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1、
專(zhuān)題三十七 合情推理與演繹推理
【高頻考點(diǎn)解讀】
1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.
2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.
3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.
【熱點(diǎn)題型】
題型一 合情推理
例1、平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1;外接圓面積為S2,則=,推廣到空間可以得到類(lèi)似結(jié)論;已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則=( )
A. B. C. D.
【提分秘籍】
1.合
2、情推理是合乎情理的推理,它包括歸納推理和類(lèi)比推理,它們都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類(lèi)比,然后提出猜想的推理.
2.在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí),要盡量從本質(zhì)上去類(lèi)比,不要被表面現(xiàn)象所迷惑,否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類(lèi)比,就會(huì)犯機(jī)械類(lèi)比的錯(cuò)誤.
3. 常見(jiàn)的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類(lèi)
(1)數(shù)的歸納包括數(shù)學(xué)歸納和式子歸納,解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí),需要細(xì)心觀察,尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系,同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí),如等差數(shù)列、等比數(shù)列等.
(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納.
【舉一反三】
用火柴棒擺“金魚(yú)”,如圖所示:
按照上面的
3、規(guī)律,第n條“金魚(yú)”需要火柴棒的根數(shù)為_(kāi)_______.
答案:6n+2
【熱點(diǎn)題型】
題型二 演繹推理
例2、已知函數(shù)f(x)=-(a>0且a≠1).
(1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
【提分秘籍】
1.在數(shù)學(xué)中,通常由已知條件歸納出一個(gè)結(jié)論,或運(yùn)用類(lèi)比推理給出某個(gè)結(jié)論,再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行嚴(yán)格證明.也就是說(shuō),合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證,而演繹推理的內(nèi)容一般是通過(guò)合情推理獲得的.在前提和推理形式都正確的情況下,通過(guò)演繹推理所推出的結(jié)論一定是正確的.
2. 演繹推理是
4、由一般到特殊的推理,常用的一般模式為三段論,演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系,解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提,一般地,若大前提不明確時(shí),可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.
【舉一反三】
“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而y=x是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以y=x是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯(cuò)誤是( )
A.大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
B.小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
C.推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
D.大前提和小前提錯(cuò)都導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
【熱點(diǎn)題型】
題型三 類(lèi)比推理
例3、 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),則am+n=.類(lèi)比等差數(shù)列
5、{an}的上述結(jié)論,對(duì)于等比數(shù)列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),則可以得到bm+n=________.
【提分秘籍】
類(lèi)比推理的應(yīng)用一般為類(lèi)比定義、類(lèi)比性質(zhì)和類(lèi)比方法
(1)類(lèi)比定義:在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類(lèi)比推理型試題時(shí),可以借助原定義來(lái)求解.
(2)類(lèi)比性質(zhì):從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手,提出類(lèi)比推理型問(wèn)題,求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別,深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵;
(3)類(lèi)比方法:有一些處理問(wèn)題的方法具有類(lèi)比性,我們可以把這種方法類(lèi)比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求解中,注意知識(shí)的遷移.
【舉一反
6、三】
在等比數(shù)列{an}中,若r, s,t是互不相等的正整數(shù),則有等式aaa=1成立.類(lèi)比上述性質(zhì),相應(yīng)地,在等差數(shù)列{bn}中,若r,s,t是互不相等的正整數(shù),則有等式________成立.
【熱點(diǎn)題型】
題型四 情推理與證明的交匯創(chuàng)新問(wèn)題
例4、某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):
①sin213+cos217-sin 13cos 17;
②sin215+cos215-sin 15cos 15;
③sin218+cos212-sin 18cos 12;
④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;
⑤s
7、in2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.
(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
【提分秘籍】
1.解決本題的關(guān)鍵
(1)正確應(yīng)用三角恒等變換,用一個(gè)式子把常數(shù)求出來(lái).
(2)通過(guò)觀察各個(gè)等式的特點(diǎn),找出共性,利用歸納推理正確得出一個(gè)三角恒等式,并給出正確的證明.
2. 合情推理與證明的交匯問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的又一創(chuàng)新點(diǎn),三角恒等式的推理與證明相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中,解決此類(lèi)問(wèn)題首先要通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性,然后把這種相似性推廣到一個(gè)明確表達(dá)的一般命題,最后進(jìn)行證
8、明檢驗(yàn).
【舉一反三】
已知橢圓具有性質(zhì):若M,N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時(shí),kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線-=1寫(xiě)出具有類(lèi)似特征的性質(zhì),并加以證明.
【高考風(fēng)向標(biāo)】
1.(20xx福建卷) 已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個(gè)關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個(gè)正確,則100a+10b+c等于________.
2.(20xx全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ) 甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)B城市.乙說(shuō):我
9、沒(méi)去過(guò)C城市.丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市.
由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)_______.
3.(20xx陜西卷) 已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,則f20xx(x)的表達(dá)式為_(kāi)_______.
4.(20xx湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱(chēng)點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱(chēng)該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖1-3中△ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4.
圖1-3
(1
10、)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是________;
(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù),若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=________(用數(shù)值作答).
5.(20xx山東卷)定義“正對(duì)數(shù)”:ln+x=現(xiàn)有四個(gè)命題:
①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln a+ln+b;
③若a>0,b>0,則ln+≥ln+a-ln+b;
④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.
其中的真命題有________.(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))
11、
6.(20xx陜西卷)觀察下列等式
(1+1)=21
(2+1)(2+2)=2213
(3+1)(3+2)(3+3)=23135
……
照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為_(kāi)_____________.
【隨堂鞏固】
1.通過(guò)圓與球的類(lèi)比,由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中,以正方形的面積為最大,最大值為2R2”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為( )
A.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為2R2
B.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為3R3
C.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為
D.半徑為R的球的內(nèi)接六面
12、體中,以正方體的體積為最大,最大值為
2.如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6,那么稱(chēng)a為“好數(shù)”(如:6,24,2 013等均為“好數(shù)”),將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2 013,則n=( )
A.50 B.51
C.52 D.53
3.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin (x2+1)是奇函數(shù),以上推理( )
A.結(jié)論正確 B.大前提不正確
C.小前提不正確 D.全不正確
4.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)可得到不等式x+≥2,x+=++2≥3,由此可以推廣為x+≥n+1,取
13、值p等于( )
A.nn B.n2
C.n D.n+1
5.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=;類(lèi)比這個(gè)結(jié)論可知:四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球的半徑為R,四面體S-ABC的體積為V,則R=( )
A. B.
C. D.
6.給出下列三個(gè)類(lèi)比結(jié)論:
①(ab)n=anbn與(a+b)n類(lèi)比,則有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類(lèi)比,則有sin(α+β)=sin αsin β;
③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+
14、b)2類(lèi)比,則有(a+b)2=a2+2ab+b2.
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來(lái)解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型:數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)學(xué)2,3出現(xiàn)在第2行;數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行,依次類(lèi)推,則(1)按網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作順序第n行第1個(gè)數(shù)字(如第2行第1個(gè)數(shù)字為2,第3行第1個(gè)數(shù)字為4,…)是________;(2)第63行從左至右的第3個(gè)數(shù)字應(yīng)是________.
8.定義映射f:A→B,其中A={(m,n)}|m,n∈R},B=R,已知對(duì)所有的有序正整數(shù)對(duì)(m,n)滿足下述
15、條件:
①f(m,1)=1;②若n>m,f(m,n)=0;③f(m+1,n)=n[f(m,n)+f(m,n-1)],則f(2,2)=________,f(n,2)=________.
9.平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類(lèi)似的性質(zhì),例如在三角形中:(1)三角形兩邊之和大于第三邊;(2)三角形的面積S=底高;(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的;……
請(qǐng)類(lèi)比上述性質(zhì),寫(xiě)出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論.
10.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N*,猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,這個(gè)猜想正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
11.集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的:
①函數(shù)f(x)的定義域是[0,+∞);
②函數(shù)f(x)的值域是[-2,4);
③函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).
試分別探究下列問(wèn)題:
(1)判斷函數(shù)f1(x)=-2(x≥0)及f2(x)=4-6x(x≥0)是否屬于集合A,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)對(duì)于(1)中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)f(x),不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否對(duì)于任意的x≥0恒成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.