《高中數(shù)學(xué)【配套Word版文檔】2.2函數(shù)的定義域、值域及解析式》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)【配套Word版文檔】2.2函數(shù)的定義域、值域及解析式（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.2 函數(shù)的定義域、值域及解析式 2014 高考會這樣考 1.考查函數(shù)定義域、值域的求法； 2.考查函數(shù)解析式的應(yīng)用； 3.和其他 知識相結(jié)合，考查函數(shù)概念． 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.掌握函數(shù)定義域的幾種情形； 2.理解求函數(shù)解析式的基本方法； 3.和函數(shù)最值相結(jié)合求函數(shù)值域． 1． 函數(shù)的定義域 (1) 函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍． (2) 求定義域的步驟 ①寫出使函數(shù)式有意義的不等式 (組 )； ②解不等式組； ③寫出函

2、數(shù)定義域． (注意用區(qū)間或集合的形式寫出 ) (3) 常見基本初等函數(shù)的定義域①分式函數(shù)中分母不等于零． ②偶次根式函數(shù)、被開方式大于或等于0. ③一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為 R. ④ y＝ ax (a>0 且 a≠ 1)， y＝sin x，y＝ cos x，定義域均為 R. π ⑤ y＝ tan x 的定義域為 x|x∈ R 且 x≠kπ＋ 2， k∈ Z . ⑥函數(shù) f(x) ＝x0 的定義域為 { x|x∈ R 且 x≠ 0} ． 2． 函數(shù)的值域 (1) 在函數(shù) y＝ f(x)中，與自變量 x 的值相對應(yīng)的 y 的值叫函數(shù)值，

3、函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域． (2) 基本初等函數(shù)的值域 ① y＝ kx＋ b (k≠ 0)的值域是 R. ② y＝ ax2＋ bx＋ c (a≠0) 的值域是：當(dāng) a>0 時，值域為 4ac－ b2 ，＋∞ ；當(dāng) a<0 時，值域 4a 為 －∞， 4ac－ b2 . 4a k ③ y＝ x (k≠ 0)的值域是 { y|y∈R 且 y≠ 0} ． ④ y＝ ax (a>0 且 a≠ 1)的值域是 (0，＋∞ )． ⑤ y＝ log ax (a>0 且 a≠ 1)的值

4、域是 R . ⑥ y＝ sin x， y＝ cos x 的值域是 [ －1,1] ． ⑦ y＝ tan x 的值域是 R. 3． 函數(shù)解析式的求法 (1) 換元法； (2) 待定系數(shù)法； 1 (3) 消去法：若所給解析式中含有 f(x)、f x 或 f(x)、f(－ x)等形式，可構(gòu)造另一個方程，通過解方程組得到 f(x)． (4) 配湊法或賦值法：依據(jù)題目特征，能夠由一般到特殊或由特殊到一般尋求普遍規(guī)律，求出解析式． [難點正本 疑點清源 ] 1． 函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題的先決條件，它會直接影響函數(shù)的性質(zhì)，所以要樹立定義

5、 域優(yōu)先的意識． 2． (1) 如果函數(shù) f(x)的定義域為 A，則 f(g(x))的定義域是使函數(shù) g(x)∈ A 的 x 的取值范圍． (2) 如果 f(g(x)) 的定義域為 A，則函數(shù) f(x)的定義域是函數(shù) g(x)的值域． (3) f[g(x)] 與 f[h(x)] 聯(lián)系的紐帶是 g(x)與 h(x)的值域相同． 1 ＋ 4－ x2的定義域為 ____________ ． 1． (2012 山東改編 )函數(shù) f(x)＝ ln x＋ 1 答案 (－ 1,0)∪ (0,2]

6、 x＋ 1>0， 解析 由 ln x＋ 1 ≠ 0， 得－ 1

7、足 (1) g( x1＋ x2)＝ g(x1)g(x2)； (2)g(1)＝ 3； (3)? x1

8、＋f(n) m 或 f( n )＝ f( m)－ f(n)；三、正比例函數(shù)模型，對應(yīng)的性質(zhì)為： f(m＋ n)＝ f(m)＋ f( n)；四、余 弦函數(shù)型，對應(yīng)的性質(zhì)為： f(m＋n) ＋f(m－ n)＝ 2f(m)f(n) ． 4．函數(shù) f(x)＝ log 2(3x＋ 1)的值域為 ___________________ ． 答案 (0，＋∞ ) 解析 由 3x>0 知 3x＋ 1>1. 又 f(x)在 (0，＋ ∞ )為增函數(shù)且 f(1)＝ 0， ∴ f(x)＝ log 2(3x＋ 1)>0. 1 1＋ x2 5． 已知

9、 f x ＝ 1－ x2，則 f(x)＝ __________. x2＋ 1 答案 (x≠ 0) x2－ 1 1 1 解析 令 x＝ t，則 x＝ t 且 t ≠0， 1 2 2＋ 1 1＋ t t ∴ f(t)＝ ＝ ， 1 2 t 2－ 1 1－ t x2＋ 1 即 f(x)＝ 2 ( x≠ 0). x － 1 題型一 求函數(shù)的定義域 例 1 (1) 函數(shù) y＝ ln x＋ 1 的定義域為 _______

10、_______． － x2－3x＋ 4 (2) 若函數(shù) y＝ f(x)的定義域是 f 2x 的定義域是 ____________． [0,2] ，則函數(shù) g(x)＝x－ 1 思維啟迪： 函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；抽象函數(shù)的定義域要 注意自變量的取值和各個字母的位置． 答案 (1)(－ 1,1) (2)[0,1) x＋ 1>0 解析 (1)由 ，得－ 10 0≤ 2x≤ 2， (2) 依已知有 x－ 1≠ 0， 解之得 0≤x<1

11、，定義域為 [0,1) ． 探究提高 (1) 求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運算有意義為準(zhǔn)則，列出 不等式或不等式組，然后求出它們的解集． (2) 已知 f(x)的定義域是 [a，b]，求 f[g(x)] 的定義域， 是指滿足 a≤ g(x)≤ b 的 x 的取值范圍，而已知 f[g(x)] 的定義域是 [a ， b] ，指的是 x∈ [a， b]． x－ 4 (1) 若函數(shù) f(x) ＝mx2＋ 4mx＋ 3的定義域為 R ，則實數(shù) m 的取值范圍是 __________． 3 答案 0，4 解析 f(x)的定義域為 R ，即 mx2＋

12、 4mx＋ 3≠ 0 恒成立． ① 當(dāng) m＝ 0 時，符合條件． ② 當(dāng) m≠ 0 時， ＝ (4m)2－ 4 m 3<0 ， 3 即 m(4m－ 3)<0 ，∴ 0

13、數(shù)的值域 例 2 求下列函數(shù)的值域： (1) y＝ x2＋ 2x (x∈[0,3] )； (2) y＝x－ 3； ＋ 1x (3) y＝ x－ 1－ 2x； (4) y＝ log 3x＋ logx3－1. 思維啟迪： 根據(jù)各個函數(shù)解析式的特點，考慮用不同的方法求解． (1) 配方法； (2)分離常 數(shù)法； (3)換元法或單調(diào)性法； (4) 基本不等式法． 解 (1)( 配方法 ) y＝ x2 ＋2x＝ (x＋ 1)2－ 1， y＝ (x＋1) 2－1 在 [0,3] 上為增函數(shù)， ∴0≤ y≤ 15

14、， 即函數(shù) y＝ x2＋2x (x∈ [0,3] )的值域為 [0,15] ． (2)( 分離常數(shù)法 ) x－ 3 x＋1－ 4 4 . y＝ ＝ ＝ 1－ x＋ 1 x＋ 1 x＋ 1 因為 4 ≠0，所以 1－ 4 ≠1， x＋ 1 x＋ 1 即函數(shù)的值域是 { y|y∈ R ，y≠ 1} ． (3) 方法一 (換元法 ) 1－ t2 令 1－2x＝ t，則 t≥ 0 且 x＝ 2 ， 于是 y＝ 1－ t 2 1 2＋ 1，

15、 2 － t＝－ ( t＋ 1) 2 1 y|y≤ 1 由于 t≥ 0，所以 y≤ 2，故函數(shù)的值域是 2 . 方法二 (單調(diào)性法 ) 1 1 1 容易判斷函數(shù) y＝ f(x) 為增函數(shù)， 而其定義域應(yīng)滿足 1－ 2x≥ 0，即 x≤ 2，所以 y≤ f 2 ＝ 2， 1 即

16、函數(shù)的值域是 y|y≤ 2 . (4)( 基本不等式法 ) 函數(shù)定義域為 { x|x∈R ， x>0，且 x≠ 1} ． 當(dāng) x>1 時， log 3x>0 ， 于是  1 y＝ log3x＋ log 3x－ 1≥ 2  1 log 3xlog 3x－ 1＝ 1； 當(dāng) 0

17、－ 1＝－ 3. 故函數(shù)的值域是 (－ ∞ ，－ 3]∪ [1，＋ ∞)． 探究提高 (1) 當(dāng)所給函數(shù)是分式的形式， 且分子、 分母是同次的， 可考慮用分離常數(shù)法； (2) 若與二次函數(shù)有關(guān)， 可用配方法； (3)若函數(shù)解析式中含有根式， 可考慮用換元法或單 調(diào)性法； (4)當(dāng)函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)與基本不等式有關(guān)， 可考慮用基本不等式求解； (5)分段函 數(shù)宜分段求解； (6) 當(dāng)函數(shù)的圖象易畫出時，還可借助于圖象求解． 求下列函數(shù)的值域： x2－ x (1) y＝x2－x＋ 1； (2)y＝ 2x－ 1－ 13－4x. 解 (

18、1)方法一 (配方法 ) 1 ∵ y＝ 1－ ， x2－ x＋ 1 又 x2－ x＋ 1＝ x－1 2＋ 3≥ 3， 24 4 1 4 1 ∴ 0< x2－ x＋ 1 ≤ 3， ∴ － 3≤y<1. 1 ∴ 函數(shù)的值域為 －3， 1 . 方法二 (判別式法 ) x2－ x 由 y＝ x2－ x＋ 1，x∈ R，得 (y－1)x2＋(1 －y) x＋ y＝ 0. ∵ y＝ 1 時， x∈ ?， ∴y≠ 1. 又 ∵ x∈ R， ∴ ＝ (1－ y)2－ 4y(y－ 1)≥0， 1 解得－ 3

19、≤ y≤ 1. 1 1 綜上得－ 3≤ y<1. ∴ 函數(shù)的值域為 － 3， 1 . (2) 方法一 (換元法 ) 13－ t2 設(shè) 13－ 4x＝ t，則 t≥ 0， x＝ 4 ， 13－ t2 于是 f( x)＝ g(t)＝ 2 4 － 1－ t 1 11 1 ＝－ 2t2－ t＋ 2 ＝－ 2(t＋1) 2 ＋ 6， 顯然函數(shù) g(t)在 [0，＋ ∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)， 11 所以 g(t)≤g(0) ＝ 2 ， 11 因

20、此原函數(shù)的值域是 － ∞ ， 2 . 方法二 (單調(diào)性法 ) 13 函數(shù)定義域是 x|x≤ 4 ， 當(dāng)自變量 x 增大時， 2x－ 1 增大， 13－ 4x減小， 所以 2x－ 1－ 13－ 4x增大， 因此函數(shù) f(x)＝ 2x－ 1－ 13－ 4x在其定義域上是一個單調(diào)遞增函數(shù)， 13 13 11 所以當(dāng) x＝ 4 時，函數(shù)取得最大值 f 4 ＝ 2 ， 11 故原函數(shù)的值域是 － ∞ ， 2 . 題型三 求函數(shù)的解析式 例 3 (1) 已知 f 2x＋ 1 ＝ lg x，求 f(

21、x)； (2) 設(shè) y＝f(x)是二次函數(shù)， 方程 f(x)＝ 0 有兩個相等實根， 且 f′ (x)＝ 2x＋ 2，求 f( x)的解析式； (3) 定義在 (－ 1,1)內(nèi)的函數(shù) f(x)滿足 2f(x)－ f( －x)＝ lg( x＋1) ，求函數(shù) f(x)的解析式．思維啟迪： 求函數(shù)的解析式，要在理解函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，尋求變量之間的關(guān)系． 2 2 解 (1)令 t＝ x＋ 1，則 x＝ ， t－ 1 ∴ f(t)＝ lg 2 2 ，即 f( x)＝ lg (x>1) ． t－ 1 x－1 (2)

22、設(shè) f(x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠ 0) ， 則 f′( x)＝ 2ax＋ b＝ 2x＋2， ∴ a＝1， b＝ 2， ∴ f(x)＝ x2＋ 2x＋ c. 又 ∵ 方程 f(x)＝ 0 有兩個相等實根， ∴ ＝ 4－ 4c＝0， c＝ 1，故 f(x)＝ x2＋ 2x＋ 1. (3) 當(dāng) x∈(－ 1,1)時，有 2f(x)－ f(－ x)＝ lg( x＋1) ．①以－ x 代替 x 得， 2f(－ x)－ f(x)＝ lg( － x＋ 1)． ② 由 ①② 消去 f(－ x)得， 2 1 f(x)＝ 3lg

23、(x＋ 1)＋ 3lg(1 － x)，x∈ (－ 1,1)． 探究提高 函數(shù)解析式的求法 (1) 配湊法： 由已知條件 f(g(x))＝ F(x)，可將 F(x)改寫成關(guān)于 g(x)的表達式， 然后以 x 替代 g(x)，便得 f( x)的解析式； (2) 待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù) )，可用待定系數(shù)法； (3) 換元法：已知復(fù)合函數(shù) f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍； 1 (4) 消去法： 已知關(guān)于 f(x)與 f x 或 f(－ x)的表達式， 可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等

24、式組成方程組，通過解方程組求出 f(x)． 給出下列兩個條件： (1) f( x＋ 1)＝ x＋2 x； (2) f(x)為二次函數(shù)且 f(0)＝ 3，f(x＋ 2)－ f(x)＝ 4x＋ 2.試分別求出 f(x)的解析式．解 (1)令 t＝ x＋ 1， ∴ t≥ 1，x＝ (t－ 1)2. 則 f(t)＝ (t－ 1)2＋ 2(t－ 1)＝ t2－ 1， ∴ f(x)＝ x2－ 1 (x≥ 1)． (2) 設(shè) f(x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠ 0) ，又 f(0) ＝ c＝ 3. ∴ f(x)＝ ax2＋ bx＋3， ∴ f(x＋

25、 2)－ f(x)＝ a(x＋ 2)2＋ b(x＋ 2)＋ 3－ (ax2＋ bx＋3)＝ 4ax＋ 4a＋2b＝ 4x＋2. 4a＝ 4 a＝ 1 ∴ ， ∴ ， 4a＋ 2b＝2 b＝－ 1 ∴ f(x)＝ x2－ x＋ 3. 函數(shù)問題首先要考慮定義域 典例： (14 分 )已知 f(x)＝2＋ log3x， x∈ [1,9] ，試求函數(shù) y＝ [f(x)] 2＋ f(x2)的值域． 審題視角 (1) f(x)的定義域； (2) y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域與 f(x)的

26、定義域不同； (3)如何求 y＝ [f(x)]2＋ f(x2)的定義域． 規(guī)范解答 解 ∵ f(x)＝2＋ log 3x 的定義域為 [1,9] ， 要使 [f(x)] 2＋ f(x2)有意義，必有 1≤ x≤ 9 且 1≤ x2≤ 9， ∴ 1≤ x≤ 3， [4 分 ] ∴ y＝ [f(x)]2＋ f( x2)的定義域為 [1,3] ． 又 y＝ (2＋ log3x)2＋ 2＋ log3x2＝(log 3x＋ 3)2－ 3.[8 分 ] ∵ x∈ [1,3] ， ∴ log3x∈ [0,1] ， ∴ yma

27、x＝ (1＋ 3)2－ 3＝ 13，ymin＝ (0＋ 3)2－ 3＝ 6.[12 分 ] ∴ 函數(shù) y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域為 [6,13] ． [14 分 ] 溫馨提醒 (1) 本題考查了函數(shù)的定義域、值域的概念及求法，是函數(shù)的重點知識． (2) 本題易錯原因是忽略對定義域的研究，致使函數(shù)y＝[f(x)]2＋ f(x2)的討論范圍擴大． (3) 解答有關(guān)函數(shù)的問題要規(guī)范，研究函數(shù)問題，首先研究其定義域，這是解答的規(guī)范，也是思維的規(guī)范 . 方法與技巧 1． 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，

28、并且它是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)．因 此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識． 求函數(shù)的定義域關(guān)鍵在于列全限制條件和準(zhǔn)確求解方程或不等式 (組 )；對于含有字母參 數(shù)的函數(shù)定義域，應(yīng)注意對參數(shù)取值的討論；對于實際問題的定義域一定要使實際問題 有意義． 2． 函數(shù)值域的幾何意義是對應(yīng)函數(shù)圖象上點的縱坐標(biāo)的變化范圍．利用函數(shù)幾何意義，數(shù) 形結(jié)合可求某些函數(shù)的值域． 3． 函數(shù)的值域與最值有密切關(guān)系，某些連續(xù)函數(shù)可借助函數(shù)的最值求值域，利用配方法、 判別式法、基本不等式求值域時，一定注意等號是否成立，必要時注

29、明 “ ＝ ”成立的條 件． 失誤與防范 1． 求函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作 用． 函數(shù)的值域常常化歸為求函數(shù)的最值問題，要重視函數(shù)單調(diào)性在確定函數(shù)最值過程中的 作用．特別要重視實際問題中的最值的求法． 2． 對于定義域、值域的應(yīng)用問題，首先要用 “ 定義域優(yōu)先 ” 的原則，同時結(jié)合不等式的性 質(zhì) . A 組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間： 35 分鐘，滿分： 62 分 ) 一、填

30、空題 (每小題 5 分，共 35 分 ) 1 ，則 f(x)的定義域為 ____________ ． 1． 若 f(x)＝ 1 log 2 2x＋ 1 答案 －1， 0 2 解析 要使 f(x)有意義，需 log 1 (2x＋ 1)>0 ＝log11， 2 2 1 ∴ 0<2x＋ 1<1， ∴ －20， 1， x為有理數(shù)， 2 ． (2012 福 建 改編 ) 設(shè) f(x)

31、＝ 0， x＝ 0， g(x) ＝ 則 f(g( π))的 值 為 0， x為無理數(shù)， － 1， x<0， ________ ． 答案 0 解析 根據(jù)題設(shè)條件， ∵ π是無理數(shù)， ∴g( π)＝0， ∴ f(g( π＝)) f(0) ＝ 0. 3． 已知 f( x)＝ x2＋ px＋ q 滿足 f(1)＝ f(2) ＝0，則 f(－ 1)＝ ________. 答案 6 解析 由 f(1)＝ f(2) ＝0，得 12＋ p＋q＝ 0 ， 22＋ 2p＋ q＝ 0 p＝－ 3

32、∴ ， ∴ f( x)＝ x2－ 3x＋ 2. q＝ 2 ∴ f(－ 1)＝ (－ 1)2＋ 3＋ 2＝ 6. 1－ x 1－ x2 4． 已知 f 1＋ x ＝ 1＋ x2，則 f( x)的解析式為 ____________ ． 答案 f(x)＝ 2x 2 (x≠－ 1) 1＋ x 1－ t 1－ 2 1－ x 1－ t 1＋ t 2t ，從而 f( x)的 (

33、t≠ － 1)，由此得 x＝ 解析 令 t ＝ ，所以 f(t)＝ ＝ 1＋ x 1＋ t 1－ t 1＋ t2 1＋ 2 1＋ t 2x 解析式為 f(x)＝ 1＋ x2 (x≠ － 1)． 5． 若函數(shù) f(x) ＝ 2x2＋ 2ax－ a－ 1的定義域為 R ，則 a 的取值范圍為 ________． 答案 [－ 1,0] 解析 由題意知 2x2＋ 2ax－ a－ 1≥0 恒成立． ∴ x2＋2ax－ a≥0 恒成

34、立， ∴ ＝ 4a2＋ 4a≤ 0， ∴ － 1≤a≤ 0. 6． 若函數(shù) y＝ f(x)的定義域是 [－ 1,1]，則函數(shù) y＝ f(log 2x)的定義域是 __________． 答案 1， 2 2 1 解析 由－ 1≤ log2x≤ 1 得 log 22≤ log 2x≤ log22， 由 y＝ log 2x 在 (0，＋ ∞ )上遞增，得 1≤ x≤ 2. 2 7． 若函數(shù) y＝ f(x)的值域是 [1,3] ，則函數(shù) F(x)＝ 1－ 2f(x＋ 3)的值域是 __________ ． 答案 解析

35、  [－ 5 ，－ 1] ∵ 1≤ f(x)≤ 3，∴ 1≤ f(x＋ 3)≤ 3， ∴ － 6≤ － 2f(x＋ 3)≤ －2， ∴ － 5≤ F(x)≤ － 1. 二、解答題 (共 27 分 ) 2 的定義域為集合 N， 8． (13 分 ) 記 f(x)＝ lg(2 x－ 3)的定義域為集合 M，函數(shù) g(x)＝ 1－ x－1 求： (1) 集合 M、 N； (2) 集合 M∩ N，M ∪N. 解 (1)M＝ { x|2x－ 3>0} ＝ x|x>3 ，

36、 2 N＝ x|1－ 2 ≥ 0 ＝ { x|x≥ 3 或 x<1} ； x－ 1 3 (2) M∩ N＝ { x|x≥3} ， M∪ N＝ { x|x<1 或 x>2} ． 9． (14 分 ) 已知 f(x)是二次函數(shù)，若 f(0) ＝ 0，且 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋1. (1) 求函數(shù) f(x)的解析式； (2) 求函數(shù) y＝ f(x2－2) 的值域． 解 (1)設(shè) f(x)＝ ax2＋ bx＋c (a≠ 0)，又 f(0)＝ 0， ∴ c＝ 0，即 f(

37、x)＝ ax2＋ bx. 又 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 1. ∴ a(x＋ 1)2＋ b(x＋ 1)＝ ax2＋ bx＋ x＋1. ∴ (2a＋ b)x＋ a＋ b＝ (b＋ 1)x＋ 1， 1 2a＋ b＝ b＋ 1 a＝ 2 . ∴ ，解得 1 a＋ b＝ 1 b＝ 2 ∴ f(x)＝ 1 2 1 2 x ＋ x.

38、 2 2 1 2 2 1 2 (2) 由 (1)知 y＝f(x － 2)＝ 2 (x － 2) ＋ 2(x － 2) ＝ 1(x4－3x2＋ 2)＝ 1 x2－ 3 2－ 1， 2228 當(dāng) x2＝ 32時， y 取最小值－ 18. ∴ 函數(shù)  y＝ f(x2－ 2)的值域為  1－8，＋ ∞  . B 組  專項能力提升 (時間： 35 分鐘，滿分：

39、58 分 ) 一、填空題 (每小題 5 分，共 30 分 ) 1． (2012 蘇江 )函數(shù) f(x)＝ 1－ 2log x的定義域為 ________． 6 答案 (0， 6] x>0， 解析 要使函數(shù) f(x)＝ 1－ 2log 6x有意義，則 1－ 2log 6x≥ 0. 解得 0

40、是 2． 設(shè) f(x)＝ x， |x|<1， ____________ ． 答案 [0，＋∞ ) 解析 f(x)的圖象如圖． g(x)是二次函數(shù)， 且 f(g(x)) 的值域是 [0，＋ ∞)，∴g(x)的值域是 [0， ＋ ∞ )． 2x＋ a， x>2， 3． 設(shè)函數(shù) f(x) ＝ 若 f(x)的值域為 R ，則常數(shù) a 的取 x＋ a2 ， x≤ 2， 值范圍是 ______________．

41、 答案 a≥2 或 a≤－ 1 解析 易知兩段函數(shù)都是增函數(shù)，當(dāng) x>2 時， y>4＋ a；當(dāng) x≤ 2 時， y≤ 2＋ a2，要使 f(x) 的值域為 R ，則 4＋ a≤ 2＋ a2，解得 a≥ 2 或 a≤ － 1. 1 1 4． 已知 f x－ x ＝ x2＋x2 ，則 f(3) ＝ ________. 答案 11 解析 ∵ f x－1 ＝ x2＋ 12＝ x－ 1 2＋ 2， x x x ∴ f(x)＝ x2＋ 2， ∴f(3) ＝ 32

42、＋ 2＝11. 5 ． 設(shè) 函 數(shù) g(x) ＝ x2 － 2 (x∈R ) ， f(x) ＝ g x ＋x＋ 4， x2， 由 x≥ g(x)可得－ 1≤ x≤ 2； x2＋ x＋ 2， x<－ 1或x>2， ∴ f(x)＝ x2－ x

43、－ 2， － 1≤x≤ 2. 由 f(x)的圖象可得： 當(dāng) x<－ 1 或 x>2 時， f(x)>f(－ 1)＝ 2， 1 ≤ f(x) ≤f(2) ， 當(dāng)－ 1≤ x≤2 時， f 2 9 9 即－ 4≤ f(x)≤ 0， ∴ f(x) 值域為 － 4， 0 ∪ (2，＋ ∞ )． 6． 設(shè) x≥ 2，則函數(shù) y＝ x＋ 5 x＋ 2 的最小值是 ________． x＋ 1 答案 28

44、 3 解析 [ x＋ 1 ＋ 4][ x＋ 1 ＋ 1] t 2＋ 5t＋ 4 4 y＝ ，設(shè) x＋ 1＝ t，則 t≥ 3，那么 y＝ t ＝ t＋ t ＋ 5，在 x＋ 1 區(qū)間 [2，＋ ∞)上此函數(shù)為增函數(shù)，所以 t＝ 3 時，函數(shù)取得最小值即 28 y ＝ 3 . min 二、解答題 (共 28 分 ) 7． (14 分 ) 已知函數(shù) f(x)＝ x2－ 4ax＋ 2a＋ 6 (a∈ R)． (

45、1) 若函數(shù)的值域為 [0，＋∞ )，求 a 的值； (2) 若函數(shù)的值域為非負數(shù)，求函數(shù) g(a)＝2－ a|a＋ 3|的值域．解 (1)∵ 函數(shù)的值域為 [0，＋ ∞ )， ∴ ＝ 16a2－ 4(2a＋ 6)＝0， ∴ 2a2－ a－ 3＝ 0， ∴ a＝－ 1 或 a＝ 3. 2 (2) ∵ 對一切 x∈ R 函數(shù)值均為非負， ∴ ＝ 16a2 － 4(2a＋ 6) ＝ 8(2a2 － a－ 3)≤0.∴ － 3 1≤ a≤ 2.∴a＋ 3>0， ∴ g(a)＝ 2－ a|a＋ 3|＝－ a2－ 3a＋ 2 ＝－ a＋ 32 2＋17

46、4 a∈ －1， 32 . 3 ∵ 二次函數(shù) g(a)在 － 1，2 上單調(diào)遞減， ∴ g 3 ≤ g(a)≤ g(－ 1)．即－ 19≤ g( a)≤ 4. 24 19 ∴ g(a)的值域為 － 4 ， 4 . 8． (14 分 )已知定義在 [0,6] 上的連續(xù)函數(shù) f(x)，在 [0,3] 上為正比例函數(shù)， 在 [3,6] 上為二次函數(shù)，并且當(dāng) x∈[3,6] 時， f( x)≤ f(5) ＝ 3， f(6)＝ 2，求 f(x)的解析式． 解 由題意，當(dāng) x∈[3,6] 時， 可設(shè) f( x)＝ a(x－ 5)2＋ 3 (a<0)． ∵ f(6)＝ 2，∴ a(6－ 5)2＋ 3＝ 2，解得 a＝－ 1， ∴ f(x)＝－ (x－ 5)2＋ 3＝－ x2＋ 10x－ 22. 當(dāng) x∈ [0,3] 時，設(shè) f(x)＝ kx (k≠ 0)． ∵ x＝ 3 時， f(x)＝－ (3－ 5)2＋ 3＝－ 1， ∴ － 1＝ 3k， k＝－ 1 1 3 ，∴ f(x)＝－ 3x. 1 － 3x 0≤ x<3 ， 故 f(x)＝ － x2＋10x－ 22 3≤x≤ 6 .