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1、 精品資料 第八章　立體幾何 學(xué)案38　空間幾何體 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖． 自主梳理 1．多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的上下底面________，側(cè)棱都________且__________，上底面和下底面是________的多邊形．側(cè)棱和底面________的棱柱叫做直棱柱．底面為________的直棱柱叫正棱柱． (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個________的三角形．棱錐

2、的底面是________，且頂點(diǎn)在底面的正投影是________，這樣的棱錐為正棱錐． (3)棱臺可由________________的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個多邊形________．________被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺． 2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做________、________、________，這條直線叫做____．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做________． 半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做________，球

3、面圍成的幾何體叫做________，簡稱____． 3．空間幾何體的直觀圖 畫空間幾何體的直觀圖常用________畫法，其規(guī)則是： (1)在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠xOz＝90，且∠yOz＝90. (2)畫直觀圖時把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，它們相交于點(diǎn)O′，并使∠x′O′y′＝__________________，∠x′O′z′＝90，x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面． (3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于________________________的線段． (4)已知圖形中平行于x軸或

4、z軸的線段，在直觀圖中保持原長度________，平行于y軸的線段，長度變?yōu)開___________． 自我檢測 1．下列四個條件能使棱柱為正四棱柱的是________(填序號)． ①底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形； ②底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面； ③底面是菱形，具有一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直； ④每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱． 2．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓，則這個幾何體一定是________． 3．如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是________． 4．長方體AC1中，從同一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別是a

5、，b，c，則這個長方體的外接球的半徑是________． 5．如圖所示，直觀圖四邊形A′B′C′D′是一個底角為45，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是________． 探究點(diǎn)一　空間幾何體的結(jié)構(gòu) 例1　給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺；③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；④若有兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；⑤存在每個面都是直角三角形的四面體；⑥棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)． 其中正確命題的序號是________． 變式遷移1　下列結(jié)論正

6、確的是________(填序號)． ①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐； ②以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐； ③棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐； ④圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線． 探究點(diǎn)二　空間幾何體的直觀圖 例2　一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于________． 變式遷移2　等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________． 探究點(diǎn)

7、三　簡單組合體的有關(guān)計算 例3　棱長為2的正四面體的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖所示，求圖中三角形(正四面體的截面)的面積． 變式遷移3 如圖，一個正方體內(nèi)接于高為40 cm，底面半徑為30 cm的圓錐，則正方體的棱長是________cm. 1．熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與對應(yīng)直觀圖之間的相互轉(zhuǎn)化，正確地識別和畫出空間幾何體的直觀圖是解決空間幾何體問題的基礎(chǔ)和保證． 2．棱柱的分類(按側(cè)棱與底面的位置關(guān)系)：棱柱 3．正棱錐問題常歸結(jié)到它的高、側(cè)棱、斜高、底面正多邊形、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、底面邊長的一半構(gòu)成的直角三角

8、形中解決． 4．圓柱、圓錐、圓臺、球應(yīng)抓住它們是旋轉(zhuǎn)體這一特點(diǎn)，弄清旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)面、軸截面． 5．用斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積S′與原平面圖形的面積S之間的關(guān)系是S′＝S. (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．下列命題正確的是________(填序號)． ①有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱； ②有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體叫棱錐； ③有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱． 2．如圖為一個簡單多面體的表面展開圖(沿虛線折疊即可還原)則這個多面體的頂點(diǎn)數(shù)為___

9、_____． 3．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角為45，則這個圓臺的高為________cm，母線長為________cm，上、下底面半徑分別為________cm和________cm. 4．如圖所示的幾何體是從一個圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的，現(xiàn)用一個平面去截這個幾何體，若這個平面垂直于圓柱底面所在的平面，那么所截得的圖形可能是圖中的________．(把所有可能的圖的序號都填上) 5．已知水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′(斜二測畫法)是邊長為a的正三角形，則原△ABC

10、的面積為_________________________________________________________． 6．棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的8個頂點(diǎn)都在球O的表面上，E、F分別是棱AA1、DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長為________． 7．(2011四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________． 8．(2011連云港模擬)棱長為a的正四面體ABCD的四個頂點(diǎn)均在一個球面上，則此球的半徑R為________． 二、解答題(共42分) 9．(12分)正四棱臺A

11、C1的高是17 cm，兩底面的邊長分別是4 cm和16 cm，求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高． 10．(14分)用斜二測畫法畫出如圖中水平放置的四邊形OABC的直觀圖． 11．(16分)一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱． (1)用x表示圓柱的軸截面面積S； (2)當(dāng)x為何值時，S最大？ 學(xué)案38　空間幾何體 答案 自主梳理 1．(1)平行　平行　長度相等　全等　垂直　正多邊形　(2)公共頂點(diǎn)　正多邊形　底面中心　(3)平行于棱

12、錐底面 相似　正棱錐　2.圓柱　圓錐　圓臺　軸　底面　球面　球體　球　3.斜二測　(2)45(或135)　(3)x′軸、y′軸或z′軸　(4)不變　原來的一半 自我檢測 1．③ 2．球體 3．60 解析　設(shè)母線長為l，底面半徑為r，則πl(wèi)＝2πr. ∴＝，∴母線與高的夾角為30. ∴圓錐的頂角為60. 4. 解析　長方體的外接球的直徑長為長方體的體對角線長，即2R＝，所以R＝. 5.＋2 解析　把直觀圖還原為平面圖形得： 直角梯形ABCD中，AB＝2， BC＝＋1，AD＝1， ∴面積為(2＋)2＝2＋. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　解決這種判斷題的關(guān)鍵是：

13、①準(zhǔn)確理解棱柱、棱錐、棱臺的概念；②正確運(yùn)用平行、垂直的判定及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，整體把握立體幾何知識． 答案　③④⑤⑥ 解析　 ①錯誤，因為棱柱的底面不一定是正多邊形；②錯誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐，才能得到棱臺；③正確，因為三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；④正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；⑤正確，如圖所示，正方體AC1中的四棱錐C1—ABC，四個面都是直角三角形；⑥正確，由棱臺的概念可知．因此，正確命題的序號是③④⑤⑥. 變式遷移1?、? 解析　 ①錯誤．如圖所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形

14、，但它不是棱錐． ②錯誤．如下圖，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐． ③錯誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．④正確． 例2　解題導(dǎo)引　本題是已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向思維能力．要熟悉運(yùn)用斜二測畫法畫水平放置的直觀圖的基本規(guī)則，注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對應(yīng)線段、角的關(guān)系． 答案　2a2 解析　根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

15、且∠x′O′y′＝45(或135)，所以，若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝S＝S.可以得出一個平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S＝＝2a2. 變式遷移2　 解析　 ∵OE＝＝1，∴O′E′＝，E′F＝， ∴直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝(1＋3)＝. 例3　解題導(dǎo)引　解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對照分析，有機(jī)結(jié)合，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系，為了增加圖形的直觀性，常常畫一個截面圓作為襯托． 解　如圖所示，△ABE為題中的三角

16、形， 由已知得AB＝2，BE＝2＝，BF＝BE＝， AF＝＝ ＝ ， ∴△ABE的面積為 S＝BEAF＝ ＝. ∴所求的三角形的面積為. 變式遷移3 120(3－2) 解析　作軸截面， PO＝40 cm，OA＝30 cm， 設(shè)BC＝x，則O1C＝x， ∴＝，即＝， ∴x＝120(3－2)． 課后練習(xí)區(qū) 1．③ 2．7 解析　沿虛線折疊還原得幾何體的直觀圖如下，則這個多面體的頂點(diǎn)數(shù)為7. 3．14　14　7　21 解析　畫出圓臺的軸截面，如圖，設(shè)O′、O分別是上、下底面的中心，作AE⊥DC于E，則有∠DAE＝45.由于下底面周長是上底面周長的3倍

17、，所以下底面半徑是上底面半徑的3倍，若設(shè)AE＝x，則DE＝x，AB＝x，CD＝3x，AD＝x，于是軸截面的面積為： x(3x＋x)＝392，解得x＝14，則圓臺的高等于14 cm，母線長為14cm，上、下底面半徑分別為7 cm和21 cm. 4．①③ 5.a2 解析　在斜二測畫法中原圖面積與直觀圖面積之比為1∶，則易知S＝(a)2，∴S＝a2. 6. 解析　由題知球O半徑為，球心O到直線EF的距離為，由垂徑定理可知直線EF被球O截得的線段長 d＝2＝. 7．2πR2 解析　方法一　設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為α，則圓柱高為2Rcos α，圓柱底面半徑為Rsin α，∴S圓柱側(cè)

18、＝2πRsin α2Rcos α＝2πR2sin 2α.當(dāng)sin 2α＝1時，S圓柱側(cè)最大為2πR2，此時，S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2. 方法二　設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2. ∴S圓柱側(cè)＝2πr2， S′圓柱側(cè)＝4π－. 令S′圓柱側(cè)＝0，得r＝R.當(dāng)00； 當(dāng)R

19、圓柱側(cè)最大為2πR2. 此時S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2. 8.a 解析　 如圖所示，設(shè)正四面體ABCD內(nèi)接于球O，由D點(diǎn)向底面ABC作垂線，垂足為H，連結(jié)AH，OA， 則可求得AH＝a， DH＝＝， 在Rt△AOH中，2＋2＝R2， 解得R＝a. 9．解　 如圖所示，設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是O1、O，B1C1和BC的中點(diǎn)分別是E1和E，連結(jié)O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，則四邊形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．(4分) ∵A1B1＝4 cm，AB＝16 cm， ∴O1E1＝2 cm，OE＝8 cm， O1B1＝2

20、cm，OB＝8 cm，(8分) ∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361 cm2， E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325 cm2，(10分) ∴B1B＝19 cm，E1E＝5 cm. 答　這個棱臺的側(cè)棱長為19 cm，斜高為5 cm. (12分) 10．解　(1)畫x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45.(4分) (2)在O′x′軸上取D′、B′，使O′D′＝OD，O′B′＝OB(如圖所示)，在O′y′軸上取C′，使O′C′＝OC. 在O′x′軸下方過點(diǎn)D′作D′A′∥O′y′， 使D′A′＝DA.(10分) (3)連結(jié)O′A′，A′B′，C′B′，所得四邊形O′A′B′C′就是四邊形OABC的直觀圖．(14分) 11. 解　(1)畫出圓柱和圓錐的軸截面，如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得＝，解得r＝2－.(6分) 圓柱的軸截面面積 S＝2rx＝2(2－)x ＝－x2＋4x.(12分) (2)∵S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6 ∴當(dāng)x＝3時，S的最大值為6.(16分)