《【加練半小時】高考數(shù)學(xué)江蘇專用理科專題復(fù)習：專題8 立體幾何與空間向量 第53練 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【加練半小時】高考數(shù)學(xué)江蘇專用理科專題復(fù)習：專題8 立體幾何與空間向量 第53練 Word版含解析（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、　　　　　　　　　　　　　　　　　 訓(xùn)練目標 (1)會求線面角、二面角；(2)會解決簡單的距離問題． 訓(xùn)練題型 (1)求直線與平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距離． 解題策略 利用定義、性質(zhì)去“找”所求角，通過解三角形求角的三角函數(shù)值，盡量利用特殊三角形求解. 1．如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，點A1在底面ABC上的投影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為________． 2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的體積為，底面是邊長為的正三角形．若P為△A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為______

2、__． 3．如圖所示，在三棱錐S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，則點A到平面SBC的距離為________． 4．如圖，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90，且等腰直角三角形ABD與等邊三角形BCD所在平面垂直，E為BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為________． 5．如圖所示，在三棱錐S－ABC中，△SBC，△ABC都是等邊三角形，且BC＝1，SA＝，則二面角S－BC－A的大小為______________． 6．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD

3、1上運動，給出以下命題： ①異面直線C1P與B1C所成的角為定值； ②二面角P－BC1－D的大小為定值； ③三棱錐D－BPC1的體積為定值； ④異面直線A1P與BC1間的距離為定值． 其中真命題的個數(shù)為________． 7．(2016山東模擬)如圖所示，底面ABC為正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，設(shè)F為EB的中點． (1)求證：DF∥平面ABC； (2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值． 8．(2016遼寧沈陽二中月考) 如圖，在△ABC中，∠ABC＝45，點O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥P

4、O，DA＝AO＝PO. (1)求證：PB∥平面COD； (2)求二面角O－CD－A的余弦值． 9．(2016南通模擬)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一點，且SP＝PD. (1)求直線AB與CP所成角的余弦值； (2)求二面角A－PC－D的余弦值． 第53練　空間角與距離 1. 2. 解析　因為AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1為PA與平面A1B1C1所成的角．因為平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1為PA與平面ABC所成角．因為正三棱柱ABC－A1B1C1

5、的體積為，底面三角形的邊長為，所以S△ABCAA1＝，可得AA1＝.又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝＝，又直線與平面所成的角屬于0，)，所以∠APA1＝. 3. 解析　 作AD⊥CB交CB的延長線于點D，連結(jié)SD，如圖所示． ∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA?平面SAD，AD?平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD內(nèi)，過點A作AH⊥SD于點H，則AH⊥平面SBC，AH的長即為點A到平面SBC的距離．在Rt△SAD中，SA＝3a，A

6、D＝ABsin60＝a.由＝，得AH＝＝＝， 即點A到平面SBC的距離為. 4．45 解析　取BD的中點F，連結(jié)EF，AF(圖略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，則∠AEF就是AE與平面BCD所成的角，由題意知EF＝CD＝BD＝AF，所以∠AEF＝45，即AE與平面BCD所成的角為45. 5．60 6．4 解析　對于①，因為在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動， 在正方體中有B1C⊥平面ABC1D1， 而C1P?平面ABC1D1， 所以B1C⊥C1P， 所以這兩個異面直線所成的角為定值90，故①正確； 對于②，因為二面角P－BC1－D

7、為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角， 而這兩個平面為固定不變的平面， 所以夾角也為定值，故②正確； 對于③，三棱錐D－BPC1的體積還等于三棱錐P－DBC1的體積， 而△DBC1面積一定， 又因為P∈AD1， 而AD1∥平面BDC1， 所以點A到平面BDC1的距離即為點P到該平面的距離， 所以三棱錐的體積為定值，故③正確； 對于④，因為直線A1P和BC1分別位于平面ADD1A1， 平面BCC1B1中，且這兩個平面平行， 由異面直線間的距離定義及求法， 知這兩個平面間的距離即為所求的異面直線間的距離， 所以這兩個異面直線間的距離為定值，故④正確． 綜上可知，

8、真命題的個數(shù)為4. 7．(1)證明　 如圖，過點F作FH∥EA交AB于點H，連結(jié)CH. ∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC， ∴EA∥DC. 又FH∥EA， ∴FH∥DC. ∵F是EB的中點， ∴FH＝AE＝DC. ∴四邊形CDFH是平行四邊形， ∴DF∥CH. 又HC?平面ABC，DF?平面ABC， ∴DF∥平面ABC. (2)解　∵△ABC為正三角形，H為AB的中點， ∴CH⊥AB. ∵EA⊥平面ABC，CH?平面ABC， ∴CH⊥EA. 又EA∩AB＝A，EA?平面AEB，AB?平面AEB， ∴CH⊥平面AEB. ∵DF∥HC， ∴DF⊥平面

9、AEB， ∴AF為DA在平面AEB上的射影， ∴∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角． 在Rt△AFD中，AD＝a，DF＝a， sin∠DAF＝＝， ∴直線AD與平面AEB所成角的正弦值為. 8．(1)證明　因為PO⊥平面ABC，DA∥PO，AB?平面ABC， 所以PO⊥AB，DA⊥AB. 又DA＝AO＝PO，所以∠AOD＝45. 因為OB＝AB， 所以O(shè)A＝AB，所以O(shè)A＝OB， 又AO＝PO，所以O(shè)B＝OP， 所以∠OBP＝45，即OD∥PB. 又PB?平面COD，OD?平面COD， 所以PB∥平面COD. (2)解　 如圖，過A作AM⊥DO，垂足為M

10、， 過M作MN⊥CD于N， 連結(jié)AN， 則∠ANM為二面角O－CD－A的平面角． 設(shè)AD＝a， 在等腰直角三角形AOD中，得AM＝a，在直角三角形COD中，得MN＝a， 在直角三角形AMN中，得AN＝a， 所以cos∠ANM＝. 9．解　 (1)如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AD，AS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)， C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)．設(shè)P(x0，y0，z0)， 由＝，得 (x0，y0，z0－2)＝(0,2，－2)， 所以x0＝0，y0＝，z0＝， 即點P坐標為(0，，)． ＝(－1，－，)，＝(1,0,0)． 設(shè)直線AB與CP所成的角為α， 則cosα＝ ＝ ＝. (2)設(shè)平面APC的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 由于＝(1,2,0)，＝(0，，)， 所以 令y1＝－2，則x1＝4，z1＝1， 則m＝(4，－2,1)． 設(shè)平面DPC的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 由于＝(1,0,0)，＝(－1，－，)， 所以 令y2＝1，則z2＝1，則n＝(0,1,1)． 設(shè)二面角A－PC－D的大小為θ， 由于cos〈m，n〉＝＝－， 由于θ為鈍角， 所以cosθ＝cos〈m，n〉＝－.