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1、
專題二十三 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用
【高頻考點(diǎn)解讀】
能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.
【熱點(diǎn)題型】
題型一 考查測(cè)量距離
例1、如圖所示,有兩座建筑物AB和CD都在河的對(duì)岸(不知道它們的高度,且不能到達(dá)對(duì)岸),某人想測(cè)量?jī)勺ㄖ锛忭擜、C之間的距離,但只有卷尺和測(cè)量?jī)x兩種工具.若此人在地面上選一條基線EF,用卷尺測(cè)得EF的長(zhǎng)度為a,并用測(cè)角儀測(cè)量了一些角度:∠AEF=α,∠AFE=β,∠CEF=θ,∠CFE=φ,∠AEC=γ.請(qǐng)你用文字和公式寫出計(jì)算A、C之間距離的步驟和結(jié)果.
【提分秘籍】求距離問(wèn)
2、題時(shí)要注意
(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形,要首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知?jiǎng)t直接解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解;
(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計(jì)算的定理.
【舉一反三】
隔河看兩目標(biāo)A與B,但不能到達(dá),在岸邊選取相距 km的C,D兩點(diǎn),同時(shí),測(cè)得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,∠ADB=45(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩目標(biāo)A,B之間的距離.
【熱點(diǎn)題型】
題型二 考查高度問(wèn)題
例2、如圖,在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30,測(cè)得湖中之影的俯角為45,則云距湖面的高度為(
3、精確到0.1 m)( )
A.2.7 m B.17.3 m
C.37.3 m D.373 m
【提分秘籍】求解高度問(wèn)題首先應(yīng)分清
(1)在測(cè)量高度時(shí),要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)視線與水平線的夾角;
(2)準(zhǔn)確理解題意,分清已知條件與所求,畫出示意圖;
(3)運(yùn)用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問(wèn)題的答案,注意方程思想的運(yùn)用.
【舉一反三】
如圖,為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高,先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60,再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D,測(cè)得∠BDC=45,
4、則塔AB的高是________米.
【熱點(diǎn)題型】
題型三 考查方位角
例3、如圖,我國(guó)的海監(jiān)船在D島海域例行維權(quán)巡航,某時(shí)刻航行至A處,此時(shí)測(cè)得其東北方向與它相距16海里的B處里一外國(guó)船只,且D島位于海監(jiān)船正東14海里處.
(1)求此時(shí)該外國(guó)船只與D島的距離;
(2)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn),此外國(guó)船只正以每小時(shí)4海里的速度沿正南方向航行.為了將該船攔截在離D島12海里處,不讓其進(jìn)入D島12海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值.
(參考數(shù)據(jù):sin 3652′≈0.6,sin 5308′≈0.8)
故海監(jiān)船的航向?yàn)楸逼珫|約90-3652′=5308′
5、,速度的最小值為每小時(shí)20海里.
【提分秘籍】
解決方位角問(wèn)題其關(guān)鍵是弄清方位角概念.結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇正、余弦定理解三角形,同時(shí)注意平面圖形的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.
【舉一反三】
如圖,一船在海上自西向東航行,在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角,前進(jìn)m km后在B處測(cè)量該島的方位角為北偏東β角,已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當(dāng)α與β滿足條件________時(shí),該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).
【熱點(diǎn)題型】
題型四 考查函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用
例4、如圖所示,一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時(shí)的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向?yàn)槠囆旭?/p>
6、方向),汽車開(kāi)動(dòng)的同時(shí),在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5公里、距離公路線的垂直距離為3公里的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī).問(wèn)騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望,此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少公里?
【提分秘籍】
函數(shù)思想在解三角形中常與余弦定理應(yīng)用及函數(shù)最值求法相綜合,此類問(wèn)題綜合性較強(qiáng),能力要求較高,要求考生要有一定的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
解答本題利用了函數(shù)思想,求解時(shí)把速度表示為時(shí)間的函數(shù),利用函數(shù)最值求法完成解答,注意函數(shù)中以為整體構(gòu)造二次函數(shù),求最值.
【舉一反三】
如圖所示,已知樹(shù)頂A離地面米,樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面米,某人
7、在離地面米的C處看此樹(shù),則該人離此樹(shù)________米時(shí),看A,B的視角最大.
【高考風(fēng)向標(biāo)】
1.(20xx江蘇卷) 如圖16所示,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.
(1)求新橋BC的長(zhǎng).
(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?
圖16
2.(20xx全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ] 如圖1
8、3,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45,以及∠MAC=75,從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60.已知山高BC=100 m,則山高M(jìn)N=________m.
圖13
3.(20xx四川卷) 如圖13所示,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時(shí)氣球的高度是60 m,則河流的寬度BC等于( )
圖13
A.240(-1)m B.180(-1)m
C.120(-1)m D.30(+1)m
4.(20xx福建卷) 如圖1-6,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90,OP=2 ,點(diǎn)
9、M在線段PQ上.
(1)若OM=,求PM的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)N在線段MQ上,且∠MON=30,問(wèn):當(dāng)∠POM取何值時(shí),△OMN的面積最小?并求出面積的最小值.
圖1-6
5.(20xx江蘇卷) 如圖1-4,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.
現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min,山路AC長(zhǎng)為1 260 m,經(jīng)測(cè)
10、量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的長(zhǎng);
(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
圖1-4
【隨堂鞏固】
1.有一長(zhǎng)為10 m的斜坡,傾斜角為75,在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?,通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30,則坡底要延長(zhǎng)( )
A.5 m B.10 m
C.10 m D.10 m
2.一船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75,距燈塔68海里的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向N處,則該船航行
11、的速度為( )
A.海里/小時(shí) B.34海里/小時(shí)
C.海里/小時(shí) D.34海里/小時(shí)
3.甲船在島A的正南B處,以每小時(shí)4千米的速度向正北航行,AB=10千米,同時(shí)乙船自島A出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)?,?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間為( )
A.分鐘 B.小時(shí)
C.21.5分鐘 D.2.15小時(shí)
4.如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105后,就可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)間的距離為( )
A.50 m B.50 m
C.25
12、 m D. m
5.地上畫了一個(gè)角∠BDA=60,某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā),沿角的一邊DA行走10米后,拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)∠BDA的另一邊BD上的一點(diǎn),我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N,則N與D之間的距離為( )
A.14米 B.15米 C. 16米 D.17米
6.已知等腰三角形的面積為,頂角的正弦值是底角的正弦值的倍,則該三角形的一腰長(zhǎng)為( )
A. B. C.2 D.
7.如圖,在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng),一條搜救犬從A點(diǎn)出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象,然后向右轉(zhuǎn)105,行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象,這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135回到出
13、發(fā)點(diǎn),那么x=________.
8.一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向,這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)_______km.
9.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45,沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是________ m.
10.如圖,在某平原地區(qū)一條河的彼岸有一建筑物,現(xiàn)在需要測(cè)量其高度AB.由于雨季河寬水急不能涉水,只能在此岸測(cè)量.現(xiàn)有的測(cè)
14、量器材只有測(cè)角儀和皮尺.現(xiàn)在選定了一條水平基線HG,使得H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上.
請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方法測(cè)出建筑物的高度,并說(shuō)明理由.(測(cè)角儀的高為h)
11.如圖,當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救.甲船立即前往救援,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里的C處的乙船.
(1)求處于C處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離;
(2)設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援,其方向向成θ角,求f(x)=sin2θsin x+cos2θcos x(x∈R)的值域.
12.A,B,C是一條直線上的三個(gè)點(diǎn),AB=BC=1 km,從這三點(diǎn)分別遙望一座電視塔P,A處看塔,塔在東北方向,B處看塔,塔在正東方向,C處看塔,塔在南偏東60方向.求塔到直線AC的距離.
13.某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤,現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi),設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路,如圖所示.為充分利用現(xiàn)有材料,邊BC,CD用一根長(zhǎng)為5米的材料彎折而成,邊BA,AD用一根長(zhǎng)為9米的材料彎折而成,要求∠A和∠C互補(bǔ),且AB=BC.
(1)設(shè)AB=x米,cos A=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范圍;
(2)求四邊形ABCD面積的最大值.