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1、 精品資料
中檔題目強(qiáng)化練——三角函數(shù)、解三角形
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間:40分鐘)
一、填空題
1.已知角A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角,若sin A+cos A=,則tan A=________.
答案 -
解析 由得
或(舍去),∴tan A=-.
2.函數(shù)y=3cos(x+φ)+2(0<φ<π)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則φ=________.
答案
解析 ∵y=cos x+2的對(duì)稱軸為x=kπ(k∈Z),
∴x+φ=kπ(k∈Z),即x=kπ-φ(k∈Z),令=kπ-φ(k∈Z)得φ=kπ-(k∈Z
2、),又φ∈(0,π),故φ=.
3.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,且f=0,則ω的最小值為________.
答案 2
解析 由題意知ω·+φ=k1π,ω·+φ=k2π+,
其中k1,k2∈Z,兩式相減可得ω=4(k2-k1)+2,
又ω>0,易知ω的最小值為2.
4.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)-sin(ωx+φ),且其圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸為x1=0,x2=,則y=f(x)的最小正周期為________,且在上為________函數(shù).(填“增”“減”)
答案 π 減
解析 由已知條件得f(x)=2
3、cos,
由題意得=,∴T=π.∴T=,∴ω=2.
又∵f(0)=2cos,x=0為f(x)的對(duì)稱軸,
∴f(0)=2或-2,又∵|φ|<,∴φ=-,
此時(shí)f(x)=2cos 2x,在上為減函數(shù).
5.已知函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x-m在上有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是________.
答案 [1,2)
解析 利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化一下,得f(x)=2sin(2x+)-m,
它的零點(diǎn)是函數(shù)y1=2sin(2x+)和y2=m的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的x的值,
∴要在上有兩個(gè)零點(diǎn),y1和y2就要有兩個(gè)交點(diǎn),
結(jié)合函數(shù)y1=2sin在上的圖象,
知道當(dāng)y2=m在[1,2)
4、上移動(dòng)時(shí),兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn).
6.已知△ABC的面積為,AC=,∠ABC=,則△ABC的周長(zhǎng)等于________.
答案 3+
解析 S=acsin∠ABC=,得ac=2; ①
根據(jù)余弦定理cos∠ABC=,得a2+c2=5. ②
由①②可求得a+c=3,則三角形周長(zhǎng)可求.
7.函數(shù)y=tan的對(duì)稱中心為________.
答案 (k∈Z)
解析 ∵y=tan x(x≠+kπ,k∈Z)的對(duì)稱中心為(k∈Z),
∴可令2x+=(k∈Z),解得x=-+(k∈Z).
因此,函數(shù)y=tan的對(duì)稱中心為
(k∈Z).
8.已知函數(shù)f(x)=Ac
5、os(ωx+φ)的圖象如圖所示,f=-,則f(0)=________.
答案
解析 由圖象,可知所求函數(shù)的最小正周期為,
故ω=3.
從函數(shù)圖象可以看出這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,
也就是函數(shù)f(x)滿足f=-f,
當(dāng)x=時(shí),得f=-f=-f(0),
故得f(0)=.
二、解答題
9.(2013·重慶)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a2=b2+c2+bc.
(1)求A;
(2)設(shè)a=,S為△ABC的面積,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此時(shí)B的值.
解 (1)由余弦定理得
cos A===-.
又因?yàn)?<
6、A<π,所以A=.
(2)由(1)得sin A=,
又由正弦定理及a=得
S=absin C=··asin C=3sin Bsin C,
因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)
=3cos(B-C).
所以,當(dāng)B=C,即B==時(shí),S+3cos Bcos C取最大值3.
10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的相交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈時(shí),求f(x)的值域.
7、
解 (1)由最低點(diǎn)為M,得A=2.
由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為得,=,
即T=π,所以ω===2.
由點(diǎn)M在函數(shù)f(x)的圖象上,
得2sin=-2,
即sin=-1.
故+φ=2kπ-,k∈Z,所以φ=2kπ-(k∈Z).
又φ∈,所以φ=,
故f(x)的解析式為f(x)=2sin.
(2)因?yàn)閤∈,所以2x+∈.
當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取得最大值2;
當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取得最小值-1.
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,2].
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間:30分鐘)
1.若0≤sin α≤,且α∈[-2π,0],則α的取值范圍是___
8、_____________.
答案 ∪
解析 根據(jù)題意并結(jié)合正弦線可知,
α滿足∪
(k∈Z),
∵α∈[-2π,0],∴α的取值范圍是
∪.
2.同時(shí)具有下列性質(zhì):“①對(duì)任意x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立;②圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱;③在上是增函數(shù)”的函數(shù)可以是下列中的________.(填序號(hào))
①f(x)=sin;
②f(x)=sin;
③f(x)=cos;
④f(x)=cos.
答案?、?
解析 依題意,知滿足條件的函數(shù)的一個(gè)周期是π,
以x=為對(duì)稱軸,且在上是增函數(shù).
對(duì)于①,其周期為4π,因此不正確;
對(duì)于③,f=-1,但該函數(shù)在上不是增函數(shù),因此
9、③不正確;
對(duì)于④,f≠±1,因此④不正確.
3.已知函數(shù)f(x)=2sin x,g(x)=2sin,直線x=m與f(x),g(x)的圖象分別交于M、N兩點(diǎn),則MN的最大值為________.
答案 2
解析 構(gòu)造函數(shù)F(x)=2sin x-2cos x=2sin,故最大值為2.
4.曲線y=2sincos與直線y=在y軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1,P2,P3,…,則|P2P4|=________.
答案 π
解析 y=2sincos
=2sin·cos=2sin2
=1-cos=1+sin 2x,|P2P4|恰為一個(gè)周期的長(zhǎng)度π.
5.已知
10、函數(shù)f(x)=(sin2x-cos2x)-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)設(shè)x∈,求f(x)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.
解 (1)∵f(x)=-(cos2x-sin2x)-2sin xcos x
=-cos 2x-sin 2x=-2sin,∴f(x)的最小正周期為π.
(2)∵x∈,∴-≤2x+≤π.
∴-≤sin≤1.∴f(x)的值域?yàn)閇-2,].
∵當(dāng)y=sin遞減時(shí),f(x)遞增,令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
則kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈,∴≤x≤.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
6.在斜三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且=.
(1)求角A;
(2)若>,求角C的取值范圍.
解 (1)∵=-2cos B,=-,
又∵=,∴-2cos B=.
而△ABC為斜三角形,∴cos B≠0,∴sin 2A=1.
∵A∈(0,π),∴2A=,A=.
(2)∵B+C=,
∴==
=+tan C>,
即tan C>1.∵0<C<,∴<C<.