《高中數學北師大版選修2－3同步導學案：第1章 章末分層突破》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學北師大版選修2－3同步導學案：第1章 章末分層突破（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2019版數學精品資料（北師大版） 章末分層突破 [自我校對] ①分類加法計數原理 ②分步乘法計數原理 ③排列 ④排列數公式 ⑤組合數公式 ⑥組合數 ⑦二項展開式的通項 ⑧對稱性 ⑨增減性 　　 兩個計數原理的應用 分類加法計數原理和分步乘法計數原理是本部分內容的基礎，對應用題的考查，經常要對問題進行分類或者分步，進而分析求解． (1)“分類”表現為其中任何一類均可獨立完成所給事情．“分步”表現為必須把各步驟均完成，才能完成所給事情，所以準確理解兩個原理的關鍵在于弄清分類加法計數原理強調完成一件事情的幾類辦法互不干擾，不論哪一類辦法中的哪一種方法都

2、能夠獨立完成事件． (2)分步乘法計數原理強調各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法. 　王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數學書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀． (1)若他從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？ (2)若帶外語、數學、物理參考書各一本，有多少種不同的帶法？ (3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？ 【精彩點撥】　解決兩個原理的應用問題，首先應明確所需完成的事情是什么，再分析每一種做法使這件事是否完成，

3、從而區(qū)分加法原理和乘法原理． 【規(guī)范解答】　(1)完成的事情是帶一本書，無論帶外語書，還是數學書、物理書，事情都已完成，從而確定為應用分類加法計數原理，結果為5＋4＋3＝12(種)． (2)完成的事情是帶3本不同學科的參考書，只有從外語、數學、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應用分步乘法計數原理，結果為543＝60(種)． (3)選1本外語書和選1本數學書應用分步乘法計數原理，有54＝20種選法；同樣，選外語書、物理書各1本，有53＝15種選法；選數學書、物理書各1本，有43＝12種選法．即有三類情況，應用分類加法計數原理，結果為20＋15＋12＝47(種)． 應用兩個計數

4、原理解決應用問題時主要考慮三方面的問題：(1)要做什么事；(2)如何去做這件事；(3)怎樣才算把這件事完成了.并注意計數原則：分類用加法，分步用乘法. [再練一題] 1.如圖11為電路圖，從A到B共有________條不同的線路可通電． 圖11 【解析】　先分三類．第一類，經過支路①有3種方法；第二類，經過支路②有1種方法；第三類，經過支路③有22＝4(種)方法，所以總的線路條數N＝3＋1＋4＝8. 【答案】　8 排列、組合的應用 排列、組合應用題是高考的重點內容，常與實際問題結合命題，要認真審題，明確問題本質，利用排列、組合的知識解決． 　(1)某高校從某系的10

5、名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟開發(fā)建設，其中甲不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？ (2)在高三一班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目． ①當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？ ②當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？ ③若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個欄目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？ 【精彩點撥】　按照“特殊元素先排法”分步進行，先特殊后一般． 【規(guī)范解答】　(1)因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況： ①

6、若甲乙都不參加，則有派遣方案A種； ②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有A種方法，所以共有3A種方法； ③若乙參加而甲不參加同理也有3A種； ④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余學生到另兩個城市有A種，共有7A種方法． 所以共有不同的派遣方法總數為A＋3A＋3A＋7A＝4 088種． (2)①第一步，先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有A＝5 040種方法；第二步，再松綁，給4個節(jié)目排序，有A＝24種方法． 根據分步乘法計數原理，一共有5 04024＝120 960種． ②第一步，將6個演唱節(jié)目排成一列(如下

7、圖中的“□”)，一共有A＝720種方法． □□□□□□ 第二步，再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“”的位置)，這樣相當于7個“”選4個來排，一共有A＝7654＝840種． 根據分步乘法計數原理，一共有720840＝604 800種． ③若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有A種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有＝A＝132種排法． 解排列、組合應用題的解題策略 1．特殊元素優(yōu)先安排的策略． 2．合理分類和準確分步的策略． 3．排列、組合混合問題先選后排的策略． 4．正難則反、等價轉化的策略． 5．相鄰問題捆綁處理的策略．

8、 6．不相鄰問題插空處理的策略． 7．定序問題除序處理的策略． 8．分排問題直排處理的策略． 9．“小集團”排列問題中先整體后局部的策略． 10．構造模型的策略． 簡單記成： 合理分類，準確分步； 特殊優(yōu)先，一般在后； 先取后排，間接排除； 集團捆綁，間隔插空； 抽象問題，構造模型； 均分除序，定序除序． [再練一題] 2．(1)一次考試中，要求考生從試卷上的9個題目中選6個進行答題，要求至少包含前5個題目中的3個，則考生答題的不同選法的種數是(　　) A．40 B．74 C．84 D．200 (2)(2016山西質檢)A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓

9、桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有(　　) A．60種 B．48種 C．30種 D．24種 【解析】　(1)分三類： 第一類，前5個題目的3個，后4個題目的3個； 第二類，前5個題目的4個，后4個題目的2個； 第三類，前5個題目的5個，后4個題目的1個．由分類加法計數原理得CC＋CC＋CC＝74. (2)由題意知，不同的座次有AA＝48種，故選B. 【答案】　(1)B　(2)B 二項式定理問題的處理方法和技巧 對于二項式定理的考查常出現兩類問題，一類是直接運用通項公式來求特定項．

10、另一類，需要運用轉化思想化歸為二項式定理來處理問題． 　(1)(2014湖北高考)若二項式7的展開式中的系數是84，則實數a＝(　　) A．2 B. C．1 D. (2)(2016沈陽高二檢測)已知(1＋x＋x2)n(n∈N＋)的展開式中沒有常數項，且2≤n≤8，則n＝________. (3)設(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a6＋a4＋a2＋a0的值為________． 【精彩點撥】　(1)、(2)利用二項式定理的通項求待定項； (3)通過賦值法求系數和． 【規(guī)范解答】　(1)二項式7的展開式的通項公式為Tr＋1＝C

11、(2x)7－rr＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展開式中的系數是C22a5＝84，解得a＝1. (2)n展開式的通項是Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r，r＝0,1,2，…，n， 由于(1＋x＋x2)n的展開式中沒有常數項，所以Cxn－4r，xCxn－4r＝ Cxn－4r＋1和x2Cxn－4r＝Cxn－4r＋2都不是常數，則n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因為2≤n≤8，所以n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5. (3)令x＝1， 得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64. 令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－

12、a1＋a0＝(－4)6＝4 096. 兩式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4 160， 所以a6＋a4＋a2＋a0＝2 080. 【答案】　(1)C　(2)5　(3)2 080 1．解決與二項展開式的項有關的問題時，通常利用通項公式． 2．解決二項展開式項的系數(或和)問題常用賦值法． [再練一題] 3．(1)(2014浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 (2)設a∈Z，且0≤a<13，若512 01

13、6＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】　(1)因為f(m，n)＝CC， 所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. (2)512 016＋a＝(134－1)2 016＋a，被13整除余1＋a，結合選項可得a＝12時，512 016＋a能被13整除． 【答案】　(1)C　(2)D 排列、組合中的分組與分配問題 n個不同元素按照條件分配給k個不同的對象稱為分配問題，分定向分配與不定向分配兩種問題；將n個不同元素按照某種條件分成k組，稱為分組問題，分組問題有不平均分組、平均分組、部分平

14、均分組三種情況．分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數相同是不區(qū)分的，而后者即使2組元素個數相同，但因所屬對象不同，仍然是可區(qū)分的．對于后者必須先分組再排列． 　按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 【精彩點撥】　這是

15、一個分配問題，解題的關鍵是搞清事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數的重復或遺漏． 【規(guī)范解答】　(1)無序不均勻分組問題．先選1本有C種選法，再從余下的5本中選2本有C種選法，最后余下3本全選有C種選法．故共有CCC＝60(種)． (2)有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)問基礎上，還應考慮再分配，共有CCCA＝360(種)． (3)無序均勻分組問題．先分三步，則應是CCC種方法，但是這里出現了重復．不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，則CCC種分法中還有(A

16、B，EF，CD)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況僅是AB，CD，EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種)． (4)有序均勻分組問題．在第(3)問基礎上再分配給3個人，共有分配方式A＝CCC＝90(種)． (5)無序部分均勻分組問題．共有＝15(種)． (6)有序部分均勻分組問題．在第(5)問基礎上再分配給3個人，共有分配方式A＝90(種)． (7)直接分配問題．甲選1本有C種方法，乙從余下5本中選1本有C種方法，余下4本留給丙有C種方法．共有CCC＝30(種)．

17、 均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型.解決此類問題的關鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數的階乘數，還要充分考慮到是否與順序有關，有序分組要在無序分組的基礎上乘以分組數的階乘數. [再練一題] 4．將6本不同的書，分配給甲、乙、丙三人，問如下分配的分配方法各有多少種？ (1)甲一本，乙兩本，丙三本？ (2)其中有一人一本，有一人兩本，有一人三本？ (3)甲、乙、丙每人兩本？ (4)分成三堆，每堆兩本？ 【解】　(1)甲一本，有C種取法；乙從剩余的5本中任取2本，有C種取法；丙有C種取法，故有CCC＝60種取法

18、． (2)有一人一本，有一人兩本，有一人三本，沒指定哪個人幾本，故在(1)的情況下，甲、乙、丙手中的書可以任意交換，故有CCCA＝360種分配法． (3)同(1)一樣，甲、乙、丙依次去取書，共有CCC＝90種分配方法． (4)分成三堆，每堆兩本，注意與(3)中的情況不同，假如在(3)中甲選AB，乙選CD，丙選EF，這是一種分法，將AB，CD，EF任意交換得到甲、乙、丙不同的分法．如甲CD，乙AB，丙EF或甲EF，乙AB，丙CD，…，而分成三堆都屬于同一種分法．故應有＝15種分配方法． 1．(2015湖北高考)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式

19、系數和為(　　) A．29　　　 B．210　　　 C．211　　　 D．212 【解析】　由C＝C，得n＝10，故奇數項的二項式系數和為29. 【答案】　A 2．(2016全國卷Ⅱ)如圖12，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為(　　) 圖12 A．24 B．18 C．12 D．9 【解析】　從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條．如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先

20、從E到A，再從A到F，或先從E到B，再從B到F.因為從A到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數都是3，所以從E到F的最短路徑有3＋3＝6(條)．所以小明到老年公寓的最短路徑條數為63＝18. 【答案】　B 3．(2016全國卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數列”共有(　　) A．18個 B．16個 C．14個 D．12個 【解析】　由題意知：當m＝4時，“規(guī)范01數列”共含有8項，其中4項為0,4項

21、為1，且必有a1＝0，a8＝1.不考慮限制條件“對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數”，則中間6個數的情況共有C＝20(種)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數少于1的個數的情況有：①若a2＝a3＝1，則有C＝4(種)；②若a2＝1，a3＝0，則a4＝1，a5＝1，只有1種；③若a2＝0，則a3＝a4＝a5＝1，只有1種．綜上，不同的“規(guī)范01數列”共有20－6＝14(種)． 故共有14個．故選C. 【答案】　C 4．(2016四川高考)用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為(　　) A．24 B．48 C．60 D．72 【解析】　第一步，先排個位，有C種選擇； 第二步，排前4位，有A種選擇． 由分步乘法計數原理，知有CA＝72(個)． 【答案】　D 5．(2016全國卷Ⅰ)(2x＋)5的展開式中，x3的系數是________．(用數字填寫答案) 【解析】　(2x＋)5展開式的通項為Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rC. 令5－＝3，得r＝4. 故x3的系數為25－4C＝2C＝10. 【答案】　10