新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修23學(xué)案:第1章 章末分層突破 Word版含解析
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1、(新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料 章末分層突破 [自我校對(duì)] ①分類加法計(jì)數(shù)原理 ②分步乘法計(jì)數(shù)原理 ③排列 ④排列數(shù)公式 ⑤組合數(shù)公式 ⑥組合數(shù) ⑦二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) ⑧對(duì)稱性 ⑨增減性 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是本部分內(nèi)容的基礎(chǔ),對(duì)應(yīng)用題的考查,經(jīng)常要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類或者分步,進(jìn)而分析求解. (1)“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給事情.“分步”表現(xiàn)為必須把各步驟均完成,才能完成所給事情,所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于弄清分類加法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾,不論哪一類辦法中的哪一種方法都能夠
2、獨(dú)立完成事件. (2)分步乘法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成事件,步與步之間互不影響,即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法. 王華同學(xué)有課外參考書若干本,其中有5本不同的外語(yǔ)書,4本不同的數(shù)學(xué)書,3本不同的物理書,他欲帶參考書到圖書館閱讀. (1)若他從這些參考書中帶一本去圖書館,有多少種不同的帶法? (2)若帶外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理參考書各一本,有多少種不同的帶法? (3)若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館,有多少種不同的帶法? 【精彩點(diǎn)撥】 解決兩個(gè)原理的應(yīng)用問(wèn)題,首先應(yīng)明確所需完成的事情是什么,再分析每一種做法使這件事是否完成,從而
3、區(qū)分加法原理和乘法原理. 【規(guī)范解答】 (1)完成的事情是帶一本書,無(wú)論帶外語(yǔ)書,還是數(shù)學(xué)書、物理書,事情都已完成,從而確定為應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,結(jié)果為5+4+3=12(種). (2)完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書,只有從外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理書中各選1本后,才能完成這件事,因此應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,結(jié)果為543=60(種). (3)選1本外語(yǔ)書和選1本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,有54=20種選法;同樣,選外語(yǔ)書、物理書各1本,有53=15種選法;選數(shù)學(xué)書、物理書各1本,有43=12種選法.即有三類情況,應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,結(jié)果為20+15+12=47(種). 應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
4、解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)主要考慮三方面的問(wèn)題:(1)要做什么事;(2)如何去做這件事;(3)怎樣才算把這件事完成了.并注意計(jì)數(shù)原則:分類用加法,分步用乘法. [再練一題] 1.如圖11為電路圖,從A到B共有________條不同的線路可通電. 圖11 【解析】 先分三類.第一類,經(jīng)過(guò)支路①有3種方法;第二類,經(jīng)過(guò)支路②有1種方法;第三類,經(jīng)過(guò)支路③有22=4(種)方法,所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8. 【答案】 8 排列、組合的應(yīng)用 排列、組合應(yīng)用題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,常與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合命題,要認(rèn)真審題,明確問(wèn)題本質(zhì),利用排列、組合的知識(shí)解決. (1)某高校從某系的10名優(yōu)
5、秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè),其中甲不到銀川,乙不到西寧,共有多少種不同派遣方案? (2)在高三一班元旦晚會(huì)上,有6個(gè)演唱節(jié)目,4個(gè)舞蹈節(jié)目. ①當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí),有多少種不同的節(jié)目安排順序? ②當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí),有多少種不同的節(jié)目安排順序? ③若已定好節(jié)目單,后來(lái)情況有變,需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)欄目,但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序,有多少種不同的節(jié)目演出順序? 【精彩點(diǎn)撥】 按照“特殊元素先排法”分步進(jìn)行,先特殊后一般. 【規(guī)范解答】 (1)因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件,所以按照是否含有甲乙來(lái)分類,有以下四種情況: ①若甲
6、乙都不參加,則有派遣方案A種; ②若甲參加而乙不參加,先安排甲有3種方法,然后安排其余學(xué)生有A種方法,所以共有3A種方法; ③若乙參加而甲不參加同理也有3A種; ④若甲乙都參加,則先安排甲乙,有7種方法,然后再安排其余學(xué)生到另兩個(gè)城市有A種,共有7A種方法. 所以共有不同的派遣方法總數(shù)為A+3A+3A+7A=4 088種. (2)①第一步,先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來(lái),看成1個(gè)節(jié)目,與6個(gè)演唱節(jié)目一起排,有A=5 040種方法;第二步,再松綁,給4個(gè)節(jié)目排序,有A=24種方法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有5 04024=120 960種. ②第一步,將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中
7、的“□”),一共有A=720種方法. □□□□□□ 第二步,再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即圖中“”的位置),這樣相當(dāng)于7個(gè)“”選4個(gè)來(lái)排,一共有A=7654=840種. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有720840=604 800種. ③若所有節(jié)目沒(méi)有順序要求,全部排列,則有A種排法,但原來(lái)的節(jié)目已定好順序,需要消除,所以節(jié)目演出的方式有=A=132種排法. 解排列、組合應(yīng)用題的解題策略 1.特殊元素優(yōu)先安排的策略. 2.合理分類和準(zhǔn)確分步的策略. 3.排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略. 4.正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略. 5.相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略. 6
8、.不相鄰問(wèn)題插空處理的策略. 7.定序問(wèn)題除序處理的策略. 8.分排問(wèn)題直排處理的策略. 9.“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略. 10.構(gòu)造模型的策略. 簡(jiǎn)單記成: 合理分類,準(zhǔn)確分步; 特殊優(yōu)先,一般在后; 先取后排,間接排除; 集團(tuán)捆綁,間隔插空; 抽象問(wèn)題,構(gòu)造模型; 均分除序,定序除序. [再練一題] 2.(1)一次考試中,要求考生從試卷上的9個(gè)題目中選6個(gè)進(jìn)行答題,要求至少包含前5個(gè)題目中的3個(gè),則考生答題的不同選法的種數(shù)是( ) A.40 B.74 C.84 D.200 (2)(2016山西質(zhì)檢)A,B,C,D,E,F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周
9、圍開會(huì),A是會(huì)議的中心發(fā)言人,必須坐最北面的椅子,B,C二人必須坐相鄰的兩把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,則不同的座次有( ) A.60種 B.48種 C.30種 D.24種 【解析】 (1)分三類: 第一類,前5個(gè)題目的3個(gè),后4個(gè)題目的3個(gè); 第二類,前5個(gè)題目的4個(gè),后4個(gè)題目的2個(gè); 第三類,前5個(gè)題目的5個(gè),后4個(gè)題目的1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得CC+CC+CC=74. (2)由題意知,不同的座次有AA=48種,故選B. 【答案】 (1)B (2)B 二項(xiàng)式定理問(wèn)題的處理方法和技巧 對(duì)于二項(xiàng)式定理的考查常出現(xiàn)兩類問(wèn)題,一類是直接運(yùn)用通項(xiàng)公式來(lái)求特定項(xiàng).另一
10、類,需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項(xiàng)式定理來(lái)處理問(wèn)題. (1)(2014湖北高考)若二項(xiàng)式7的展開式中的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a=( ) A.2 B. C.1 D. (2)(2016沈陽(yáng)高二檢測(cè))已知(1+x+x2)n(n∈N+)的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),且2≤n≤8,則n=________. (3)設(shè)(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a6+a4+a2+a0的值為________. 【精彩點(diǎn)撥】 (1)、(2)利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)求待定項(xiàng); (3)通過(guò)賦值法求系數(shù)和. 【規(guī)范解答】 (1)二項(xiàng)式7的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C(2
11、x)7-rr=C27-rarx7-2r,令7-2r=-3,得r=5.故展開式中的系數(shù)是C22a5=84,解得a=1. (2)n展開式的通項(xiàng)是Tr+1=Cxn-rr=Cxn-4r,r=0,1,2,…,n, 由于(1+x+x2)n的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),所以Cxn-4r,xCxn-4r= Cxn-4r+1和x2Cxn-4r=Cxn-4r+2都不是常數(shù),則n-4r≠0,n-4r+1≠0,n-4r+2≠0,又因?yàn)?≤n≤8,所以n≠2,3,4,6,7,8,故取n=5. (3)令x=1, 得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26=64. 令x=-1,得a6-a5+a4-a3+a2-a1
12、+a0=(-4)6=4 096. 兩式相加,得2(a6+a4+a2+a0)=4 160, 所以a6+a4+a2+a0=2 080. 【答案】 (1)C (2)5 (3)2 080 1.解決與二項(xiàng)展開式的項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),通常利用通項(xiàng)公式. 2.解決二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)(或和)問(wèn)題常用賦值法. [再練一題] 3.(1)(2014浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 (2)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512 016+
13、a能被13整除,則a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 【解析】 (1)因?yàn)閒(m,n)=CC, 所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =CC+CC+CC+CC=120. (2)512 016+a=(134-1)2 016+a,被13整除余1+a,結(jié)合選項(xiàng)可得a=12時(shí),512 016+a能被13整除. 【答案】 (1)C (2)D 排列、組合中的分組與分配問(wèn)題 n個(gè)不同元素按照條件分配給k個(gè)不同的對(duì)象稱為分配問(wèn)題,分定向分配與不定向分配兩種問(wèn)題;將n個(gè)不同元素按照某種條件分成k組,稱為分組問(wèn)題,分組問(wèn)題有不平均分組、平均分組、部分平均分
14、組三種情況.分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的,前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的,而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同,但因所屬對(duì)象不同,仍然是可區(qū)分的.對(duì)于后者必須先分組再排列. 按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【精彩點(diǎn)撥】 這是一個(gè)
15、分配問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是搞清事件是否與順序有關(guān),對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序,避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏. 【規(guī)范解答】 (1)無(wú)序不均勻分組問(wèn)題.先選1本有C種選法,再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C種選法,最后余下3本全選有C種選法.故共有CCC=60(種). (2)有序不均勻分組問(wèn)題.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)問(wèn)基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有CCCA=360(種). (3)無(wú)序均勻分組問(wèn)題.先分三步,則應(yīng)是CCC種方法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記6本書為A、B、C、D、E、F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,EF),則CCC種分法中還有(AB,
16、EF,CD),(AB,CD,EF),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共A種情況,而這A種情況僅是AB,CD,EF的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有=15(種). (4)有序均勻分組問(wèn)題.在第(3)問(wèn)基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人,共有分配方式A=CCC=90(種). (5)無(wú)序部分均勻分組問(wèn)題.共有=15(種). (6)有序部分均勻分組問(wèn)題.在第(5)問(wèn)基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人,共有分配方式A=90(種). (7)直接分配問(wèn)題.甲選1本有C種方法,乙從余下5本中選1本有C種方法,余下4本留給丙有C種方法.共有CCC=30(種).
17、 均勻分組與不均勻分組、無(wú)序分組與有序分組是組合問(wèn)題的常見(jiàn)題型.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組,無(wú)序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù),還要充分考慮到是否與順序有關(guān),有序分組要在無(wú)序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù). [再練一題] 4.將6本不同的書,分配給甲、乙、丙三人,問(wèn)如下分配的分配方法各有多少種? (1)甲一本,乙兩本,丙三本? (2)其中有一人一本,有一人兩本,有一人三本? (3)甲、乙、丙每人兩本? (4)分成三堆,每堆兩本? 【解】 (1)甲一本,有C種取法;乙從剩余的5本中任取2本,有C種取法;丙有C種取法,故有CCC=60種取法.
18、 (2)有一人一本,有一人兩本,有一人三本,沒(méi)指定哪個(gè)人幾本,故在(1)的情況下,甲、乙、丙手中的書可以任意交換,故有CCCA=360種分配法. (3)同(1)一樣,甲、乙、丙依次去取書,共有CCC=90種分配方法. (4)分成三堆,每堆兩本,注意與(3)中的情況不同,假如在(3)中甲選AB,乙選CD,丙選EF,這是一種分法,將AB,CD,EF任意交換得到甲、乙、丙不同的分法.如甲CD,乙AB,丙EF或甲EF,乙AB,丙CD,…,而分成三堆都屬于同一種分法.故應(yīng)有=15種分配方法. 1.(2015湖北高考)已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
19、和為( ) A.29 B.210 C.211 D.212 【解析】 由C=C,得n=10,故奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為29. 【答案】 A 2.(2016全國(guó)卷Ⅱ)如圖12,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( ) 圖12 A.24 B.18 C.12 D.9 【解析】 從E到G需要分兩步完成:先從E到F,再?gòu)腇到G.從F到G的最短路徑,只要考慮縱向路徑即可,一旦縱向路徑確定,橫向路徑即可確定,故從F到G的最短路徑共有3條.如圖,從E到F的最短路徑有兩類:先從E
20、到A,再?gòu)腁到F,或先從E到B,再?gòu)腂到F.因?yàn)閺腁到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同,所以從A到F,從B到F最短路徑的條數(shù)都是3,所以從E到F的最短路徑有3+3=6(條).所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為63=18. 【答案】 B 3.(2016全國(guó)卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( ) A.18個(gè) B.16個(gè) C.14個(gè) D.12個(gè) 【解析】 由題意知:當(dāng)m=4時(shí),“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項(xiàng),其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1
21、,且必有a1=0,a8=1.不考慮限制條件“對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)”,則中間6個(gè)數(shù)的情況共有C=20(種),其中存在k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)少于1的個(gè)數(shù)的情況有:①若a2=a3=1,則有C=4(種);②若a2=1,a3=0,則a4=1,a5=1,只有1種;③若a2=0,則a3=a4=a5=1,只有1種.綜上,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20-6=14(種). 故共有14個(gè).故選C. 【答案】 C 4.(2016四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A.24 B.48 C.60 D.72 【解析】 第一步,先排個(gè)位,有C種選擇; 第二步,排前4位,有A種選擇. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知有CA=72(個(gè)). 【答案】 D 5.(2016全國(guó)卷Ⅰ)(2x+)5的展開式中,x3的系數(shù)是________.(用數(shù)字填寫答案) 【解析】 (2x+)5展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C(2x)5-r()r=25-rC. 令5-=3,得r=4. 故x3的系數(shù)為25-4C=2C=10. 【答案】 10
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