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1、
課時規(guī)范練71 數(shù)學(xué)歸納法
課時規(guī)范練第113頁
一、選擇題
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式是( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
答案:C
解析:左邊表示從1開始,連續(xù)2n+1個正整數(shù)的和,故n=1時,表示1+2+3的和.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+…+(n≥2,n∈N*)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊( )
A.增加了一項
B.增加了兩項
C.增加了兩項但減少了一項
D.以上各種情況均不對
答案:C
解析
2、:當(dāng)n=k+1時,不等式為+…+,∴比當(dāng)n=k時增加了項.但最左端少了一項.
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1++…+成立時,起始值n至少應(yīng)取為( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案:B
解析:∵1++…+=2-,而1++…+,故起始值n至少取8.
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)”,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為( )
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
答案:B
解析:當(dāng)n=k時,等式為(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2k-1),
當(dāng)n=k+1時,等式為(k+2)(k+3)…(k+k)(
3、k+1+k)(k+1+k+1)=2k+113…(2k+1),
∴左端增乘=2(2k+1).
5.在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通過求a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式為( )
A. B.[來源:]
C. D.
答案:C
解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2=,a3=,a4=.猜想an=.
6.設(shè)函數(shù)f(n)=(2n+9)3n+1+9,當(dāng)n∈N*時,f(n)能被m(m∈N*)整除,猜想m的最大值為( )
A.9 B.18 C.27 D.36
答案:D
解析:f(n+1)-f(n)=(2n+11)3n+2-(2n+9)3n+1=4(n+6
4、)3n+1,當(dāng)n=1時,f(2)-f(1)=479為最小值,據(jù)此可猜想D正確.
7.對于不等式
5、(a≠1,且n∈N*)”,在驗證n=1時,左邊計算所得的結(jié)果是 .
答案:1+a+a2
解析:首先觀察等式兩邊的構(gòu)成情況,它的左邊是按a的升冪順序排列的,共有n+2項.因此當(dāng)n=1時,共有3項,應(yīng)該是1+a+a2.
9.在△ABC中,不等式成立;在四邊形ABCD中,不等式成立;在五邊形ABCDE中,不等式成立……
猜想在n邊形A1A2…An中,有不等式 成立.[來源:]
答案:+…+
10.用數(shù)學(xué)歸納法證明(k>1),則當(dāng)n=k+1時,左端應(yīng)乘上 ,這個乘上去的代數(shù)式共有因式的個數(shù)是 .
答案: 2k-1
解析:當(dāng)n=k時,.
當(dāng)
6、n=k+1時,.
∴左邊應(yīng)乘上,設(shè)第一項a1=2k+1,an=2k+1-1,d=2,
∴n==2k-1.
三、解答題
11.若n為大于1的自然數(shù),求證:+…+.[來源:]
解:(1)當(dāng)n=2時,.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時不等式成立,
即+…+,
那么當(dāng)n=k+1時,
+…+
=+…+
=
>
=.
這就是說,當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.
由(1)(2)可知,原不等式對任意大于1的自然數(shù)都成立.
12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)猜想數(shù)列{Sn}的通
7、項公式,并給出嚴(yán)格的證明.
解:(1)當(dāng)n=1時,x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.
當(dāng)n=2時,x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2-,
于是-a2-a2=0,解得a2=.
(2)由題設(shè)知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
即-2Sn+1-anSn=0.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1,
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*)
由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=.
由(*)式可得S3=.
由此猜想Sn=,n=1,2,3,….
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論.
①n=1時已知結(jié)論成立.
②假設(shè)n=k(k∈N*)時結(jié)論成立,即Sk=,
當(dāng)n=k+1時,由(*)得Sk+1=,即Sk+1=,
故n=k+1時結(jié)論也成立.
綜上,由①②可知Sn=對所有正整數(shù)n都成立.[來源:]
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