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精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第二章 4 二項(xiàng)分布 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 4二項(xiàng)分布 某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了3次投籃,假設(shè)每次投中的概率都為,且各次投中與否是相互獨(dú)立的,用X表示這3次投籃投中的次數(shù),思考下列問題. 問題1:如果將一次投籃看成做了一次試驗(yàn),那么一共進(jìn)行了多少次試驗(yàn)?每次試驗(yàn)有幾個(gè)可能的結(jié)果? 提示:3次,每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相對(duì)立的結(jié)果投中(成功),未投中(失敗). 問題2:X=0表示何意義?求其概率. 提示:X=0表示3次都沒投中,只有C=1種情況,P(X=0)=C3. 問題3:X=2呢? 提示:X=2表示3次中有2次投中,有C=3種情況,每種情況發(fā)生的可能性為2. 從而P(X=2)=C2.

2、 二項(xiàng)分布 進(jìn)行n次試驗(yàn),如果滿足以下條件: (1)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對(duì)立的結(jié)果,可以分別稱為“成功”和“失敗”; (2)每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p,“失敗”的概率均為1-p; (3)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的. 用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù),則 P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). 若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述,稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,簡(jiǎn)記為X~B(n,p). 1.P(X=k)=Cpk(1-p)n-k.這里n為試驗(yàn)次數(shù),p為每次試驗(yàn)中成功的概率,k為n次試驗(yàn)中成功的次數(shù). 2.判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,關(guān)鍵有三:其一是對(duì)

3、立性,即一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生與否,二者必居其一;其二是重復(fù)性,即試驗(yàn)重復(fù)地進(jìn)行了n次;其三是各次試驗(yàn)相互獨(dú)立. 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算 [例1] 在人壽保險(xiǎn)事業(yè)中,很重視某一年齡段的投保人的死亡率.假如每個(gè)投保人能活到70歲的概率為0.6,試問3個(gè)投保人中: (1)全部活到70歲的概率; (2)有2個(gè)活到70歲的概率; (3)有1個(gè)活到70歲的概率. [思路點(diǎn)撥] 每人能否活到70歲是相互獨(dú)立的,利用二項(xiàng)分布公式可求. [精解詳析] 設(shè)3個(gè)投保人中活到70歲的人數(shù)為X,則X~B(3,0.6),故P(X=k)=C0.6k(1-0.6)3-k(k=

4、0,1,2,3). (1)P(X=3)=C0.63(1-0.6)0=0.216; 即全部活到70歲的概率為0.216. (2)P(X=2)=C0.62(1-0.6)=0.432. 即有2個(gè)活到70歲的概率為0.432. (3)P(X=1)=C0.6(1-0.6)2=0.288. 即有1個(gè)活到70歲的概率為0.288. [一點(diǎn)通] 要判斷n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)X是否服從二項(xiàng)分布,關(guān)鍵是看試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)為: (1)每次試驗(yàn)是在相同的條件下進(jìn)行的; (2)每次試驗(yàn)的結(jié)果不會(huì)受其他試驗(yàn)的影響,即每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的; (3)基本事件的概率可知,且每次試驗(yàn)

5、保持不變; (4)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,要么發(fā)生,要么不發(fā)生. 1.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次,出現(xiàn)“3個(gè)正面,1個(gè)反面”的概率是(  ) A.          B. C. D. 解析:由題意,出現(xiàn)正面的次數(shù)X~B, ∴出現(xiàn)3個(gè)正面1個(gè)反面的概率為P(X=3)=C3=. 答案:D 2.甲每次投資獲利的概率是p=0.8,對(duì)他進(jìn)行的6次相互獨(dú)立的投資,計(jì)算: (1)有5次獲利的概率; (2)6次都獲利的概率. 解:用X表示甲在6次投資中獲利的次數(shù),則X服從二項(xiàng)分布B(6,0.8),且 (1)P(X=5)=C0.85(1-0.8)≈0.39, 他5次獲利的概

6、率約等于0.39. (2)P(X=6)=C0.86≈0.26. 他6次都獲利的概率約等于0.26. 3.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為,乙每次擊中目標(biāo)的概率為,求: (1)甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率; (2)乙至少擊中目標(biāo)2次的概率; (3)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率. 解:(1)甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率為C3=. (2)乙至少擊中目標(biāo)2次的概率為 C2+C3=. (3)設(shè)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次為事件A,乙恰好擊中目標(biāo)2次且甲恰好擊中目標(biāo)0次為事件B1,乙恰好擊中目標(biāo)3次且甲恰好擊中目標(biāo)1次為事件B2,則A=B1+B2,B1,B2為互斥事件. P(A

7、)=P(B1)+P(B2) =C2C3+C3C3 =+=. 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的分布列 [例2] (12分)從學(xué)校乘車到火車站的途中有三個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是,設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù).求 (1)隨機(jī)變量X的分布列; (2)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率. [思路點(diǎn)撥] 求隨機(jī)變量的分布列,首先應(yīng)根據(jù)題目中的條件確定離散型隨機(jī)變量的取值,然后再求隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率. [精解詳析] (1)由題意X~B, 則P(X=0)=C03=, (3分) P(X=1)=C12=, (4分)

8、P(X=2)=C21=, (5分) P(X=3)=C30=. (6分) ∴X的分布列為 X=k 0 1 2 3 P(X=k) (8分) (2)由題意知,“至少遇到一次紅燈”的對(duì)立事件是“一次紅燈都沒有遇到”.因此有 P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=. (12分) [一點(diǎn)通] 解決這類問題一般步驟: (1)判斷所述問題是否是相互獨(dú)立試驗(yàn);(2)建立二項(xiàng)分布模型;(3)求出相應(yīng)概率;(4)寫出分布列. 4.設(shè)某批電子手表正品率為,次品率為,現(xiàn)對(duì)該批電子手表進(jìn)行測(cè)試,設(shè)第X次首次測(cè)

9、到正品,則P(X=3)等于(  ) A.C2 B.C2 C.2 D.2 解析:P(X=3)是前兩次未抽到正品,第三次抽到正品的概率,則P(X=3)=2. 答案:C 5.某廠生產(chǎn)電子元件,其產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件,寫出其中次品數(shù)X的分布列. 解:由題意,得到的次品數(shù)X~B(2,0.05), P(X=0)=C0.952=0.902 5; P(X=1)=C0.050.95=0.095; P(X=2)=C0.052=0.002 5. 因此,次品數(shù)X的分布列如下: X=k 0 1 2 P(X=k) 0.902 5 0.095 0.0

10、02 5 6.射擊運(yùn)動(dòng)員在雙向飛碟比賽中,每輪比賽連續(xù)發(fā)射兩槍,擊中兩個(gè)飛靶得2分,擊中一個(gè)飛靶得1分,不擊中飛靶得0分.某射擊運(yùn)動(dòng)員在每輪比賽連續(xù)發(fā)射兩槍時(shí),第一槍命中率為,第二槍命中率為,該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行2輪比賽. (1)求該運(yùn)動(dòng)員得4分的概率為多少? (2)若該運(yùn)動(dòng)員所得分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列. 解:(1)記“運(yùn)動(dòng)員得4分”為事件A, 則P(A)==. (2)X的可能取值為0,1,2,3,4. P(X=0)=P(X=4)=, P(X=1)=P(X=3) =C3+C3=, P(X=2)=4+4+422=. ∴X的分布列為 X=k 0 1 2 3 4 P(

11、X=k) 1.各次試驗(yàn)互不影響,相互獨(dú)立;每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果,且這兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的;兩個(gè)結(jié)果在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率不變,是判斷隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的三個(gè)條件. 2.二項(xiàng)式[(1-p)+p]n的展開式中,第k+1項(xiàng)Tk+1=C(1-p)n-kpk,可見P(X=k)=Cpk(1-p)n-k就是二項(xiàng)式[(1-p)+p]n的展開式中的第k+1項(xiàng). 1.若X~B,則P(X=2)=(  ) A.         B. C. D. 解析:∵X~B, ∴P(X=2)=C24=. 答案:D 2.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率相同

12、,若事件A至少發(fā)生1次的概率為,則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,由題意得1-Cp0(1-p)4=.所以1-p=,p=. 答案:A 3.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊,此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:至少有2次擊中目標(biāo)包含以下情況: 只有2次擊中目標(biāo),此時(shí)概率為 C0.62(1-0.6)=, 3次都擊中目標(biāo),此時(shí)的概率為C0.63=, ∴至少有2次擊中目標(biāo)的概率為+=. 答案:A 4.甲、乙兩名籃球隊(duì)員輪流投籃直至某人投中為

13、止,設(shè)甲每次投籃命中的概率為0.4,乙投中的概率為0.6,而且不受其他次投籃結(jié)果的影響,設(shè)投籃的輪數(shù)為X,若甲先投,則P(X=k)等于(  ) A.0.6k-10.4 B.0.24k-10.76 C.0.4k-10.6 D.0.76k-10.24 解析:甲每次投籃命中的概率為0.4,不中的概率為0.6,乙每次投籃命中的概率為0.6,不中的概率為0.4, 則在一輪中兩人均未中的概率為0.60.4=0.24,至少有一人中的概率為0.76. 所以P(X=k)的概率是前k-1輪兩人均未中,第k輪時(shí)至少有一人中,則P(X=k)=0.24k-10.76. 答案:B 5.設(shè)X~B(2,

14、p),若P(X≥1)=,則p=________. 解析:∵X~B(2,p), ∴P(X=k)=Cpk(1-p)2-k,k=0,1,2. ∴P(X≥1)=1-P(X<1) =1-P(X=0) =1-Cp0(1-p)2 =1-(1-p)2. 由P(X≥1)=,得1-(1-p)2=, 結(jié)合0

15、每次射擊擊中目標(biāo)的概率為,且各次射擊的結(jié)果互不影響.該射手射擊了5次,求: (1)其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)的概率; (2)其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率. 解:(1)該射手射擊了5次,其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo),是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)3次,也即在第二、四次沒有擊中目標(biāo),所以只有一種情況,又各次射擊的結(jié)果互不影響,故所求其概率為 P1==; (2)該射手射擊了5次,其中恰有3次擊中目標(biāo),擊中次數(shù)X~B(5,),故所求其概率為 P(X=3)=C32=. 8.(四川高考)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求p的值; (2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的概率分布列. 解:(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,那么1-P()=1-p=,解得p=. (2)由題意,P(X=0)=C3=, P(X=1)=C2=, P(X=2)=C2=, P(X=3)=C3=. 所以,隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 0 1 2 3 P

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