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1、 新版數(shù)學北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學 2.3.2雙曲線的簡單性質(zhì)練習 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點，它的一條漸近線為y＝－x，則雙曲線方程為(　　) A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝160 C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24 [答案]　D [解析]　由已知c2＝a2－b2＝64－16＝48，故雙曲線中c2＝48，且焦點在y軸上，＝1，a＝b.由c2＝a2＋b2可得a2＝b2＝24，故選D. 2．雙曲線的漸近線與實軸的夾角為，則離心率e是(　　) A. B． C. D．2 [答案]　B [解析]　設(shè)雙曲

2、線焦點在x軸上，則tanθ＝＝，e＝＝＝. 3．雙曲線－＝1與－＝λ(λ≠0)有相同的(　　) A．實軸 B．焦點 C．漸近線 D．以上都不對 [答案]　C [解析]?。溅说臐u近線方程為－＝0，(bx－ay)(bx＋ay)＝0，即y＝x. 4．(2014河北唐山市一模)雙曲線x2－y2＝4左支上一點P(a，b)到直線y＝x的距離為， 則a＋b＝ (　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 [答案]　A [解析]?。?，∴|a－b|＝2， ∵雙曲線左支在直線y＝x上方， ∵a

3、曲線－＝1和橢圓＋＝1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么(　　) A．a(chǎn)2＋b2＝m2 B．a(chǎn)2＋b2>m2 C．a(chǎn)2＋b20)的左右焦點分別為F1、F2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(，y0)在該雙曲線上，則＝(　　) A．－12　 B．－2　　 C．0　　 D．4 [答案]　C [解析]　本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì)． 由題意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，

4、又點P(，y0)在雙曲線上，∴y＝1， ∴＝(－2－，－y0)(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故選C. 二、填空題 7．已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為________． [答案]?。? [解析]　本題考查雙曲線的標準方程． 令x＝0，則y2－4y＋8＝0無解． 令y＝0，則x2－6x＋8＝0，∴x＝4或2. ∴圓C與x軸的交點坐標為(4,0)和(2,0)， 故雙曲線的頂點為(2,0)、焦點為(4,0)， 故雙曲線的標準方程為－＝1. 8．雙曲線＋＝1的離心率e∈(1,2)，

5、則b的取值范圍是________． [答案]　(－12,0) [解析]　∵b<0，∴離心率e＝∈(1,2)， ∴－12

6、1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)． 由題設(shè)知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1. 10．已知F1、F2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦．如果∠PF2Q＝90，求雙曲線的離心率． [解析]　設(shè)F1(c,0)，由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90， 知|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c. 由雙曲線的定義得2c－2c＝2a. ∴e＝＝＝1＋. 所以所求雙曲線的離心率為1＋. 一、選擇題 1．已知F1、F2是雙曲線－＝1

7、(a>0，b>0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正△MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為(　　) A．4＋2 B．－1 C. D．＋1 [答案]　D [解析]　設(shè)線段MF1的中點為P，由已知△F1PF2為有一銳角為60的直角三角形， ∴|PF1|、|PF2|的長度分別為c和c. 由雙曲線的定義知：(－1)c＝2a， ∴e＝＝＋1. 2．已知F1、F2為雙曲線Cx2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60，則|PF1||PF2|＝(　　) A．2　　 B．4　　 C．6　　 D．8 [答案]　B [解析]　該題考查雙曲線的定義和余弦

8、定理，考查計算能力． 在△F1PF2中，由余弦定理得， cos60＝ ＝ ＝＋1＝＋1， 故|PF1||PF2|＝4. 3．設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　A [解析]　本題考查橢圓、雙曲線的定義． ∵橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，∴C1的長半軸為13，半焦距為5，則C1的兩個焦點F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)C2上的點P(x，y)， ∴||PF1|－|PF2||＝8<|

9、F1F2|＝10， ∴C2的軌跡是實軸長為8，焦距長為10的雙曲線，方程為：－＝1，故選A. 4．(2014吉林延邊州質(zhì)檢)已知雙曲線－＝1的一個焦點在圓x2＋y2－x－90＝0上，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝x D．y＝x [答案]　B [解析]　∵方程表示雙曲線，∴m>0， ∵a2＝9，b2＝m， ∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝， ∵雙曲線的一個焦點在圓上， ∴是方程x2－x－90＝0的根， ∴＝9，∴m＝72， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝2x，故選B. 二、填空題 5．(2014三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知雙曲線－＝

10、1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，則橢圓＋＝1的離心率e＝________. [答案]　 [解析]　由條件知＝，即a＝2b， ∴c2＝a2－b2＝3b2，c＝b， ∴e＝＝＝. 6．(2014天津市六校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________． [答案]?。? [解析]　橢圓中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7， ∴離心率e1＝，焦點(，0)， ∴雙曲線的離心率e2＝＝，焦點坐標為(，0)， ∴c＝，a＝2，從而b2＝c2－a2＝3， ∴雙曲線方程

11、為－＝1. 三、解答題 7．根據(jù)以下條件，分別求出雙曲線的標準方程． (1)過點P(3，－)，離心率e＝. (2)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且∠F1PF2＝60，S△PF1F2＝12，且離心率為2. [答案]　(1)x2－4y2＝1　(2)－＝1 [解析]　(1)若雙曲線的實軸在x軸上， 設(shè)－＝1為所求． 由e＝，得＝. ① 由點P(3，－)在雙曲線上，得－＝1. ② 又a2＋b2＝c2，由①②得a2＝1，b2＝. 若雙曲線的實軸在y軸上，設(shè)－＝1為所求． 同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2. 解之，得b2＝－(不符，舍去)． 故所求雙曲

12、線方程為x2－4y2＝1. (2)設(shè)雙曲線方程為－＝1，因|F1F2|＝2c， 而e＝＝2，由雙曲線的定義， 得||PF1|－|PF2||＝2a＝c. 由余弦定理，得 (2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2 ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60)， ∴4c2＝c2＋|PF1||PF2|. 又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60＝12， ∴|PF1||PF2|＝48. ∴3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12. 故所求雙曲線的方程為－＝1. 8．設(shè)雙曲線C：－y2＝1(a>0)

13、與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同的點A，B. (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍； (2)設(shè)直線l與y軸的交點為P，且＝，求a的值． [答案]　(1)∪(，＋∞)　(2) [解析]　(1)由C和l相交于兩個不同的點，知方程組有兩個不同的實數(shù)解．消去y并整理得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.① 所以，解得0且e≠， 即離心率e的取值范圍為∪(，＋∞)． (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)． 由此得x1＝x2. 由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0， ∴x2＝－，x＝－. 消去x2，得－＝.又∵a>0，∴a＝.