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高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【36】基本不等式解析版

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):43075737 上傳時(shí)間:2021-11-29 格式:DOC 頁(yè)數(shù):14 大?。?14.50KB
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1、 專題三十六 基本不等式 【高頻考點(diǎn)解讀】 1.了解基本不等式的證明過(guò)程.  2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題. 【熱點(diǎn)題型】 題型一 基本不等式 例1、函數(shù)f(x)=x+(x>1)的最小值為(  ) A.11       B.5 C.6 D.7 【提分秘籍】 1.基本不等式成立的條件是a,b都是正數(shù).在解題時(shí),如果a,b為負(fù)數(shù),可提取負(fù)號(hào),創(chuàng)造變量為正數(shù)的條件,再利用基本不等式解題. 2.在運(yùn)用基本不等式的變形時(shí),注意一定要驗(yàn)證它們成立的條件是否滿足. 【舉一反三】 已知正數(shù)x,y滿足+=

2、1,則x+2y的最小值為_(kāi)_______. 【熱點(diǎn)題型】 題型二 利用基本不等式求最值 例2、若不等式m≤+在x∈(0,1)時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)m的最大值為(  ) A.9    B.    C.5    D. 【提分秘籍】 1.利用基本不等式求最值時(shí)要注意: (1)基本不等式中涉及的各數(shù)(或式)均為正; (2)和或積為定值; (3)等號(hào)能否成立. 即要滿足“一正、二定、三相等”的條件.另外需注意變形公式的靈活運(yùn)用及通過(guò)對(duì)原代數(shù)式或解析式的拆分來(lái)創(chuàng)造利用公式的條件. 2. 不等式求最值常用的變形方法 (1)變符號(hào);(2)拆項(xiàng);(3)添項(xiàng);(4)湊系數(shù);(5)同除

3、構(gòu)造ax+型. 【舉一反三】 若點(diǎn)A(1,1)在直線mx+ny-2=0上,其中mn>0,則+的最小值為_(kāi)_______. 【熱點(diǎn)題型】 題型三 條件最值問(wèn)題 例3、(高考天津卷)設(shè)a+b=2,b>0,則當(dāng)a=________時(shí),+取得最小值. 【提分秘籍】 利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是分析條件如何用,主要有兩種思路 (1)對(duì)條件使用基本不等式建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解; (2)條件變形進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值. 【舉一反三】 已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,則9x+3y的最小值為(  ) A.2 B.

4、12 C.6 D.3 【熱點(diǎn)題型】 題型四 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 例4、為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策,某廠家擬在舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用t(t≥0)萬(wàn)元滿足x=4-(k為常數(shù)).如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分). (1)將該廠家該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù); (2)該廠家的年促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家利

5、潤(rùn)最大? 【提分秘籍】 在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要注意以下四點(diǎn) (1)設(shè)變量時(shí)一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù); (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,確定函數(shù)的定義域; (3)在定義域內(nèi)只需再利用基本不等式,求出函數(shù)的最值; (4)回到實(shí)際問(wèn)題中去,寫出實(shí)際問(wèn)題的答案. 【舉一反三】 某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備,該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元,此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低,該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為(  ) A.10 B.11 C.13 D.21

6、 【熱點(diǎn)題型】 題型五 利用基本不等式求解三元函數(shù)的最值策略 例5、 (高考山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時(shí),+-的最大值為(  ) A.0      B.1 C. D.3 【提分秘籍】利用基本不等式求解三元函數(shù)的最值策略 近幾年三元函數(shù)的最值逐漸成為高考的熱點(diǎn),主要考查考生的變形推理能力、構(gòu)造能力、化歸能力.求解時(shí)要注意以下二種策略的應(yīng)用: 1. 消元化三元為二元后使用基本不等式:由條件,分離一元后代入所求函數(shù)式中,化三元為二元,再分解變形構(gòu)造基本不等式的條件求解,注意等號(hào)成立的條件.

7、 2. 變形條件構(gòu)造定值、直接使用基本不等式求最值:觀察分解條件與所求函數(shù)式的結(jié)構(gòu),變形分解構(gòu)造出積式和為定值后,直接使用基本不等式求最值,注意等號(hào)成立的條件. 【舉一反三】 若a,b,c>0,且a2+ab+ac+bc=4,則2a+b+c的最小值為_(kāi)_______. 【高考風(fēng)向標(biāo)】 1.(20xx重慶卷) 若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是(  ) A.6+2  B.7+2  C.6+4  D.7+4  2.(20xx湖北卷) 某項(xiàng)研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))與車流速度v(假設(shè)車

8、輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長(zhǎng)l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=. (1)如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為_(kāi)_______輛/小時(shí); (2)如果限定車型,l=5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時(shí). 3.(20xx江蘇卷) 若△ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是______. 4.(20xx遼寧卷) 對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí),++的最小值為_(kāi)_______. 5.(20xx山東卷) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+

9、=1(a>b>0)的離心率為,直線y=x被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為. (1)求橢圓C的方程. (2)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn)).點(diǎn)D在橢圓C上,且AD⊥AB,直線BD與x軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn).  (i)設(shè)直線BD,AM的斜率分別為k1,k2,證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2,并求出λ的值;  (ii)求△OMN面積的最大值. 6.(20xx福建卷) 若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是(  ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 7.(20xx陜西卷) 在如圖1-3所示的銳角三角形空地

10、中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)_____(m). 圖1-3 8.(20xx四川卷) 已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得最小值,則a=________. 【隨堂鞏固】 1.已知a>0,且b>0,若2a+b=4,則的最小值為(  ) A.    B.4    C.    D.2 2.設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項(xiàng),則+的最小值為(  ) A.2 B. C.4 D.8 3.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,則n的最大值為(  ) A.10 B.9 C.8 D.7

11、 答案:B 4.若直線ax+by-1=0(a,b∈(0,+∞))平分圓x2+y2-2x-2y-2=0,則+的最小值為(  ) A.4 B.3+2 C.2 D.5 5.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為(  ) A. B. C.5 D.6 6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2)∪(4,+∞) B.(-∞,-4)∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) 7.已知向量a=(m,1),b=(1-n, 1),m>0,n>0,若a∥b,則+

12、的最小值是________. 8.已知log2a+log2b≥1,則3a+9b的最小值為_(kāi)_______. 9.某種飲料分兩次提價(jià),提價(jià)方案有兩種,方案甲:第一次提價(jià)p%,第二次提價(jià)q%;方案乙:每次都提價(jià)%,若p>q>0,則提價(jià)多的方案是________. 10.已知a>0,b>0,c>0,d>0.求證:+≥4. 11.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0, 求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值. 12.某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元,年銷售8萬(wàn)件. (1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若價(jià)格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2 000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價(jià)最多為多少元? (2)為了擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量,公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革,并提高定價(jià)到x元.公司擬投入(x2-600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用,投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用,投入x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn):當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí),才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總收入之和?并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).

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