《新版高中數(shù)學北師大版必修五達標練習:第2章 167;3 解三角形的實際應用舉例 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新版高中數(shù)學北師大版必修五達標練習:第2章 167;3 解三角形的實際應用舉例 Word版含解析(7頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、新版數(shù)學北師大版精品資料
[A 基礎達標]
1.如圖,設A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計算出A、B兩點間的距離為( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
解析:選A.由正弦定理得=.又∠CBA=180°-45°-105°=30°,故AB===50 (m).
2.如圖,測量河對岸的塔的高度AB時,可以選與塔底B在同一水平面內的兩個觀測點C與D,測得∠BCD=15°,
2、∠BDC=30°,CD=30米,并在C測得塔頂A的仰角為60°,則塔AB的高度為( )
A.15米 B.15米
C.15(+1)米 D.15米
解析:選D.在△BCD中,由正弦定理得BC==15(米).在Rt△ABC中,AB=BCtan 60°=15(米).故選D.
3.某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°方向且距離為10海里的C處,此時得知,該漁船沿北偏東105°方向,以每小時9海里的速度向一小島靠近,艦艇時速為21海里,則艦艇與漁船相遇的最短時間為( )
A.20分鐘 B.40分鐘
C.60分鐘 D.80分鐘
解
3、析:選B.如圖,設它們在D處相遇,用時為t小時,則AD=21t,CD=9t,∠ACD=120°,由余弦定理,得cos 120°=,解得t=(負值舍去),小時=40分種,即艦艇與漁船相遇的最短時間為40分鐘.
4.渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛,水流速度為4 km/h,則渡輪實際航行的速度約為(精確到0.1 km/h)( )
A.14.5 km/h B.15.6 km/h
C.13.5 km/h D.11.3 km/h
解析:選C.由物理學知識,
畫出示意圖,AB=15,
AD=4,∠BAD=120°.
4、
在?ABCD中,D=60°,
在△ADC中,由余弦定理得
AC=
==
≈13.5.
5.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔B在觀察站C的南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的( )
A.北偏東40° B.北偏西10°
C.南偏東10° D.南偏西10°
解析:選B.如圖所示,∠ECA=40°,∠FCB=60°,∠ACB=180°-40°-60°=80°,因為AC=BC,所以∠A=∠ABC==50
5、76;,所以∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故選B.
6.如圖所示為一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并測量得AC=3 mm,BC=2 mm,AB= mm,則∠ACB=________.
解析:在△ABC中,由余弦定理得
cos∠ACB==-.
因為∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.
答案:
7.一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點A向北偏東30°前進100 m到達
6、點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是__________ m.
解析:設水柱的高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC= h,根據余弦定理,得(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50,故水柱的高度是50 m.
答案:50
8.一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲,然后向右轉105°,爬行10 cm捕捉到另一只小蟲,這時它向右轉135°爬行回它的出發(fā)
7、點,那么x=________.
解析:如圖所示,設蜘蛛原來在O點,先爬行到A點,再爬行到B點,易知在△AOB中,AB=10 cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,
則∠AOB=60°,由正弦定理知:
x===.
答案:
9.如圖,某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處,且與島嶼A相距120海里.經過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以100海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時,該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90°-α的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時追上.
(1)求該軍艦艇的速度.
(2)求sin α的值.
解:(1)
8、依題意知,∠CAB=120°,AB=100×2=200,
AC=120,∠ACB=α,
在△ABC中, 由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB
=2002+1202-2×200×120cos 120°
=78 400,解得BC=280.
所以該軍艦艇的速度為=140海里/小時.
(2)在△ABC中,由正弦定理,
得=,即
sin α===.
10.如圖,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前進 km到達D處,看到A在
9、他的北偏東45°方向,B在北偏東75°方向,試求這兩座建筑物之間的距離.
解:依題意得,CD= km,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,
∠DAC=45°.在△BDC中,
由正弦定理得
BC===(km).
在△ADC中,由正弦定理得
AC==
=3(km).
在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB
=(3)2+()2-2×3×cos 45°=25.
所以AB=5(km),
即這
10、兩座建筑物之間的距離為5 km.
[B 能力提升]
11.如圖,某山上原有一條筆直的山路BC,現(xiàn)在又新架設了一條索道AC,小李在山腳B處看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ABC=120°,從B處攀登400米后到達D處,再看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ADC=150°,從D處再攀登800米方到達C處,則索道AC的長為______米.
解析:在△ABD中,BD=400,∠ABD=120°,
因為∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400,AD=
=400.在△ADC中,DC=800,∠ADC=150
11、76;,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(400)2+8002-2×400×800×cos 150°=4002×13,所以AC=400,故索道AC的長為400米.
答案:400
12.如圖,在山底測得山頂仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的斜坡走1 000 m至S點,又測得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為______m.
解析:如圖,∠SAB=45°-30°=15°,
又∠SBD=15°,
所以∠ABS=30&
12、#176;.
AS=1 000,由正弦定理知=,所以BS=2 000sin 15°.
所以BD=BS·sin 75°
=2 000sin 15°·cos 15°=1 000sin 30°=500,
且DC=ST=1 000sin 30°=500,
從而BC=DC+DB=1 000 m.
答案:1 000
13.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度,如圖,在C處進行該儀器的垂直彈射,觀測點A,B兩地相距100 m,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時間比B
13、地晚 s.A地測得該儀器在C處時的俯角為15°,A地測得該儀器在最高點H時的仰角為30°,求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s)
解:由題意,設AC=x m,
則BC=x-×340=x-40 (m).
在△ABC中,由余弦定理得
BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC,
即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420.
在△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60
14、6;.
由正弦定理得=,
所以CH=AC·=140(m).
故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m.
14.(選做題)如圖,某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內沿南偏西60°的方向以每小時6千米的速度步行了1分鐘以后,在點D處望見塔的底端B在東北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值為60°.
(1)求該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時,走了幾分鐘;
(2)求塔的高AB.(結果保留根號,不求近似值).
解:(1)依題意知,在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=13
15、5°,CD=6 000×=100 (m),
∠BDC=45°-30°=15°,由正弦定理得
=,
所以BC===
==50(-1)(m),
在Rt△ABE中,tan α=,因為AB為定長,
所以當BE的長最小時,α取最大值60°,這時BE⊥CD,當BE⊥CD時,在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(-1)·=25(3-)(m),
設該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時,走了t分鐘,則t=×60=×60=(分鐘).
(2)由(1)知當α取得最大值60°時,BE⊥CD,
在Rt△BEC中,BE=BC·sin∠BCD,
所以AB=BE·tan 60°=BC·sin ∠BCD·tan 60°
=50(-1)··=25(3-)(m),
即所求塔高為25(3-) m.