|sinP=||PB|-|PA|||AB| =2a2c =810=45. 8.(2014甘肅省張掖模擬)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F,直線x=a2c與其漸近線交于A,B兩點,與x軸交于D點,且△ABF為鈍角三角形,則離心率取值范圍是(　D　) (A)(3,+∞) (B)(1,3) (C)(2,+∞) (D)(1,2) 解析:易知A(a2c,abc), 若△AB

6、F為鈍角三角形,則∠AFB為鈍角, 即∠AFD>45, 所以在△ADF中, tan∠AFD=ADDF=abcc-a2c>1, 解得10,b>0)的左、右焦點分別是F1、F2,過F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于M點,若MF2⊥x軸,則雙曲線的離心率為　　　　. 解析:由條件令|MF2|=m,|MF1|=2m, 則|F1F2|=3m, 即2c=3m, 2a=|MF1|-|MF2|=2m-m=m, 所以離心率e=2c2a=3mm=3. 答案:3 10.(2013高考天津

7、卷)已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為　　　　　　　　. 解析:由拋物線y2=8x知其準(zhǔn)線方程為x=-2. 則雙曲線中c=2,ca=2a=2,a=1,b=3. 所以雙曲線方程為x2-y23=1. 答案:x2-y23=1 11.已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱,且與圓x2+y2=10相交于點P(3,-1),若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行,則此雙曲線的方程為　　　　　　　　. 解析:切點為P(3,-1)的圓x2+y2=10的切線方程是 3x-y=10. ∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行

8、,且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱, ∴兩漸近線方程為3xy=0. 設(shè)所求雙曲線方程為9x2-y2=λ(λ≠0). ∵點P(3,-1)在雙曲線上,代入上式可得λ=80, ∴所求的雙曲線方程為x2809-y280=1. 答案:x2809-y280=1 三、解答題 12.(2015山東濰坊第一次質(zhì)檢)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離等于3,過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點,F1為左焦點. (1)求雙曲線的方程; (2)若△F1AB的面積等于62,求直線l的方程. 解:(1)依題意,b=3,ca=2?a=1,c=2, ∴雙曲線的

9、方程為x2-y23=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知F2(2,0). 易驗證當(dāng)直線l斜率不存在時不滿足題意, 故可設(shè)直線l:y=k(x-2), 由y=k(x-2),x2-y23=1, 消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0, k≠3時,x1+x2=4k2k2-3, x1x2=4k2+3k2-3, y1-y2=k(x1-x2), △F1AB的面積S=c|y1-y2|=2|k||x1-x2| =2|k|16k4-4(k2-3)(4k2+3)|k2-3| =12|k|k2+1|k2-3| =62. 得k4+8k2-9=0, 則k=

10、1. 所以直線l方程為y=x-2或y=-x+2. 13.已知等軸雙曲線的中心在原點,焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上,且過點P(4,-10). (1)求雙曲線方程; (2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:MF1→MF2→=0. (1)解:設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0). ∵雙曲線過點(4,-10), ∴16-10=λ,即λ=6, ∴雙曲線方程為x2-y2=6, 即x26-y26=1. (2)證明:法一　由(1)可知,雙曲線中a=b=6, ∴c=23, ∴F1(-23,0),F2(23,0), ∴kMF1=m3+23,kMF2=m3-23, kMF1kMF2=m29

11、-12=-m23. ∵點M(3,m)在雙曲線上, ∴9-m2=6,m2=3. 故kMF1kMF2=-1, ∴MF1⊥MF2, ∴MF1→MF2→=0. 法二　由(1)可知,雙曲線中a=b=6, ∴c=23, ∴F1(-23,0),F2(23,0). ∵MF1→=(-23-3,-m),MF2→=(23-3,-m), ∴MF1→MF2→=(3+23)(3-23)+m2=m2-3. ∵點M在雙曲線上, ∴9-m2=6. ∴m2=3,即m2-3=0, ∴MF1→MF2→=0. 能力提升 14.(2014浙江衢州模擬)過雙曲線x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左焦點F

12、(-c,0)(c>0)作圓x2+y2=a2的切線,切點為E,延長FE交拋物線y2=4cx于點P,O為坐標(biāo)原點,若OE→=12(OF→+OP→),則雙曲線的離心率為(　D　) (A)3+32 (B)1+32 (C)52 (D)1+52 解析:拋物線的焦點坐標(biāo)為F2(c,0), 準(zhǔn)線方程為x=-c. 圓的半徑為a, OE→=12(OF→+OP→), 所以E是FP的中點, 又E是切點, 所以O(shè)E⊥FP, 連接PF2,則PF2⊥FP, 且PF2=2a, 所以O(shè)E=a,FE=b,PF=2b, 過P作準(zhǔn)線的垂線PM, 則PM=PF2=2a, 所以MF=PF2-PM2=(2b)2

13、-(2a)2=2b2-a2, 在直角三角形FPF2中,PFPF2=FF2MF, 即2b2a=2c2b2-a2, 所以c2(b2-a2)=a2b2, 即c2(c2-2a2)=a2(c2-a2), 整理得c4-3a2c2+a4=0, 即e4-3e2+1=0, 解得e2=39-42=352, 根據(jù)題意舍去e2=3-52, 所以e2=3+52, 即e2=3+52=6+254=(5+1)24, 所以e=1+52. 15.已知點P在曲線C1:x216-y29=1上,點Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是

14、　　　　. 解析:依題意知P在曲線C1的左支上時|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值為|PC2|+1,|PR|的最小值為|PC3|-1, 則|PQ|-|PR|的最大值是 |PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10. 答案:10 16.(2014高考湖南卷)如圖,O為坐標(biāo)原點,雙曲線C1:x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0)和橢圓C2:y2a22+x2b22=1(a2>b2>0)均過點P(233,1),且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形. (1)求C1,C2的方程; (2)是否存在直線l,使

15、得l與C1交于A,B兩點,與C2只有一個公共點,且|OA→+OB→|=|AB→|?證明你的結(jié)論. 解:(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2. 從而a1=1,c2=1. 因為點P(233,1)在雙曲線x2-y2b12=1上, 所以(233)2-1b12=1. 故b12=3. 由橢圓的定義知 2a2=(233)2+(1-1)2+(233)2+(1+1)2=23. 于是a2=3,b22=a22-c22=2. 故C1,C2的方程分別為 x2-y23=1,y23+x22=1. (2)不存在符合題設(shè)條件的直線. ①若直線l垂直于x軸,因為l與C2只有一個公共

16、點, 所以直線l的方程為x=2或x=-2. 當(dāng)x=2時,易知A(2,3),B(2,-3), 所以|OA→+OB→|=22,|AB→|=23. 此時,|OA→+OB→|≠|(zhì)AB→|. 當(dāng)x=-2時,同理可知,|OA→+OB→|≠|(zhì)AB→|. ②若直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為y=kx+m. 由y=kx+m,x2-y23=1 得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. 當(dāng)l與C1相交于A,B兩點時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1,x2是上述方程的兩個實根, 從而x1+x2=2km3-k2,x1x2=m2+3k2-3. 于是y1y2=k2x1x2+km(x

17、1+x2)+m2=3k2-3m2k2-3. 由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. 因為直線l與C2只有一個公共點, 所以上述方程的判別式 Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0. 化簡,得m2=2k2+3. 因此OA→OB→=x1x2+y1y2=m2+3k2-3+3k2-3m2k2-3 =-k2-3k2-3≠0, 于是OA→2+OB→2+2OA→OB→≠OA→2+OB→2-2OA→OB→, 即|OA→+OB→|2≠|(zhì)OA→-OB→|2. 故|OA→+OB→|≠|(zhì)AB→|. 綜合①,②可知,不存在符合題設(shè)條件的直線.

18、 探究創(chuàng)新 17.(2015貴州省六校聯(lián)盟聯(lián)考)我們把焦點相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”.已知F1、F2是一對相關(guān)曲線的焦點,P是它們在第一象限的交點,當(dāng)∠F1PF2=60時,這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是　　　　. 解析:設(shè)橢圓的半長軸為a1,橢圓的離心率為e1, 則e1=ca1, a1=ce1. 設(shè)雙曲線的實半軸為a,雙曲線的離心率為e, e=ca,a=ce. |PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0), 則由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60=x2+y2-xy, 當(dāng)點P看作是橢圓上的點時, 有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,① 當(dāng)點P看作是雙曲線上的點時, 有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,② ①②聯(lián)立消去xy得4c2=a12+3a2, 即4c2=ce12+3ce2, 所以1e12+31e2=4, 又因為1e1=e, 所以e2+3e2=4, 整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3, 所以e=3, 即雙曲線的離心率為3. 答案:3