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精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修22學(xué)案:第4章 章末分層突破 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料章末分層突破章末分層突破自我校對(duì)面積、路程做功牛頓萊布尼茨面積體積定積分的計(jì)算1.利用定義求定積分.步驟:(1)分割區(qū)間;(2)求過剩估計(jì)值、不足估計(jì)值;(3)取極限.2.利用定積分的幾何意義求定積分.3.利用微積分基本定理求定積分.若 F(x)f(x),錯(cuò)誤錯(cuò)誤!F(b)F(a).求下列定積分.(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!4x2dx;(2)|ln3xx|dx.【精彩點(diǎn)撥】(1)可用定積分的幾何意義求解;(2)先去絕對(duì)值號(hào),然后結(jié)合定積分的性質(zhì)求解.【規(guī)范解答】(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!4x2dx 表示的是圖中陰影所示半徑為 2 的半圓的面積.其面積為12222,所以錯(cuò)誤錯(cuò)誤!4x2dx2.(2

2、)|ln3xx|ln3xx,1ex1,ln3xx,1xe,錯(cuò)誤錯(cuò)誤!|ln3xx|dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!ln3xxdx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!ln3xxdx.ln4x4ln3xx,錯(cuò)誤錯(cuò)誤!|ln3xx|dxln4x4|11eln4x4|e1ln414ln41e4ln4e4ln41412.再練一題1.計(jì)算下列定積分.(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1x(x1)dx;(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(cos x2x)dx.【解】(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1x(x1)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1x1x1 dxln xln(x1)|21ln43.(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(cos x2x)dxsin x2xln 2|2221ln 2(2222).定積分在幾何中的應(yīng)用1.由積分的概念可

3、知,定積分在研究求解曲邊平面圖形的面積中有廣泛的應(yīng)用.求解時(shí)應(yīng)將相應(yīng)問題畫出草圖,適當(dāng)分割后轉(zhuǎn)化為定積分求解.2.利用定積分也可以求出一些簡(jiǎn)單的幾何體體積.如圓錐體、圓柱體、圓臺(tái)、球體等.計(jì)算由曲線 yf(x),直線 xa,xb 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 V錯(cuò)誤錯(cuò)誤!求由曲線 yx24 與直線 y5x,x0,x4 所圍成的平面圖形的面積.【精彩點(diǎn)撥】畫出草圖求交點(diǎn)坐標(biāo)確定被積函數(shù)及積分上、下限求定積分【規(guī)范解答】畫出草圖,如圖所示.所求平面圖形為圖中陰影部分.解方程組yx24,y5x,得交點(diǎn) A(1,5),B(4,20).故所求平面圖形的面積S錯(cuò)誤錯(cuò)誤

4、!(x245x)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(5xx24)dx13x34x52x2|1052x213x34x|4113452524213434452134193.再練一題2.求曲線 ysin x,x0,與 x 軸所圍成平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到旋轉(zhuǎn)體的體積.【導(dǎo)學(xué)號(hào):94210078】【解】由體積公式 V錯(cuò)誤錯(cuò)誤!y2dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(sin x)2dx數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想貫穿本章的始終, 主要體現(xiàn)在利用定積分的幾何意義求定積分及用定積分求曲邊圖形的面積.在做題前首先要畫出圖形,確定圖形是在 x 軸的上方還是下方,并且通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)定出積分上、下限.如圖 41 所示,在區(qū)間0,1

5、上給定曲線 yx2,試在此區(qū)間內(nèi)確定 t的值,使圖中陰影部分的面積 S1與 S2之和最小.圖 41【精彩點(diǎn)撥】確定被積函數(shù),積分上、下限,求定積分,并用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】S1的面積等于邊長(zhǎng)分別為 t 與 t2的矩形面積去掉曲線 yx2與 x 軸,直線 xt 圍成的面積.即 S1tt2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x2dx23t3;S2的面積等于曲線 yx2與 x 軸,xt,x1 圍成的面積去掉一矩形面積,矩形邊長(zhǎng)分別為 t2,1t,即 S2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x2dxt2(1t)23t3t213.所以陰影部分面積SS1S243t3t213(0t1).令 S(t)4t22t4tt12 0,得 t0 或 t12,易知當(dāng)

6、t12時(shí),S 最小,所以最小值為 S12 14.再練一題3.(2016濰坊高二檢測(cè))如圖 42,直線 ykx 分拋物線 yxx2與 x 軸所圍圖形為面積相等的兩部分,求 k 的值.圖 42【解】拋物線 yxx2與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x10,x21,所以拋物線與 x 軸所圍成圖形的面積為S錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(xx2)dxx22x33|10121316.拋物線 yxx2與直線 ykx 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x10,x21k,所以S2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(xx2kx)dx1k2x2x33|1k016(1k)3,又知 S16,所以(1k)312,于是 k13121342.1.(2014陜西高考)定積分錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(

7、2xex)dx 的值為()A.e2B.e1C.eD.e1【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(2xex)dx(x2ex)|10e.故選 C.【答案】C2.(2014江西高考)若 f(x)x22錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dx,則錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dx()A.1B.13C.13D.1【解析】f(x)x22錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dx,錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dx13x32x10f(x)dx|10132錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dx,錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dx13.【答案】B3.(2014湖北高考)若函數(shù) f(x),g(x)滿足錯(cuò)誤錯(cuò)誤!則稱 f(x),g(x)為區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù): f(x)sin12x, g(x)cos12

8、x; f(x)x1, g(x)x1;f(x)x,g(x)x2.其中為區(qū)間1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A.0B.1C.2D.3【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)g(x)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!sin12xcos12xdx12錯(cuò)誤錯(cuò)誤!sin xdx12cos x|110,故第組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù);錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)g(x)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x1)(x1)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x21)dxx33x|11430,故第組不是區(qū)間1,1上的正交函數(shù);錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)g(x)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!xx2dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x3dxx44|110,故第組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù).綜上,滿足條件的共有兩組.【答案】C4.(2015湖南高考

9、)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x1)dx_.【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x1)dx12x2x|20122220.【答案】0章末綜合測(cè)評(píng)章末綜合測(cè)評(píng)( (四四) )定積分定積分(時(shí)間 120 分鐘,滿分 150 分)一、選擇題(本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.錯(cuò)誤錯(cuò)誤!xdx 表示平面區(qū)域的面積,則該平面區(qū)域用陰影表示為()ABCD【解析】由定積分的幾何意義易知選項(xiàng) B 正確.【答案】B2.錯(cuò)誤錯(cuò)誤!sin xdx()A.1B.2C.2D.0【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!sin xdxcos x|200.【答案】D3.錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(3x22x3)dx()A.

10、12B.2C.12D.2【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(3x22x3)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(3x2)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(2x3)dx3錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x2dx2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x3dx3732154715212.【答案】C4.若錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(23x)dx2(a0),則 a 的值為()A.2B.23C.2 或23D.2 或23【解析】a0,錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(23x)dx2x32x2|a02a32a2,由題知 2a32a22,解得 a2.【答案】A5.曲線 y26ax,x2a(a0)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為()A.2a2B.4a2C.12a3D.14a3【解析】V錯(cuò)誤錯(cuò)誤!y2dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!6axdx3ax2|2a012a3.【答

11、案】C6.設(shè) f(x)x2,x0,1,1x,x1,e,則錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dx 等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào):94210079】A.43B.54C.65D.76【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x2dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1xdx13x3|10ln x|e143.【答案】A7.由 yex,x2,ye 圍成的曲邊梯形的面積是()A.e22eB.e2eC.e2D.e【解析】所求面積為 S錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(exe)dx(exex)|21e22e.【答案】A8.(2016石家莊高二檢測(cè))若錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2x1x dx3ln 2,且 a1,則 a 的值為()A.6B.4C.3D.2【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2x1x dx(x2ln x)

12、|a1a2ln a1,故有 a2ln a13ln 2,解得 a2.【答案】D9.若 S1錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x2dx,S2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1xdx,S3錯(cuò)誤錯(cuò)誤!exdx,則 S1,S2,S3的大小關(guān)系為()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2S1【解析】S1錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x2dx13x3|2113231373,S2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1xdxln x|21ln 2,S3錯(cuò)誤錯(cuò)誤!exdxex|21e2ee(e1),ln 2ln e1,且732.5e(e1),所以ln 273e(e1),即 S2S10,所以 f(1)lg 10.又 x0 時(shí),f(x)x錯(cuò)誤錯(cuò)誤!3t2dtxt3|a0 xa3,所以

13、f(0)a3.因?yàn)?ff(1)1,所以 a31,解得 a1.【答案】D11.定積分錯(cuò)誤錯(cuò)誤!( 1(x1)2x)dx 等于()A.24B.21C.14D.12【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!( 1(x1)2x)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1(x1)2dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!xdx.錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1(x1)2dx 表示圓(x1)2y21 的上半圓與 x1,x0,y0圍成的圖形面積.畫出圖形(略)可知S1錯(cuò)誤錯(cuò)誤!1(x1)2dx4,S2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!xdx12,SS1S224.【答案】A12.一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度 v(t)73t251t(t 的單位:s,v 的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛

14、的距離(單位:m)是()A.125ln 5B.825ln113C.425ln 5D.450ln 2【解析】由 v(t)73t251t0,可得 t4t83舍去,因此汽車從剎車 到 停止一共行駛了 4 s,此期間行駛的距離為錯(cuò)誤錯(cuò)誤!v(t)dt錯(cuò)誤錯(cuò)誤!dt7t32t225ln(t1)|40425ln 5.【答案】C二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分.將答案填在題中的橫線上)13.若錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(2xk)dx2,則 k_.【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(2xk)dx(x2kx)|101k2,k1.【答案】114.曲線 y24ax,xa(a0)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積是_.【導(dǎo)學(xué)

15、號(hào):94210080】【解析】由旋轉(zhuǎn)體體積公式可得:V錯(cuò)誤錯(cuò)誤!y2dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!4axdx4a12x2|a02a3.【答案】2a315.設(shè)函數(shù) f(x)ax2c(a0),若錯(cuò)誤錯(cuò)誤!f(x)dxf(x0),0 x01,則 x0的值為_.【解析】錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(ax2c)dxax20c,a3ax20.a0,x2013,又 0 x01,x033.【答案】3316.曲線 yx2和曲線 y2x 圍成的圖形的面積是_.【解析】作出兩曲線 yx2與 yx12圍成的圖形(如圖陰影所示),則圖形的面積 S錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x12x2dx23x3213x3|10231313.【答案】13三、解答題(本大題共 6 小題,共

16、 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分 10 分)由直線 ykx(k0),直線 y0,x1 所圍成的圖形的面積為 S1,由曲線 y33x2,直線 x0,x1,y0 所圍成的圖形的面積為S2,當(dāng) S1S2時(shí),求 k 的值及直線的方程.【解】依題意得 S1錯(cuò)誤錯(cuò)誤!kxdx12kx2|10k2,S2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(33x2)dx(3xx3)|102.S1S2,k22,解得 k4,則直線的方程為 y4x.18.(本小題滿分 12 分)如圖 1 所示,求由曲線 y14x2,x0,3,x0 及 y214所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的體積.圖 1【解】根據(jù)題意

17、和圖形,所求體積 V錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(2 y)2dy4錯(cuò)誤錯(cuò)誤!ydy412y2|94028116818.19.(本小題滿分 12 分)計(jì)算曲線 yx22x3 與直線 yx3 所圍成圖形的面積.【解】由yx3,yx22x3,解得 x10,x23.因此所求圖形的面積為S錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x3)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x22x3)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x3)(x22x3)dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x23x)dx13x332x2|3092.20.(本小題滿分 12 分)求由曲線 y x, 直線 yx2 以及 x 軸所圍成的平面圖形的面積.【解】作出直線 yx2,曲線 y x的草圖,所求平面圖形的面積為圖中陰影部分的面積.可求得直線 y

18、x2 與曲線 y x的交點(diǎn)為(4,2).直線 yx2 與 x 軸的交點(diǎn)為(2,0).陰影部分的面積(記為 S),由兩部分組成:一部分是直線 x2 左邊的圖形的面積(記為 S1);另一部分是直線 x2 右邊的圖形的面積(記為 S2).則 SS1S2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!xdx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!23x32|2023x32|4212x22x|42103.21.(本小題滿分 12 分)設(shè) F(x)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(t22t8)dt.(1)求 F(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求 F(x)在1,3上的最值.【解】依題意,F(xiàn)(x)錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(t22t8)dt13t3t28t|x013x3x28x,定義域是(0,).(1)F(x)x22x8

19、,令 F(x)0,得 x2 或 x4,令 F(x)0,得4x2,由于定義域是(0,),函數(shù)的增區(qū)間是(2,),減區(qū)間是(0,2).(2)令 F(x)0,得 x2(x4 舍去),由于 F(1)203,F(xiàn)(2)283,F(xiàn)(3)6,F(xiàn)(x)在1,3上的最大值是 F(3)6,最小值是 F(2)283.22.(本小題滿分 12 分)求由曲線 yx2, 直線 y2x3 所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【解】曲線 yx2與直線 y2x3 的交點(diǎn)為 A(1,1),B(3,9),則它們所圍成的平面圖形如圖中陰影部分所示.所以所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V 等于直線 y2x3,x1,x3 與 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(記為 V1)減去曲線 yx2,直線 x1,x3 與 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(記為V2).又 V1錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(2x3)2dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(4x212x9)dx43x36x29x|313643.V2錯(cuò)誤錯(cuò)誤!(x2)2dx錯(cuò)誤錯(cuò)誤!x4dx5x5|312445.所以所求旋轉(zhuǎn)體的體積 VV1V21 08815.

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