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1、 精品資料 4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 1． 角的概念 (1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角． (2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k360＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個角不屬于任何一個象限． 2． 弧度制 (1)定義：把長度等于

2、半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)角度制和弧度制的互化：180＝π rad,1＝ rad,1 rad＝. (3)扇形的弧長公式：l＝|α|r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|r2. 3． 任意角的三角函數(shù) 任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三個三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表： 三角函數(shù) 定義域 第一象限符號 第二象 限符號 第三象 限符號 第四象 限符號 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋

3、 tan α {α|α≠kπ＋， k∈Z} ＋ － ＋ － 4. 三角函數(shù)線 如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T. 三角函數(shù)線 　 (Ⅰ)　　　　　(Ⅱ) 　 (Ⅲ)　　　　　(Ⅳ) 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)小于90的角是銳角． (　　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然． (　　) (3)終邊相同的角的同一三角

4、函數(shù)值相等． (　√　) (4)點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α終邊在第二象限． (　√　) (5)α∈(0，)，則tan α>α>sin α. (　√　) (6)α為第一象限角，則sin α＋cos α>1. (　√　) 2． 下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 (　　) A．2kπ＋45 (k∈Z) B．k360＋π (k∈Z) C．k360－315(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z) 答案　C 解析　與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不

5、能混用，所以只有答案C正確． 3． 已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 (　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 答案　C 解析　設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l， 則解得或 從而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 4． 已知角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝________. 答案?。? 解析　因為sin θ＝＝－， 所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8. 5． 函數(shù)y＝的定義域為________． 答案　(k∈Z) 解析　∵2cos x－1≥0，

6、 ∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)． ∴x∈(k∈Z). 題型一　角及其表示 例1　(1)終邊在直線y＝x上的角的集合是________． (2)如果α是第三象限角，那么角2α的終邊落在________． 思維啟迪　(1)利用終邊相同的角的集合進(jìn)行表示，注意對結(jié)果進(jìn)行合并； (2)根據(jù)α的范圍求2α的范圍，再確定終邊位置． 答案　(1){α|α＝kπ＋，k∈Z} (2)第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上 解析　(1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為{α|α＝＋kπ，k∈Z}． (2)∵2k

7、π＋π<α<2kπ＋π，k∈Z， ∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z. ∴角2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上． 思維升華　(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角． (2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一個角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限． 　(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，對于始邊為x軸非負(fù)半軸的角，下列命題中正確的是 (　　) A．第一象限中

8、的角一定是銳角 B．終邊相同的角必相等 C．相等的角終邊一定相同 D．不相等的角終邊一定不同 (2)已知角α＝45，在區(qū)間[－720，0]內(nèi)與角α有相同終邊的角β＝________. 答案　(1)C　(2)－675或－315 解析　(1)第一象限角是滿足2kπ<α<2kπ＋，k∈Z的角，當(dāng)k≠0時，它都不是銳角，與角α終邊相同的角是2kπ＋α，k∈Z；當(dāng)k≠0時，它們都與α不相等，亦即終邊相同的角可以不相等，但不相等的角終邊可以相同． (2)由終邊相同的角關(guān)系知β＝k360＋45，k∈Z， ∴取k＝－2，－1，得β＝－675或β＝－315. 題型二　三角函數(shù)的概念 例2　(

9、1)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ等 于 (　　) A．－ B．－ C. D. (2)若sin αtan α<0，且<0，則角α是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 思維啟迪　(1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個點沒有關(guān)系，因此知道了終邊所在的直線，可在這個直線上任取一點，然后按照三角函數(shù)的定義來計算，最后用倍角公式求值． (2)可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號判斷． 答案　(1)B

10、　(2)C 解析　(1)取終邊上一點(a,2a)，a≠0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號，從而α為第二或第三象限角． 由<0可知cos α，tan α異號，從而α為第三或第四象限角，故α為第三象限角． 思維升華　(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點到原點的距離r. (2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號來確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． 　(1)

11、已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30)，且cos α＝－，則m的值為 (　　) A．－ B. C．－ D. (2)若θ是第二象限角，則________0.(判斷大小) 答案　(1)B　(2)< 解析　(1)∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m>0，∴＝，即m＝. (2)∵θ是第二象限角，∴－10，∴<0. 題型三　扇形的弧長、面積公式的應(yīng)用 例3　已知一扇形的圓心角為α (α>0)，所在圓的半徑為R. (1)若α＝60，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧

12、所在的弓形的面積； (2)若扇形的周長是一定值C (C>0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形有最大面積？ 思維啟迪　(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關(guān)于α的函數(shù)． 解　(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，則 α＝60＝，R＝10，l＝10＝ (cm)， S弓＝S扇－S△＝10－102sin ＝π－＝50 (cm2)． (2)扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝， ∴S扇＝αR2＝α2 ＝α＝≤. 當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時，扇形面積有最大值. 思維升華　涉及弧長和扇形面積的計算時，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單，易

13、記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示．弧長和扇形面積公式：l＝|α|R，S＝|α|R2. 　已知扇形的周長為4 cm，當(dāng)它的半徑為________和圓心角為________弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________． 答案　1 cm　2　1 cm2 解析　設(shè)扇形圓心角為α，半徑為r，則 2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2. ∴S扇形＝|α|r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∴當(dāng)r＝1時(S扇形)max＝1，此時|α|＝2. 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 典例：(12分)(1)求函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域； (2)設(shè)θ是第二象限角，

14、試比較sin ，cos ，tan 的大?。? 思維啟迪　(1)求定義域，就是求使3－4sin2x>0的x的范圍．用三角函數(shù)線求解． (2)比較大小，可以從以下幾個角度觀察： ①θ是第二象限角，是第幾象限角？首先應(yīng)予以確定．②sin ，cos ，tan 不能求出確定值，但可以畫出三角函數(shù)線．③借助三角函數(shù)線比較大?。? 規(guī)范解答 解　(1)∵3－4sin2x>0， ∴sin2x<， ∴－

15、<θ<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z， ∴是第一或第三象限的角． [6分] (如圖陰影部分)，結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得： ①當(dāng)是第一象限角時， sin ＝AB，cos ＝OA，tan ＝CT， 從而得，cos

16、馨提醒　(1)第(1)小題的實質(zhì)是解一個簡單的三角不等式，可以用三角函數(shù)圖象，也可以用三角函數(shù)線．但用三角函數(shù)線更方便．(2)第(2)小題比較大小，由于沒有給出具體的角度，所以用圖形可以更直觀的表示．(3)本題易錯點：①不能確定所在的象限；②想不到應(yīng)用三角函數(shù)線．原因在于概念理解不透，方法不夠靈活. 方法與技巧 1． 在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點．|OP|＝r一定是正值． 2． 三角函數(shù)符號是重點，也是難點，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3． 在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧．

17、失誤與防范 1． 注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角． 2． 角度制與弧度制可利用180＝π rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 3． 已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況. A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題 1． α＝k180＋45(k∈Z)，則α在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 答案　A 解析　45角在第一象限，角α和45角終

18、邊相同或互為反向延長線，∴角α在第一或第三象限． 2． 若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數(shù)為 (　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為r， 所以r＝αr，∴α＝. 3． 角α的終邊過點P(－1,2)，則sin α等于 (　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　由三角函數(shù)的定義， 得sin α＝＝. 4． 若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是 (　　) A．sin α＋cos α<0

19、 B．tan α－sin α<0 C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0 答案　B 解析　在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，則可排除A、C、D，故選B. 5． 給出下列命題： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角； ③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)； ④若sin α＝sin β，則α與β的終邊相同； ⑤若cos θ<0，則θ是第二或第三象限的角． 其中正確命題的個數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3

20、 D．4 答案　A 解析　由于第一象限角370不小于第二象限角100，故①錯；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯；③正確；由于sin ＝sin ，但與的終邊不相同，故④錯；當(dāng)cos θ＝－1，θ＝π時既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤錯．綜上可知只有③正確． 二、填空題 6． 設(shè)α為第二象限角，其終邊上一點為P(m，)，且cos α＝m，則sin α的值為________． 答案　 解析　設(shè)P(m，)到原點O的距離為r， 則＝cos α＝m， ∴r＝2，sin α＝＝＝. 7． 已知角α的終邊上一點的坐標(biāo)為(sin ，cos )，則

21、角α的最小正值為________． 答案　π 解析　∵tan α＝＝＝－， 且sin >0，cos <0， ∴α在第四象限，由tan α＝－，得α的最小正值為π. 8． y＝ 的定義域為________． 答案　{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} 解析　∵sin x≥，作直線y＝交單位圓于A、B兩點，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為 {x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 三、解答題 9． 已知角θ的終邊經(jīng)過點P(－，m) (m≠0)且sin θ＝m，試判斷角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的

22、值． 解　由題意，得r＝， 所以sin θ＝＝m. 因為m≠0，所以m＝，故角θ是第二或第三象限角． 當(dāng)m＝時，r＝2，點P的坐標(biāo)為(－，)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－； 當(dāng)m＝－時，r＝2，點P的坐標(biāo)為(－，－)，角θ是第三象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝. 10．一個扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB. 解　設(shè)圓的半徑為r cm，弧長為l cm， 則解得 ∴圓心角α＝＝2弧度． 如圖，過O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1弧度． ∴AH＝1sin 1＝sin 1(

23、cm)，∴AB＝2sin 1(cm)． B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 1． 設(shè)集合M＝{x|x＝180＋45，k∈Z}，N＝{x|x＝180＋45，k∈Z}，那么(　　) A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? 答案　B 解析　方法一　由于M＝{x|x＝180＋45，k∈Z}＝{…，－45，45，135，225，…}，N＝{x|x＝180＋45，k∈Z}＝{…，－45，0，45，90，135，180，225，…}， 顯然有M?N. 方法二　由于集合M中，x＝180＋45＝k90＋45 ＝45(2k＋1)，2

24、k＋1是奇數(shù)； 而集合N中，x＝180＋45＝k45＋45＝(k＋1)45，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N. 2． 已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝＋＋的值為 (　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　B 解析　由α＝2kπ－(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限， 又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1. 3． 函數(shù)y＝＋ 的定義域是_____________________________________．

25、答案　(k∈Z) 解析　由題意知即 ∴x的取值范圍為＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z. 4． 已知扇形AOB的周長為8. (1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??； (2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB. 解　設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α， (1)由題意可得 解得或 ∴α＝＝或α＝＝6. (2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l2r ≤()2＝()2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝＝2時，扇形面積取得最大值4. ∴r＝2，∴弦長AB＝2sin 12＝4sin 1. 5． 已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合；

26、 (2)求終邊所在的象限； (3)試判斷tan sin cos 的符號． 解　(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上； 由tan α>0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合為 {α|(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z}． (2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋<0，cos <0， 所以tan sin cos 取正號； 當(dāng)在第四象限時，tan <0，sin <0，cos >0， 所以tan sin cos 也取正號． 因此，tan sin cos 取正號．