《高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列學案69幾何證明選講》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列學案69幾何證明選講（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 精品資料 選修系列4 學案69　幾何證明選講 (一)相似三角形的進一步認識 導學目標： 1.了解平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性質定理；3.理解直角三角形射影定理． 自主梳理 1．平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等． 2．平行線分線段成比例定理 兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段__________． 推論1　平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或_______

2、_______)，所得的對應線段________． 推論2　平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊________的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應________． 推論3　三角形的一個內角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例． 3．相似三角形的判定 判定定理1　對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應________的兩個三角形相似． 判定定理2　對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且_____

3、_相等的兩個三角形相似． 判定定理3　對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例的兩個三角形相似． 4．相似三角形的性質 (1)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比； (2)相似三角形周長的比等于相似比； (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方． 5．直角三角形射影定理 直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在________________與斜邊的________，斜邊上的高的________等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積． 自我檢測 1．如果梯形的中位線的長

4、為6 cm，上底長為4 cm，那么下底長為________cm. 2．如圖，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，則下列四個結論正確的是(填序號)________． ①＝；②＝；③＝；④＝. 3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CD＝2，BD＝3，則AC＝________. 　　 　　　第3題圖　　　　　　　第4題圖 4．如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，則BD＝________cm. 5．(2011·陜西)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90

5、6;，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. 探究點一　確定線段的n等分點 例1　已知線段PQ，在線段PQ上求作一點D，使PD∶DQ＝2∶1. 變式遷移1　已知△ABC，D在AC上，AD∶DC＝2∶1，能否在AB上找到一點E，使得線段EC的中點在BD上． 探究點二　平行線分線段成比例定理的應用 例2　在△ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使BD＝CE，DE的延長線交BC的延長線于點F.求證：＝. 變式遷移2 如圖，已知AB∥CD∥E

6、F，AB＝a，CD＝b(0<a<b)，AE∶EC＝m∶n(0<m<n)，求EF. 探究點三　相似三角形的判定及性質的應用 例3　如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，過D與BC平行的直線交AB于點E，∠ACE＝∠ABC，求證：AB·CE＝AC·DE. 變式遷移3 如圖，已知?ABCD中，G是DC延長線上一點，AG分別交BD和BC于E、F兩點，證明AF·AD＝AG·BF. 1．用添加平行輔助線的方法構造使用

7、平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件．特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時，一定要注意對應線段，對應邊． 2．利用平行線等分線段定理將某線段任意等分，需要過線段的一個端點作輔助線，在作圖時要注意保留作圖痕跡． 3．在證明兩個或兩個以上的比例式相等時，需要找第三個比例式與它們都相等，可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，也可以考慮用線段替換及等比定理，由相等的傳遞性得出結論． 4．判定兩個三角形相似，根據(jù)題設條件選擇使用三角形相似的判定定理． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．如圖所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正確的有_____

8、___(填序號)． (1)＝；(2)＝；(3)＝；(4)＝. 2．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的一點，過D點作DE∥BC交AC于E.已知＝，則＝__________________________________________________________________. 3．如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，則＋＝________. 4．在直角三角形中，斜邊上的高為6，斜邊上的高把斜邊分成兩部分，這兩部分的比為3∶2，則斜邊上的中線的長為________． 5．(2010·蘇州模擬)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于

9、點O，過點O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，則EF＝________. 6．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC的長為4，則EG＝________. 7．(2010·天津武清一模)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，則DE＝________. 8．如圖所示，BD、CE是△ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則＝________. 二、解答題(共42分) 9．(14分)如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90°

10、，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，交AD于F，求證：＝. 10．(14分)如圖，△ABC中，D是BC的中點，M是AD上一點，BM、CM的延長線分別交AC、AB于F、E. 求證：EF∥BC. 11．(14分)(2010·蘇州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O點，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長線分別相交于點M，N，R，S和P， 求證：PM·PN＝PR·PS. 學

11、案69　幾何證明選講 (一)相似三角形的進一步認識 答案 自主梳理 2．成比例　兩邊的延長線　成比例　相交　成比例　3.相等　夾角　5.斜邊上的射影　乘積　平方 自我檢測 1．8 2．③ 3． 解析　由射影定理：CD2＝AD·BD. ∴AD＝，∴AC＝＝＝. 4． 解析　∵＝＝，∴BD＝cm. 5．4 解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°， ∴CD2＝AD2－AC2＝128， ∴CD＝8. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D， ∴△ABE∽△ADC，∴＝， ∴BE＝＝＝4. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　利用平行線等分線段定理可

12、對線段任意等分，其作圖步驟為：首先作出輔助射線，然后在射線上依次截取任意相同長度的n條線段，最后過輔助線上的各等分點作平行線，確定所求線段的n等分點． 解　在線段PQ上求作點D，使PD∶DQ＝2∶1，就是要作出線段PQ上靠近Q點的一個三等分點，通過線段PQ的一個端點作輔助射線，并取線段的三等分點，利用平行線等分線段定理確定D點的位置． 作法：①作射線PN. ②在射線PN上截取PB＝2a，BC＝a. ③連結CQ. ④過點B作CQ的平行線，交PQ于D. ∴點D即為所求的點． 變式遷移1　 解　假設能找到，如圖，設EC交BD于點F，則F為EC的中點，作EG∥AC交BD于G.

13、 ∵EG∥AC，EF＝FC， ∴△EGF≌△CDF，且EG＝DC， ∴EG綊AD，△BEG∽△BAD， ∴＝＝，∴E為AB的中點． ∴當E為AB的中點時，EC的中點在BD上． 例2　解題導引　證明線段成比例問題，一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法． 證明　作EG∥AB交BC于G，如圖所示， ∵△CEG∽△CAB， ∴＝，即＝＝， 又∵＝，∴＝. 變式遷移2 解　如圖，過點F作FH∥EC，分別交BA，DC的延長線于點G，H，由EF∥AB∥CD及FH∥EC，知AG＝CH＝EF，F(xiàn)G＝AE，F(xiàn)H＝EC.從而FG∶FH

14、＝AE∶EC＝m∶n. 由BG∥DH，知BG∶DH＝FG∶FH＝m∶n. 設EF＝x，則得(x＋a)∶(x＋b)＝m∶n. 解得x＝， 即EF＝. 例3　解題導引　有關兩線段的比值的問題，除了應用平行線分線段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性質求解．解題中要注意觀察圖形特點，巧添輔助線，對解題可起到事半功倍的效果． 證明　方法一　∵AB∥CD， ∴＝，即＝. ① ∵DE∥BC， ∴＝，即＝. ② 由①②得＝， ③ ∵∠FDC＝∠ECF，∠DEC＝∠FEC， ∴△EFC∽△ECD. ∴＝. ④ 由③④得＝， 即AB·CE

15、＝AC·DE. 方法二　∵AB∥CD，DE∥BC， ∴BEDC是平行四邊形． ∴DE＝BC. ∵∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC， ∴△AEC∽△ACB. ∴＝. ∴＝，即AB·CE＝AC·DE. 變式遷移3 證明　因為四邊形ABCD為平行四邊形， 所以AB∥DC，AD∥BC. 所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA. 從而有＝，即AF·AD＝AG·BF. 課后練習區(qū) 1．(4) 解析　由平行線分線段成比例定理可知(4)正確． 2． 解析　由＝知，＝，＝， 故＝. 3．1

16、 解析　∵EF∥BC，∴＝， 又∵FG∥AD，∴＝， ∴＋＝＋＝＝1. 4． 解析　設斜邊上的兩段的長分別為3t,2t，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t·2t，解得t＝(t>0，舍去負根)，所以斜邊的長為5，故斜邊上的中線的長為. 5．15 解析　∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝， ∵OE∥AD，∴＝＝， ∴OE＝AD＝×12＝， 同理可求得OF＝BC＝×20＝， ∴EF＝OE＋OF＝15. 6．2 解析　連結DE，因為AD⊥BC，所以△ADB是直角三角形，則DE＝AB＝BE＝DC.又因為DG⊥CE于G，所以DG平分CE，故E

17、G＝2. 7．6 解析　設DE＝x，∵DE∥AC， ∴＝，解得BE＝. ∴＝＝＝. 又∵AD平分∠BAC，∴＝＝＝， 解得x＝6. 8． 解析　連結DE，延長QP交AB于N， 則 得PQ＝BC. 9．證明　由三角形的內角平分線定理得， 在△ABD中，＝， ①　　　 在△ABC中，＝， ② (4分) 在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC， 即＝. ③ (8分) 由①③得：＝， ④ (12分) 由②④得：＝. (14分) 10．證明　延長AD至G，使DG＝MD，連結BG、CG. ∵BD＝DC，MD＝DG， ∴四邊形BGCM為平行四邊形． (4分) ∴EC∥BG，F(xiàn)B∥CG， ∴＝，＝， ∴＝， (12分) ∴EF∥BC. (14分) 11．證明　∵BO∥PM， ∴＝， (4分) ∵DO∥PS， ∴＝，∴＝. (6分) 即＝， 由BO∥PR　得＝. (10分) 由DO∥PN得＝. (12分) ∴＝，即＝， ∴＝. ∴PM·PN＝PR·PS. (14分)