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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
第2課時 向量的減法
[核心必知]
1.相反向量
(1)定義:與a長度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量.記作:-a.
(2)相反向量的性質(zhì)
①-00,-(-a)=a;
②a+(-a)=(-a)+a=0;
③如果a,b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
2.向量的減法
定義
向量a加上b的相反向量,叫作向量a與b的差,即a-b=a+(-b).求兩個向量差的運(yùn)算,叫作向量的減法.
作法
如果把向量a與b的起點放在O點,那么從向量b的終點B指向被減向量a的終點A,得到的向量就是a-b.
圖示
2、
[問題思考]
1.向量減法的實質(zhì)是什么?
提示:向量減法的實質(zhì)是加法的逆運(yùn)算,即a-b=a+(-b).
2.如何運(yùn)用三角形法則進(jìn)行向量的減法運(yùn)算?
提示:如已知向量a,b,求a-b,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,連接AB,則=a-b.
講一講
1.已知向量a,b,c求作向量a+b-c.
[嘗試解答] 法一:在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,
連接OB,則=a+b.
再作=c,連接BC,則=-=a+b-c
即為所求(如圖)
法二:在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,以O(shè)A,OB為鄰邊,作?OACB,連接OC,則=a+b.
再作=c,連
3、接CD.
則=-=a+b-c即為所求(如圖).
法三:在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,連接OB,則=a+b.再作=-c,連接OC.
則=+=a+b-c即為所求(如圖).
1.向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,-=就可以把減法化為加法.在用三角形法則作向量減法時,只要記住“連接兩向量終點,箭頭指向被減向量”即可.
2.以向量=a、=b為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對角線的向量為=a+b,=b-a,=a-b,這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛,應(yīng)該加強(qiáng)理解并記?。?
3.三角形法則和平行四邊形法則對于向量的減法同樣適用.
練一練
1.如圖,已知正方形ABC
4、D的邊長等于1,=a,=b,=c,試作向量a-b+c.
講一講
2.化簡下列各式:
1.計算向量的加減法時應(yīng)謹(jǐn)記以下口訣:
(1)加法口訣:首尾相接,箭頭從始點指向最后一個終點.
(2)減法口訣:始點相同連接終點,箭頭指向被減向量.
2.多個向量作加減運(yùn)算時,應(yīng)把首尾相連的放在一起計算,起點相同的放在一起計算.必要時,可畫出圖形,結(jié)合圖形觀察,將使問題更為直觀.
練一練
講一講
3.已知?ABCD中,∠ABC=60°,設(shè)=a,=b,若|a|=|a+b|=2,求|a-b|的值.
[嘗試解答]
依題意,
5、
||=|a+b|=2,
而||=|a|=2,
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形.∴BC=AB.
?ABCD為菱形,AC⊥BD,
∴|a|2=(|a+b|)2+(|a-b|)2
即4=1+,∴|a-b|=2.
本題的解答是利用了向量加法與減法的幾何意義,一般地,若a,b是兩個不共線的向量,在平面內(nèi)任取一點A作=a,=b,以AB、AD為鄰邊作?ABCD,那么=a+b,=a-b.恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造平行四邊形,尋找|a|,|b|,|a±b|的關(guān)系,靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
練一練
3.已知非零向量a,b滿足|a|=+1,|b|=-1,且
6、
|a-b|=4,求|a+b|的值.
解:
所以△OAB是以∠AOB為直角的直角三角形,
從而OA⊥OB,
所以?OACB是矩形.
根據(jù)矩形的對角線相等有=4,
即|a+b|=4.
如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,.
試用a,b,c表示向量.
[錯解] ∵
=c+b-a.
[錯因] 錯誤地使用了向量的減法法則,誤認(rèn)為,在應(yīng)用三角形法則作向量減法時,應(yīng)注意“連接兩向量終點,箭頭指向被減向量”.
=a-b+c.
1.在四邊形ABCD中,設(shè)等于( )
A.a(chǎn)-b+c B.a(chǎn)+b+c
C.b-(a+c) D.b-a+c
解析:
7、選A
=-b+a+c.
4.已知|a|=1,|b|=2,|a+b|=,則|a-b|=________.
解析:∵()2=12+22.
∴以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形,
那么|a-b|=|a+b|=.
答案:
5.給出下列運(yùn)算:
∴①,②正確,③不正確.
答案: ①②
6.如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.
解:法一:如圖①,在平面內(nèi)任取一點O,作=b,則=a+b,
再作=c,則=a+b-c.
法二:如圖②,在平面內(nèi)任取一點O,作=b,則=a+b,再作=c,連接OC,則=a+b-c.
一、選擇題
A.①②
8、 B.②③
C.③④ D.①④
3.如圖,D,E,F(xiàn)分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點,則( )
4.a(chǎn)與b是非零向量,下列結(jié)論正確的是( )
A.|a|+|b|=|a+b| B.|a|-|b|=|a-b|
C.|a|+|b|>|a+b| D.|a|+|b|≥|a+b|
解析:選D
當(dāng)a,b共線時,若a,b同向,則|a+b|=|a|+|b|,a,b反向時,
|a+b|<|a|+|b|;
當(dāng)a,b不共線時,如圖有:
|a+b|<|a|+|b|.
故|a|+|b|≥|a+b|.
9、
二、填空題
5.若菱形ABCD的邊長為2,則=________.
答案:2
6.若A、B、C、D是平面內(nèi)任意四點,給出下列式子:①+其中所有正確的式子的序號是________.
答案:②③
7.在?ABCD中,=b,|a|=|b|=2,∠BAD=120°,則|a-b|=________.
解析:
如圖,依題意?ABCD是菱形,∴∠DAO=60°,∴DO=AD×sin 60°=2×=,
故|a-b|=||=2DO=2.
答案:2
8. 如圖,已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點,=c,試用a,b,c表示=____
10、____.
=a-b+c.
答案:a-b+c
三、解答題
9.如圖,在正五邊形ABCDE中,若=c,=e,求作向量a-c+b-d-e.
解:
a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e)
.
如圖,連接AC,并延長至點F,
使CF=AC,則.
所以,即為所求作的向量a-c+b-d-e.
10. 如圖,?ABCD中,=b,
(1)用a、b表示;
(2)當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b與a-b的所在直線互相垂直?
(3)當(dāng)a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|.
(4)a+b與a-b有可能為相等向量嗎?為什么?
解:(1)=a-b.
(2)由(1)知a+b=,a-b=.
a+b與a-b的所在直線垂直,即AC⊥BD.
又∵ABCD為平行四邊形,
∴四邊形ABCD為菱形,即a、b應(yīng)滿足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即||=||.
∵矩形的對角線相等.
∴當(dāng)a與b的所在直線垂直時,
滿足|a+b|=|a-b|.
(4)不可能,因為?ABCD的兩對角線不可能平行,因此a+b與a-b不可能為共線向量,也就不可能為相等向量.