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1、精編北師大版數(shù)學資料 第三章　3.3　第1課時 雙曲線及其標準方程 一、選擇題 1．雙曲線－＝1的焦距為(　　) A．3　 B．4 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，則2c＝4，故選D． 2．已知平面內(nèi)有一定線段AB，其長度為4，動點P滿足|PA|－|PB|＝3，O為AB的中點，則|PO|的最小值為(　　) A．1 B． C．2 D．4 [答案]　B [解析]　如圖，以AB為x軸，AB中點O為坐標原點建系．∵|PA|－|PB|＝3∴P點軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支．由圖知|PO|最短為. 3．在方程mx2－my2＝n中

2、，若mn<0，則方程的曲線是(　　) A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在x軸上的雙曲線 C．焦點在y軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的雙曲線 [答案]　D [解析]　方程mx2－my2＝n可化為：－＝1， ∵mn<0，∴－>0， ∴方程的曲線是焦點在y軸上的雙曲線． 4．已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　本題考查雙曲線定義．由|PF1|＝2|PF2|及|PF1|－|PF2|＝2知|PF2|＝2 ∴|PF1|＝4，而|F1F2|＝4，∴

3、由余弦定理知cos∠F1PF2＝＝. 5．過雙曲線－＝1的焦點且與x軸垂直的直線被雙線截取的線段的長度為(　　) A． B．4 C． D．8 [答案]　C [解析]　∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝， 該直線方程為x＝， 由得y2＝， ∴|y|＝，弦長為. 6．設P為雙曲線x2－＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|－|PF2|＝32，則△PF1F2的面積為(　　) A．6 B．12 C．12 D．24 [答案]　B [解析]　由雙曲線定義知||PF1||PF2||＝2 又∵|PF1||PF2|＝32，∴|PF1|＝6，|PF2|

4、＝4，由雙曲線方程知a2＝1，b2＝12，∴c2＝13，∴|F1F2|＝2c＝2，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得PF1⊥PF2， ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝64＝12. 二、填空題 7．雙曲線－x2＝1的兩個焦點坐標是________________． [答案]　(0，) [解析]　a2＝2，b2＝1，c2＝3，∴c＝，又焦點在y軸上． 8．若方程－＝1表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是________________． [答案]　k>3或k<－3 [解析]　當，即k>3時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線； 當，即k<－3時，方程表示焦點在y軸上的雙

5、曲線． 所以若方程表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是k>3或k<－3. [總結(jié)反思]　錯解中得到k>3的結(jié)果是不完整的，這是由于對雙曲線標準方程理解不深刻，誤認為該方程僅表示焦點在x軸上的雙曲線，遺漏了焦點在y軸上的情況，事實上，若方程－＝1表示雙曲線，則應有pq>0. 三、解答題 9．求與雙曲線－＝1共焦點，且過點(3，2)的雙曲線方程． [解析]　由于所求的雙曲線與已知雙曲線共焦點，從而可設所求的雙曲線方程為－＝1. 由于點(3，2)在所求的雙曲線上， 從而有－＝1. 整理，得k2＋10k－56＝0，∴k＝4或k＝－14. 又16－k>0,4＋k>0，∴－4

6、從而得k＝4.故所求雙曲線的方程為－＝1. 10．若F1、F2是雙曲線－＝1的兩個焦點，P在雙曲線上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大小． [解析]　由雙曲線的對稱性，可設點P在第一象限， 由雙曲線的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5. 由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6. 上式兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1||PF2|＝36＋64＝100， 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝ ＝＝0. ∴∠F1PF2＝90. [總結(jié)反思]　在焦點三角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識點．另外，還經(jīng)常結(jié)合＝2a

7、，運用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯(lián)系，請同學們多加注意． 一、選擇題 1．對于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　本題考查了充分必要條件及橢圓的標準方程的形式，由mn>0，若m＝n，則方程 mx2＋ny2＝1表示圓，故mn>0?/方程mx2＋ny2＝1表示橢圓，若mx2＋ny2＝1表示橢圓?mn>0，故原題為必要不充分條件，充分理解橢圓的標準方程是解決問題的關鍵． 2．已知點F1(－4,0)和F2(4,0)，曲

8、線C上的動點P到F1、F2距離之差為6，則曲線C的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1(y>0) C．－＝1或－＝1 D．－＝1(x>0) [答案]　D [解析]　由雙曲線的定義知，點P的軌跡是以F1、F2為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，其方程為：－＝1(x>0)． 3．已知雙曲線－＝1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上，且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　求出M點的坐標，寫出直線MF2的方程，用點到直線的距離公式求解． 如圖，由－＝1知，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．設M(－3，y0)，則y0＝，

9、取M(－3，)， ∴直線MF2的方程為x＋6y－＝0，即x＋2y－3＝0. ∴點F1到直線MF2的距離為d＝＝. 4．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F1(－，0)，點P位于該雙曲線上，線段PF1的中點坐標為(0,2) 則雙曲線的方程是(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 [答案]　B [解析]　∵PF1的中點坐標為(0,2)， ∴P點坐標為(，4)， ∴2a＝|PF1|－|PF2| ＝－ ＝6－4＝2， ∴a＝1　又∵c＝　∴b2＝()2－12＝4， ∴方程為x2－＝1. 二、填空題 5．已知雙曲線x2－y2＝1，點F1、F2為其兩個

10、焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________________． [答案]　2 [解析]　本題考查了雙曲線的概念． 設|PF1|＝m，|PF2|＝n，根據(jù)雙曲線的定義及已知條件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8，∴2mn＝4， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12， ∴|PF1|＋|PF2|＝2. 充分利用PF1⊥PF2, 將||PF1|－|PF2||＝2a，轉(zhuǎn)化到|PF1|＋|PF2|是解決本題的關鍵． 6．若雙曲線x2－y2＝1右支上一點P(a，b)到直線y＝x的距離是，則a＋b＝_

11、_______________. [答案]　 [解析]　由條件知，， ∴或， ∵a>0且a>|b|，∴a＋b＝. 三、解答題 7.已知C為圓(x＋)2＋y2＝4的圓心，點A(，0)，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP所在直線上，且＝0，＝2.當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程． [分析]　畫出圖形，由條件可得QM是AP的中垂線，先利用等腰三角形邊長相等進行轉(zhuǎn)化，然后利用雙曲線的定義即可求出點Q的軌跡方程． [解析]　圓(x＋)2＋y2＝4的圓心為C(－，0)，半徑r＝2. ∵＝0，＝2，∴MQ⊥AP，點M是AP的中點，即QM是AP的中垂線，連接AQ，則|AQ|＝|QP|.

12、 ∴|||－|||＝|||－|||＝||＝r＝2， 又||＝2>2，根據(jù)雙曲線的定義，點Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點，實軸長為2的雙曲線， 由c＝，a＝1，得b2＝1，因此點Q的軌跡方程為x2－y2＝1. [總結(jié)反思]　(1)本題是一個常考的利用圓錐曲線定義求解圓錐曲線方程的例子，用定義法求軌跡的方法小巧而精致，是近幾年來高考的重點和熱點． (2)在本題的解答過程中，我們要有解題的預見性，從C(－，0)，A(，0)兩個點的對稱性，我們應該優(yōu)先考慮到圓錐曲線的定義，所以思維的入手點，應該去嘗試動點到兩個定點的距離之和或者是距離之差的絕對值，從而達到利用定義順利解題的目的．

13、 8．已知橢圓＋＝1(a1>b1>0)與雙曲線－＝1(a2>0，b2>0)有公共焦點F1、F2，設P是它們的一個交點． (1)試用b1，b2表示△F1PF2的面積； (2)當b1＋b2＝m(m>0)是常數(shù)時，求△F1PF2的面積的最大值． [解析]　(1)如圖所示，令∠F1PF2＝θ. 因|F1F2|＝2c，則a－b＝a＋b＝c2. 即a－a＝b＋b. 由橢圓、雙曲線定義，得 |PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2(令|PF1|>|PF2|)， 所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2， cosθ＝ ＝ ＝＝.所以sinθ＝. 所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinθ ＝(a－a)＝b1b2. (2)當b1＋b2＝m(m>0)為常數(shù)時 S△F1PF2＝b1b2≤()2＝， 所以△F1PF2面積的最大值為.