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1、標(biāo)準(zhǔn)偏差 相對標(biāo)準(zhǔn)方差的計算公式 準(zhǔn)確度 精密度 誤差 偏差 絕對誤差 平均偏差 標(biāo)準(zhǔn)偏差（n>5） 8-x -# ）M 工億審 或 8-x-fi d - 口 n V同-1 相對誤差（燈 相對平均偏差 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差 5 - X_^X1OO% -xlOO% /JSZ)= -xlOO% P A x 準(zhǔn)確度：測定值與真實值符合的程度 絕對誤差：測量值（或多次測定的平均值）與真（實）值之差稱為絕 對誤差，用8表示。 相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。 絕對誤差可正可負(fù)，可以表明測量儀

2、器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤 差在測量值中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結(jié)果中所占的 比例，衡量相對誤差更有意義。 例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm,該尺測量 的絕對誤差為0.1cm;用刻度1mm的尺測量長度，可以讀準(zhǔn)到0.1mm 該尺測量的絕對誤差為0.1mm 例：分析天平稱量誤差為0.1mg,減重法需稱2次，可能的最大 誤差為0.2mg,為使稱量相對誤差小于0.1%,至少應(yīng)稱量多少樣品？ 解：xlOO% = D0112gxl0t]% < OJU HP w w > 0. 答：稱量樣品量應(yīng)不小于0.2g。 真值（卩）：真值是客觀存在的，但任何測量都存

3、在誤差，故真值只 能逼近而不可測知，實際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值”。 標(biāo)準(zhǔn)值：采用多種可靠的分析方法、由具有豐富經(jīng)驗的分析人員經(jīng)過 反復(fù)多次測定得出的結(jié)果平均值。 精密度：幾次平行測定結(jié)果相互接近的程度。 各次測定結(jié)果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。 偏差：單次測量值與樣本平均值之差： 平均偏差：各次測量偏差絕對值的平均值。 相對平均偏差：平均偏差與平均值的比值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差：各次測量偏差的平方和平均值再開方， 比平均偏差更靈敏 的反映較大偏差的存在，在統(tǒng)計學(xué)上更有意義。 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差（變異系數(shù)） 例:分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：37.45 , 3

4、7.20 , 37.50, 37.30, 37.25 (%，計算測結(jié)果的平均值、平均偏差、相對 平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、變異系數(shù)。 解：7 -31.34% 各慶測量的偏差分別是:0 lb -0.14, -0 04, 0.16, -0 19 d =(0r 11+04 4+ 0.04+0 16+0.19) /5 =0.13% ^M10O%=0 13/37.34=0.35% F S=0J3% RSD=0 13X100%/37.34=a 4% 準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系： 1） 精密度是保證準(zhǔn)確度的先決條件：精密度不符合要求，表示 所測結(jié)果不可靠，失去衡量準(zhǔn)確度的前提。 2） 精密度高不能

5、保證準(zhǔn)確度高。 換言之，準(zhǔn)確的實驗一定是精密的，精密的實驗不一定是準(zhǔn)確的 重復(fù)性試驗按擬定的含量測定方法，對同一批樣品進(jìn)行多次測定（平 行試驗至少5次以上，即n>5），計算相對標(biāo)準(zhǔn)偏差（RSD，—般 要求低于5% 3 4 數(shù)學(xué)表達(dá)式: n值不應(yīng)少于20-30個 1?n ； （工1 — i）2 + （牝—丘）* + …I （工it — ^）2 * S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%） * n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般 * i-物料中某成分的各次測量值, 標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 六個計算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式⑴ 標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計

6、算公式 設(shè)對真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測量 ，其測得值為1仆|2、……In。令測得值I與該量真 值X之差為真差占 O則有 oi = | i - X 02 = | 2 - X On = |n - X 我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)差）O為 =liin n~*3c 1 n i=l (1) 由于真值X都是不可知的，因此真差b占也就無法求得，故式只有理論意義而無實用價值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差b的常用估計一貝塞爾公式 由于真值是不可知的，在實際應(yīng)用中，我們常用n次測量的算術(shù)平均值 -- I (=- f + *??+仁） n 來代表真值。理論上也證明 ，隨著測量次數(shù)的增多，算

7、 術(shù)平均值最接近真值，當(dāng)c 時，算術(shù)平均值就是真值。 于是我們用測得值 h與算術(shù)平均值-匚■:■之差 剩余誤差（也叫殘差） Vi來代替真差 b,即 Vi = Li-l 設(shè)一組等精度測量值為 11、12 則 J — ■- .1 — Vn = ln — L 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差 b與剩余誤差V的關(guān)系為 將上式代入式（1）有 1 n nn — ■n 71 — 1 占Di2 式(2)就是著名的貝塞爾公式 (Bessel)。 它用于有限次測量次數(shù)時標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算。由于當(dāng) ?！?宀八時， :-■■ ■■ — ?:一 廠,可見貝塞爾公式與 b的定義式 ⑴是完全

8、一致的 應(yīng)該指岀，在n有限時，用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的一個估計值。它不是總體標(biāo) 準(zhǔn)偏差b因此，我們稱式⑵為標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的常用估計。為了強(qiáng)調(diào)這一點 ，我們將b的估計值用 “ S表示。于是，將式⑵改寫為 (2) 在求S時，為免去求算術(shù)平均值 ..的麻煩，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有 7 # (易J n 于是，式(2)可寫為 # # # # n n (Z)2 按式(2")求S時，只需求岀各測得值的平方和 和各測得值之和的平方藝 ，即 標(biāo)準(zhǔn)偏差b的無偏估計 8 數(shù)理統(tǒng)計

9、中定義S2為樣本方差 n 工4 -研 t-1 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明 S2是總體方差02的無偏估計。即在大量重復(fù)試驗中 ，S2圍繞02散布，它們之 間沒有系統(tǒng)誤差。而式(2)在n有限時,S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的無偏估計，也就是說S和b之 間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們 ，對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體 ，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的無偏估 計值?為 則?一住一 即Si和S僅相差一個系數(shù) Kb,Kb是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個系數(shù) ，Kb值見表 計算K。時用到 r n + i) = n r( 『()=疔 r(i)= i 表i &值 n a n a 2 1,

10、2533 7 1.W24 20 1.0132 60 L0043 3 L1284 8 1.0362 25 L0105 曲 L0036 4 L0854 9 ” 1,0317 30 80 L0032 5 1.0638 10 L0281 40 1加 w 1.0028 6 L0509 15 1.0180 SO L0051 10C L0025  由表1知，當(dāng)n>30時, 廬，”，丄口甘吧I. 因此，當(dāng)n>30時，式(3)和式(2)之間的 差異可略而不計。在 n=30?50時，最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng) n<10時，由

11、于K。值的影 響已不可忽略，宜用式(3),求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計 將b的定義式(1)中的真值X用算術(shù)平均值一代替且當(dāng)n有限時就得到 刀嘗⑷2 n 式⑷適用于n>50時的情況，當(dāng)n>50時,n和(n-1)對計算結(jié)果的影響就很小了。 2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差b的極差估計由于以上幾個標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式計算量較大 ，不宜現(xiàn)場采用 而極差估計的方法則有運算簡便 ，計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。 極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的 n個樣本測得值中的最大值與最小 值之差。 若對某量作次等精度測量測得 11、… ，且它們服從正態(tài)分

12、布，則 max 1 min 概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式為 10 # S3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的無偏極差估計，d2為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù)，其 值見表2 # r j n i/rfi a 1/血 2 1414 L128 0*886 20 3.735 1 0.268 3 L732 L693 6591 21 3 71% 0.265 4 2.000 2.059 0.486 22 3319 C.262 5 2.236 2.326 賀 <

13、3 3.858 0.259 6 2.450 2戲34 0^5 1 1 24 1 3.895 - 1 0,257 7 2.646 | 2.7W 0370 25 3.931 0.254 8 2腫 1 2.847 0351 4.086 0.245 9 3.00b 2,970 0337 35 4.219 0.237 I 10 3.162 3.078 0325 40 4322 0.231 11 3317 3473 0315 | 43 4415 0.226 12 3伽 3.258 0.307 50

14、4.498 0.222 n 3.606 :3.336 0.300 100 5.025 0499 14 3.742 3,407 0.294 200 5.495 0J82 15 3.873 3.472 0.288 400 5.882 ■ 0J7O 16 gooo 3+532 0.283 500 6.061 0J65 17 ；4.123 3,588 0.279 700 6,289 0J59 18 19 4.243 4359 3.640 1 3.689 0.275 0.271 1000 6.494 0J5

15、4 - - 由表2知，當(dāng)nW 15時，’ ■,因此，標(biāo)準(zhǔn)偏差 b更粗略的估計值為 還可以看岀，當(dāng)200W nW 1000時，蠢噸、?因而又有 ◎ (5") 顯然，不需查表利用式(5)和(5") 了即可對標(biāo)準(zhǔn)偏差值作岀快速估計 ，用以對用貝塞爾公式 及其他公式的計算結(jié)果進(jìn)行校核。 應(yīng)指岀，式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低 ，但當(dāng)5W nW 15時式(5)不僅大大提高了計 算速度，而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時，由于舍去數(shù)據(jù)信息較多，因此誤差較大，為了提高準(zhǔn)確度 這時應(yīng)將測得值分成四個或五個一組 ，先求岀各組的極差 Ri、… ■:,再由各組極差求岀 極差平均

16、值 極差平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 ds 需指岀，此時d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù) n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù) N(=nK)去查表2。再則，分組 時一定要按測得值的先后順序排列 ，不能打亂或顛倒。 標(biāo)準(zhǔn)偏差b的平均誤差估計 平均誤差的定義為 13 # lim 71—* 3C + 021 h |九| n # # (A) 誤差理論給出 4 =0.7979cr Q -(7 5 EMI (證明從略) # 于是 n yn(n — 1) (B) 14 #

17、 由式(A)和式(B)得 殂M /I 點土r仃 從而有 =1.2533 "I n(n — 1) # # 式⑹就是佩特斯(CAF.Peters.1856)公式。用該公式估計 S值，由于\right|V\right|不需平方 故計算較為簡便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實例⑴ 對標(biāo)稱值Ra = 0.160 < math > m < math >的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定 ，順次測得以下15個 數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.

18、77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74 和 1.63 呵，試求該 樣塊Rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。 解：1)先求平均值… L = 1.60 + -12 + 5 I 0 1 7-8 - 14 + 12 + 9+ 17 + 4-4 - 10 | 4 | 4 | 3 15 x 100 # # =1,60 + 27 15 x 100 1,618(< math > ftm < math > i 15 2）再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 若用無偏極差估計公式式 （5）計算，首先將測得的，15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組，每組五

19、個 見表3。 因每組為5個數(shù)據(jù) 按n=5由表2查得 亠=0.43 組號 l_1 l_5 R 1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.19 2 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.31 3 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24 16 # R = 043 x 0.247 = 0.10621 (< math > [im < math 若按常用估計即貝塞爾公式式 （2）,則 =0.0962(< math >

20、 fim < math > i 若按無偏估計公式即式 （3）計算，因n=15，由表1查得Ks = 1.018，則 Si = K^S = 1.018 X 0,0962 = 0.09793(< math > pm < math >) 若按最大似然估計 公式即式（4）計算，則 Sa = 4 1 n \ n -i=l n  \15 X 39.3985 一 24.272\ =0.09296( < math > < math > ) 若按平均誤差估計公式即式 （6）,則 S4= 1.2533 =1.2533 x 1.176 /15 x 14 =0-101

21、7(< math > /zm < math >) 17 # 現(xiàn)在用式（5）對以上計算進(jìn)行校核 .—x 0.247 = 0.0637(< math > pm < math V15 可見以上算得的 S、Si、S2、S3和S4沒有粗大誤差。 由以上計算結(jié)果可知 0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062 即 S2 < S < Si < S4 < S3 可見，最大似然估計值最小，常用估計值S稍大，無偏估計值 s又大，平均誤差估計值 S4再 大，極差估計值 S最大?？v觀這幾個值，它們相當(dāng)接近，最大差值僅為0.01324 □。從理論上講，

22、用無偏估計值和常用估計比較合適 ，在本例中，它們僅相差0.0017 口?？梢韵嘈?，隨著的增大， S、S1、$、S和S4之間的差別會越來越小。 就本例而言,無偏極差估計值 S和無偏估計值 S1僅相差0.0083 （JTI,這說明無偏極差估計是 既可以保證一定準(zhǔn)確度計算又簡便的一種好方法。 JJG102-89《表面粗糙度比較樣塊》 規(guī)定Ra的平均值對其標(biāo)稱值的偏離不應(yīng)超過 +12%?17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的 4%?12%之間。已得本樣塊二 產(chǎn)「 "「廠川：J 「丄:以”小二產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi)，故該樣塊合格。 標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別 標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation

23、) 各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離( 離均差)的平均數(shù)，它是離差平方 和平均后的方根。用b表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 標(biāo) 準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗， A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、 45, B組的分?jǐn)?shù)為 73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是 70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為 17.08 分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為 2.16分，說明A組學(xué)生之間的差距要比 B組學(xué)生之間的差距大得多。 標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation)- 統(tǒng)計學(xué) 名詞。

24、一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo) 準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦 然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來衡量。 有人經(jīng)?；煊镁礁`差(RMSE )與標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation )，實際上 二者并不是一回事。 1.均方根誤差 均方根誤差為了說明樣本的離散程度。 均方根誤差(root-mean-square error ) 亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差，其定義為 i= 1，2， 3，…n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示: 式中，n為測量次數(shù)；di為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計分布是正 態(tài)分布，那

25、么隨機(jī)誤差落在土 b以內(nèi)的概率為68%。 2.標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實驗標(biāo)準(zhǔn)差。 均方根值也稱作為效值，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為 100V而 占空比為0.5的方波信號，如果按平均值計算， 它的電壓只有50V，而按均方根值計算則有 70.71V。這是為什么呢？舉一個例子，有一組 100伏的電池組，每次供電 10分鐘之后停 10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是 10Q電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生 10A的電流和1000W的功率，停電時電流

26、和功率為零。 那么在20分鐘的一個周期內(nèi)其平均功率為 500W，這相當(dāng)于70.71V的直流電向10Q電阻 供電所產(chǎn)生的功率。而 50V直流電壓向10Q電阻供電只能產(chǎn)生的 250W的功率。對于電機(jī) 與變壓器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時間內(nèi)過載，也不會燒壞。 PMTS1.0抽油機(jī)電能圖測試儀對電流、電壓與功率的測試計算都是按有效值進(jìn)行的，不會 因為電流電壓波形畸變而測不準(zhǔn)。這一點對于測試變頻器拖動的電機(jī)特別有用。 均方根誤差 為了說明樣本的離散程度。 對于N1,....Nm,設(shè)N=(N1+...+Nm)/m;則均方根誤差記作： .…一 t=sqrt(((NA2-N1

27、A2)+...+(NA2-NmA2))/(m(m-1))) ; 比如兩組樣本： 第一組有以下三個樣本： 3 , 4, 5 第二組有一下三個樣本： 2，4，6 這兩組的平均值都是 4，但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小, 方差就是表示這個的。 同樣，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(方差開根，因為單位不統(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。 幾種典型平均值的求法 n代表測 (1 )算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè) x1、x2、…、x n為各次的測量值， 量次數(shù)，則算術(shù)平均值為 —岑 (2) (3) 均方根平均值 對數(shù)平均值 (4) 歸結(jié)1nxL-lnx2血魚 20 # (5) 加權(quán)平均值 # # 腫 WL + + 工網(wǎng) # 16