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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆
[A組 基礎演練能力提升]
一、選擇題
1.設m>0,則直線l:(x+y)+1+m=0與圓O:x2+y2=m的位置關系為( )[來源:]
A.相切 B.相交
C.相切或相離 D.相交或相切
解析:圓心到直線l的距離為d=,圓的半徑為r=,∵d-r=-=(m-2+1)
=(-1)2≥0,∴d≥r,故直線l和圓O相切或相離.
答案:C
2.(2013年高考安徽卷)直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為( )
A.1 B.2
C.4 D.4
解析:圓的方程可化為C:(x-1)2+
2、(y-2)2=5,
其圓心為C(1,2),半徑R=.則圓心C到直線的距離d==1.
∴弦長為2=4.
答案:C
3.(2014年黃山一模)已知M(x0,y0)為圓x2+y2=a2(a>0)內(nèi)異于圓心的一點,則直線x0x+y0y=a2與該圓的位置關系是( )
A.相切 B.相交
C.相離 D.相切或相交
解析:因M(x0,y0)為圓x2+y2=a2(a>0)內(nèi)異于圓心的一點,故x+y=a,故直線與圓相離.
答案:C
4.(2013年高考山東卷)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則直線A
3、B的方程為( )
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
解析:如圖,圓心坐標為C(1,0),易知A(1,1).
又kABkPC=-1,且kPC==,
∴kAB=-2.
故直線AB的方程為y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故選A.
答案:A
5.在平面直角坐標系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點,則弦AB的長等于( )[來源:]
A.3 B.2
C. D.1
解析:圓心到直線的距離d==1,所以R2-d2=2,即AB2=4(R2-d2)=4(4-1)=12,
所以A
4、B==2,選B.
答案:B
6.(2013年高考重慶卷)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為( )[來源:]
A.5-4 B.-1
C.6-2 D.
解析:圓C1,C2的圖象如圖所示.
設P是x軸上任意一點,則|PM|的最小值為|PC1|-1,同理|PN|的最小值為|PC2|-3,則|PM|+|PN|的最小值為|PC1|+|PC2|-4.作C1關于x軸的對稱點C1′(2,-3),連接C′1C2,與x軸交于點P,連接PC1,根據(jù)三角形兩邊之和
5、大于第三邊可知|PC1|+|PC2|的最小值為|C′1C2|,則|PM|+|PN|的最小值為5-4.選A.
答案:A
二、填空題
7.已知圓C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直線l:x-y+3=0.當直線l被C截得的弦長為2時,a=________.
解析:依題意,圓心(a,2)到直線l:x-y+3=0的距離d=,于是有4-2=()2,a=-1或--1(舍去).
答案:-1
8.若⊙O:x2+y2=5與⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長是________.
解析:依題意得|OO1|==5,且△OO1
6、A是直角三角形,S△O O1A=|OO1|=|OA||AO1|,因此|AB|===4.
答案:4
9.(2013年高考湖北卷)已知圓O:x2+y2=5,直線l:xcos θ+ysin θ=1.設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k,則k=________.
解析:圓O的圓心(0,0)到直線l:xcos θ+ysin θ=1的距離d=1,而圓的半徑r=,且r-d=-1>1,∴圓O上在直線l的兩側各有兩個點到直線l的距離等于1.
答案:4
三、解答題
10.已知:圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.[來源:]
(1)當a為何值時,直線l與圓C相切;
(
7、2)當直線l與圓C相交于A、B兩點,且|AB|=2時,求直線l的方程.
解析:將圓C的方程x2+y2-8y+12=0配方得標準方程為x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為(0,4),半徑為2.
(1)若直線l與圓C相切.
則有=2.解得a=-.
(2)過圓心C作CD⊥AB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),
得
解得a=-7或a=-1.
故所求直線方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.
11.設直線l的方程為y=kx+b(其中k的值與b無關),圓M的方程為x2+y2-2x-4=0.
(1)如果不論k取何值,直線l與圓M總有兩個不同的交點,求b的取值范圍;
(2)b=1時,l與圓交于
8、A,B兩點,求|AB|的最大值和最小值.
解析:圓M的標準方程為(x-1)2+y2=5,
∴圓心M的坐標為(1,0),半徑為r=.
(1)∵不論k取何值,直線l總過點P(0,b),
∴欲使l與圓M總有兩個不同的交點,必須且只需點P在圓M的內(nèi)部,
即|MP|<,即1+b2<5,
∴-2
9、1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關于直線x+y+2=0對稱.
(1)求圓C的方程;
(2)設Q為圓C上的一個動點,求的最小值;
(3)過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補,O為坐標原點,試判斷直線OP和AB是否平行?請說明理由.
解析:(1)設圓心C(a,b),則
解得.[來源:
則圓C的方程為x2+y2=r2,將點P的坐標代入得r2=2,
故圓C的方程為x2+y2=2.
(2)設Q(x,y),則x2+y2=2,且=(x-1,y-1)(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2,
所以的最小值為-4.
10、
(3)由題意知,直線PA和直線PB的斜率存在,且互為相反數(shù),
故可設PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),
由,
得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.
因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解,所以可得xA=.
同理:xB=.
則kAB=
=
==1=kOP.
所以,直線AB和OP一定平行.
[B組 因材施教備選練習]
1.若圓C: x2+y2+2x-4y+3=0關于直線2ax+by+6=0對稱,則由點(a,b)向圓所作的切線長的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析:圓的標準方程
11、為(x+1)2+(y-2)2=2,所以圓心為(-1,2),半徑為.因為圓關于直線2ax+by+6=0對稱,所以圓心在直線2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,點(a,b)到圓心的距離為d=
=
==.所以當a=2時,d有最小值=3,此時切線長最小,為==4,所以選C.
答案:C
2.(2014年濟南模擬)若雙曲線-=1漸近線上的一個動點P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析:雙曲線的漸近線方程為y=x,即4x3y=0.要使?jié)u近線上的一個動點P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi),則有圓心(m,0)到漸近線的距離d≥4,即d==≥4,解得|m|≥5,即m≥5或m≤-5,所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-5]∪[5,+∞).
答案:(-∞,-5]∪[5,+∞)
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