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第十章第1節(jié) 橢圓及其性質

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1、第十章 圓錐曲線 第一節(jié) 橢圓及其性質 題型115 橢圓的定義與標準方程 2013年 1.(2013廣東文9)已知中心在原點的橢圓的右焦點為,離心率等于,則的方程是 A. B. C. D. 2014年 1.(2014大綱文9)已知橢圓C:的左、右焦點為,,離心率為,過的直線交C于A,B兩點,若的周長為,則C的方程為( ). A. B. C. D. 2.(2014遼寧文15)已知橢圓:,點與的焦點不重合,若關于的焦點的對稱點分別為,,線段的中點在上,則 . 3.(2014遼寧文20)如圖所示,圓的

2、切線與軸正半軸,軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為. (1)求點的坐標; (2)焦點在軸上的橢圓過點,且與直線交于,兩點,若的面積為,求的標準方程. 4.(2014天津文18)設橢圓的左、右焦點分別為,右頂點為,上頂點為.已知. (1)求橢圓的離心率; (2)設為橢圓上異于其頂點的一點,以線段為直徑的圓經過點,經過點的直線與該圓相切于點,.求橢圓的方程. 5. (2014新課標Ⅱ文20) 設分別是橢圓C:的左、右焦點,是上一點且與軸垂直.直線與的另一個交點為. (1)若直線的斜率為,求的離心率; (2)若直線在軸上的截距為,且,求.

3、 2015年 1.(2015廣東文8)已知橢圓()的左焦點為,則( ). A. B. C. D. 1.解析 由左焦點為,可得. 由,即,得. 又,所以.故選B. 評注 本題考查橢圓的簡單幾何性質. 2016年 1.(2016山東文21(1))已知橢圓的長軸長為,焦距為,求橢圓的方程. 1. 解析 設橢圓的半焦距為,由題意知,所以, 所以橢圓的方程為. 2.(2016四川文20(1))已知橢圓:的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓上,求橢圓的方程. 2. 解析 由已知得, 又橢圓過點,故,解得 所以橢圓的方程是

4、3.(2016天津文19(1))設橢圓()的右焦點為,右頂點為,已知,其中 為原點,為橢圓的離心率,求橢圓的方程. 3.解析 (1)由,即,可得. 又,所以,因此,所以橢圓的方程為 2017年 1.(2017全國1文12)設,是橢圓長軸的兩個端點,若上存在點滿足,則的取值范圍是( ). A. B. C. D. 1.解析 因為在上存在點,滿足,所以.當點位于短軸端點時,取得最大值. ① 當時,如圖1所示,有,則,所以 ,解得; 圖1 圖2 ② 當時,如圖2示,有,

5、則,所以 ,解得. 綜上可得,的取值范圍是.故選A. 評注:先研究“橢圓,是長軸兩端點,位于短軸端點時,最大”這一結論. 圖3 如圖3所示,因為, 所以. 設,因為(中點弦的一個結論),所以(當且僅當,即時等號成立,此時位于短軸端點處). 2.(2017山東卷文21)在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,橢圓截直線所得線段的長度為. (1)求橢圓的方程; (2)動直線交橢圓于,兩點,交軸于點.點是點關于的對稱點,圓的半徑為. 設為的中點,,與圓分別相切于點,,求的最小值. 2.解析 (1) 由橢圓的離心率為 ,得, 又當時,,得,所以,.

6、 因此橢圓方程為. (2) 設,,聯立方程 , 得,由,得 . 且,因此,所以, 又,所以, 因為,所以. 令,故.所以. 令 ,所以. 當 時,,從而在上單調遞增. 因此,等號當且僅當時成立,此時,所以 ,. 設,則 ,所以的最小值為. 從而的最小值為,此時直線的斜率為. 綜上所述,當,時,取得最小值為. 題型116 橢圓離心率的值及取值范圍 2013年 1. (2013四川文9)從橢圓上一點向軸做垂線,垂足恰為左焦 點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且(是坐標原點),則該橢圓的離心率是( ). A. B.

7、 C. D. 2.(2013江蘇12)在平面直角坐標系中,橢圓的標準方程為, 右焦點為,右準線為,短軸的一個端點為,設原點到直線的距離為,到的 距離為,若,則橢圓的離心率為 . 2. (2013福建文15)橢圓的左、右焦點分別為 若直線 與橢圓的一個交點滿足則該橢圓的離心率等于 . 3.(2014北京文19)已知橢圓C:. (1)求橢圓C的離心率; (2)設O為原點,若點A在直線上,點B在橢圓C上,且,求線段AB長度的最小值. F1 F2 O x y B C A 4.(2014江蘇17)如圖所示,在平面直角坐

8、標系中,,,分別是橢圓的左、右焦點,頂點的坐標為,連接并延長交橢圓于點,過點作軸的垂線交橢圓于另一點,連接. (1)若點的坐標為,且,求橢圓的方程; (2)若,求橢圓離心率的值. 2014年 1.(2014江西文14)設橢圓的左、右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于點,若,則橢圓的離心率等于 . 2. (2014安徽文21)設,分別是橢圓:的左、右焦點,過點的直線交橢圓于兩點,. (1)若的周長為16,求; (2)若,求橢圓的離心率. 2015年 1.(2015福建文11)已知橢圓:的右焦點為.短軸的一個端 點為,直線交橢圓于兩點.

9、若,點到直線的 距離不小于,則橢圓的離心率的取值范圍是( ). A. B. C. D. 1. 解析 設左焦點為,連接,,則四邊形是平行四邊形,故, 所以,所以.設,則,故. 所以,,,所以橢圓的離心率的取值范圍為. 故選A. 評注 1. 橢圓的定義和簡單幾何性質;2. 點到直線距離公式. 2.(2015浙江文15)橢圓()的右焦點關于直線的 對稱點在橢圓上,則橢圓的離心率是 . 2. 解析 解法一:設,則,所以,又, 所以 ,所以,所以, 不妨取,所以中點,代入, 得,化簡得或,所以. 解法二:取左焦點,則:,所以原點到的距離.

10、 又到的距離,由題意知,,所以,所以. 3.(2015重慶文21)如圖所示,橢圓的左、右焦點分別為,, 過的直線交橢圓于,兩點,且. (1)若,,求橢圓的標準方程. (2)若,且, 試確定橢圓離心率的取值范圍. 3. 解析 (1)由橢圓的定義,,故. 設橢圓的半焦距為,由已知, 因此, 即,從而. 故所求橢圓的標準方程為. (2)由,,得. 由橢圓的定義,,, 進而.于是, 解得,故. 由勾股定理得, 從而, 兩邊除以,得. 若記,則上式變?yōu)? 由,并注意到關于的單調性,得, 即.進而,即. 2016年 1.(2016全國乙文5)直線經過橢圓的一個頂點

11、和一個焦點,若橢圓中心到的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為( ). A. B. C. D. 1. B 解析 由等面積法可得,故,從而.故選B. 2.(2016江蘇10)如圖所示,在平面直角坐標系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于兩點,且,則該橢圓的離心率是 . 2. 解析 由題意得,直線與橢圓方程聯立,可得,. 由,可得,,, 則,由,可得,則. 2017年 1.(2017全國3文11)已知橢圓的左、右頂點分別為,,且以線段為直徑的圓與直線相切,則的離心率為( ). A. B. C.

12、 D. 1.解析 因為直線與圓相切,即,整理得.令,則有,,,.故選A. 評注 本題考查直線與圓的位置關系,點到直線的距離公式,以及圓錐曲線的離心率公式和圓的方程,考查的知識點比較多,但總的難度不大,屬于跨板塊的綜合類問題,基礎中偏上的學生一般都能搞定. 2.(2017浙江卷2)橢圓的離心率是( ). A. B. C. D. 2.解析 由橢圓方程可得,,所以,所以,, .故選B. 題型117 橢圓的焦點三角形 2014年 1.(2014重慶文21)如圖所示,設橢圓的左、右焦點分別為,點在橢圓上,, ,的面積為. (1) 求該橢圓的標準方程; (2) 是否存在圓心在軸上的圓,使圓在軸的上方與橢圓有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點?若存在,求出圓的方程,若不存在,請說明理由. 歡迎訪問“高中試卷網”——http://sj.fjjy.org

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