《精修版人教A版數學選修44：第1講4柱坐標系與球坐標系簡介【教學參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《精修版人教A版數學選修44：第1講4柱坐標系與球坐標系簡介【教學參考】（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 四柱坐標系與球坐標系簡介 課標解讀 1.了解柱坐標系、球坐標系的意義，能用柱坐標系、球坐標系刻畫簡單問題中的點的位置． 2．知道柱坐標、球坐標與空間直角坐標的互化關系與公式，并用于解題. 1．柱坐標系 圖1－4－1 如圖1－4－1所示，建立空間直角坐標系Oxyz.設P是空間任意一點．它在Oxy平面上的射影為Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示點Q在平面Oxy上的極坐標，這時點P的位置可用有序數組(ρ，θ，z)(z∈R)表示．建立了空間的點與有序數組(ρ，θ，z)之間

2、的一種對應關系，把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系，有序數組(ρ，θ，z)叫做點P的柱坐標，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R. 2．球坐標系 圖1－4－2 建立如圖1－4－2所示的空間直角坐標系Oxyz.設P是空間任意一點，連接OP，記|OP|＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ.設P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的最小正角為θ.這樣點P的位置就可以用有序數組(r，φ，θ)表示．這樣，空間的點與(r，φ，θ)之間建立了一種對應關系．把建立上述對應關系的坐標系叫做球坐標系(或空間極坐標系)． 有序數組(r，φ，θ)叫做點P

3、的球坐標，記做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)． 3．空間直角坐標與柱坐標的轉化 空間點P(x，y，z)與柱坐標(ρ，θ，z)之間的變換公式為 4．空間直角坐標與球坐標的關系 空間點P(x，y，z)與球坐標(r，φ，θ)之間的變換公式為 1．要刻畫空間一點的位置，就距離和角的個數來說有什么限制？ 【提示】　空間點的坐標都是三個數值，其中至少有一個是距離． 2．在柱坐標系中，方程ρ＝1表示空間中的什么曲面？在球坐標系中，方程r＝1分別表示空間中的什么曲面？ 【提示】　ρ＝1表示以z軸為中心，以1為半徑的圓柱面；球坐標系中，方程r＝1表示球心在原點的單位

4、球面． 3．空間直角坐標系、柱坐標系和球坐標系的聯(lián)系和區(qū)別有哪些？ 【提示】　(1)柱坐標系和球坐標系都是以空間直角坐標系為背景，柱坐標系中一點在平面xOy內的坐標是極坐標，豎坐標和空間直角坐標系的豎坐標相同；球坐標系中，則以一點到原點的距離和兩個角刻畫點的位置． (2)空間直角坐標系、柱坐標系和球坐標系都是空間坐標系，空間點的坐標都是三個數值的有序數組. 點的柱坐標與直角坐標互化 　(1)設點M的直角坐標為(1,1,1)，求它的柱坐標系中的坐標． (2)設點N的柱坐標為(π，π，π)，求它的直角坐標． 【思路探究】　(1)已知直角坐標系中的直角坐標化為柱坐標，利用公式求

5、出ρ，θ即可． (2)已知柱坐標系中的柱坐標化為直角坐標，利用公式求出x，y，z即可． 【自主解答】　(1)設M的柱坐標為(ρ，θ，z)， 則由解之得，ρ＝，θ＝. 因此，點M的柱坐標為(，，1)． (2)設N的直角坐標為(x，y，z)， 則由得 ∴因此，點N的直角坐標為(－π，0，π)． 1．由直角坐標系中的直角坐標求柱坐標，可以先設出點M的柱坐標為(ρ，θ，z)，代入變換公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝，求θ，在求θ的時候特別注意角θ所在的象限，從而確定θ的取值． 2．點的柱坐標和直角坐標的豎坐標相同． 　根據下列點的柱坐標，

6、分別求直角坐標： (1)(2，，3)；(2)(，，5)． 【解】　設點的直角坐標為(x，y，z)． (1) 因此所求點的直角坐標為(－，1,3)． (2) 故所求點的直角坐標為(1,1,5)． 將點的球坐標化為直角坐標 　已知點M的球坐標為(2，π，π)，求它的直角坐標． 【思路探究】　球坐標 直角坐標 【自主解答】　設點的直角坐標為(x，y，z)． 則 因此點M的直角坐標為(－1,1，－)． 1．根據球坐標系的意義以及與空間直角坐標系的聯(lián)系，首先要明確點的球坐標(r，φ，θ)中角φ，θ的邊與數軸Oz，Ox的關系，注意各自的限定范圍，即0≤φ≤π，0

7、≤θ<2π. 2．化點的球坐標(r，φ，θ)為直角坐標(x，y，z)，需要運用公式轉化為三角函數的求值與運算． 　若例2中“點M的球坐標改為M(3，π，π)”，試求點M的直角坐標． 【解】　設M的直角坐標為(x，y，z)． 則 ∴點M的直角坐標為(，－，－)． 空間點的直角坐標化為球坐標 　 圖1－4－3 已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的邊長為1，棱AA1的長為，如圖1－4－3所示，建立空間直角坐標系Axyz，Ax為極軸，求點C1的直角坐標和球坐標． 【思路探究】　先確定C1的直角坐標，再根據空間直角坐標系與球坐標系的聯(lián)系，

8、計算球坐標． 【自主解答】　點C1的直角坐標為(1,1，)． 設C1的球坐標為(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ， 得r＝＝＝2. 由z＝rcos φ，∴cos φ＝，φ＝ 又tan θ＝＝1，∴θ＝， 從而點C1的球坐標為(2，，) 1．由直角坐標化為球坐標時，我們可以選設點M的球坐標為(r，φ，θ)，再利用變換公式求出r，θ，φ. 2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝.特別注意由直角坐標求球坐標時，應首先看明白點所在的象限，準確取值，才能無誤

9、． 　若本例中條件不變，求點C的柱坐標和球坐標． 【解】　易知C的直角坐標為(1,1,0)． 設點C的柱坐標為(ρ，θ，0)，球坐標為(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝＝＝. 又tan θ＝＝1， ∴θ＝. 因此點C的柱坐標為(，，0)． (2)由r＝＝＝. ∴cos φ＝＝0， ∴φ＝. 故點C的球坐標為(，，)． 柱坐標系、球坐標系的應用 　已知點P1的球坐標是P1(2，，)，P2的柱坐標是P2(，，1)，求|P1P2|. 【思路探究】　可把兩點坐標均化為空間直角坐標，再用空間兩點間的距離公式求距離． 【自主解答】

10、　設P1的直角坐標為P1(x1，y1，z1)， 則 ∴P1的直角坐標為(，，)． 設P2的直角坐標為P2(x2，y2，z2)， 則 ∴P2的直角坐標為(，，1)． ∴|P1P2|＝＝. 　柱坐標及球坐標問題可以統(tǒng)一化為直角坐標問題來解決． 　在球坐標系中，求兩點P(3，，)，Q(3，，)的距離． 【解】　將P、Q兩點球坐標轉化為直角坐標．設點P的直角坐標為(x，y，z)， 則 ∴P(，，)． 設點Q的直角坐標為(x，y，z)． 則 ∴點Q(－，，)． ∴|PQ|＝ ＝， 即P、Q兩點間的距離為. (教材第17頁思考1) 給定一個底面半徑

11、為r，高為h的圓柱，建立柱坐標系，利用柱坐標描述圓柱側面以及底面上點的位置． 　(2013·長春檢測)在柱坐標系中，點M的柱坐標為(2，π，)，則|OM|＝________. 【命題意圖】　本題主要考查柱坐標系的意義，以及點的位置刻畫． 【解析】　設點M的直角坐標為(x，y，z)． 由(ρ，θ，z)＝(2，π，)知 x＝ρcos θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝. 因此|OM|＝ ＝＝3. 【答案】　3 1．在空間直角坐標系中，點P的柱坐標為(2，，3)，P在xOy平面上的射影為Q，則Q點的坐標為(　　) A．(2,0,3)　　　　　　　B．(2，，0)

12、C．(，，3) D．(，，0) 【解析】　由點的空間柱坐標的意義可知，選B. 【答案】　B 2．已知點A的柱坐標為(1,0,1)，則點A的直角坐標為(　　) A．(1,1,0) B．(1,0,1) C．(0,1,1) D．(1,1,1) 【解析】　∵x＝ρcos θ＝1·cos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1. ∴直角坐標為(1,0,1)，故選B. 【答案】　B 3．已知點A的球坐標為(3，，)，則點A的直角坐標為(　　) A．(3,0,0) B．(0,3,0) C．(0,0,3) D．(3,3,0) 【解析】　∵x＝3×sin &#

13、215;cos ＝0，y＝3×sin ×sin ＝3，z＝2×cos ＝0， ∴直角坐標為(0,3,0)．故選B. 【答案】　B 4．設點M的直角坐標為(1,1，)，則點M的柱坐標為________，球坐標為________． 【解析】　由坐標變換公式，可得ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝(點(1,1)在平面xOy的第一象限)， r＝＝＝2. 由rcos φ＝z＝， 得cos φ＝＝，φ＝. ∴點M的柱坐標為(，，)，球坐標為(2，，)． 【答案】　(，，)　(2，，) (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．空

14、間直角坐標系Oxyz中，下列柱坐標對應的點在平面yOz內的是(　　) A．(1，，2)　　　　　B．(2，，0) C．(3，，) D．(3，，) 【解析】　由P(ρ，θ，z)，當θ＝時，點P在平面yOz內． 【答案】　A 2．設點M的直角坐標為(2,0,2)，則點M的柱坐標為(　　) A．(2,0,2) B．(2，π，2) C．(，0,2) D．(，π，2) 【解析】　設點M的柱坐標為(ρ，θ，z)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝0， ∴θ＝0，z＝2. ∴點M的柱坐標為(2,0,2)． 【答案】　A 3．在空間球坐標系中，方程r＝2(0≤φ≤，0≤θ＜2π)表示

15、(　　) A．圓 B．半圓 C．球面 D．半球面 【解析】　設動點M的球坐標為(r，φ，θ)，由于r＝2，0≤φ≤，0≤θ＜2π.動點M的軌跡是球心在點O，半徑為2的上半球面． 【答案】　D 4．已知點M的直角坐標為(0,0,1)，則點M的球坐標可以是(　　) A．(1,0,0) B．(0,1,0) C．(0,0,1) D．(1，π，0) 【解析】　設M的球坐標為(r，φ，θ)， 則r＝＝1，θ＝0， 又cos φ＝＝1，∴φ＝0. 故點M的球坐標為(1,0,0)． 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知點M的球坐標為(4，，)，則點M到

16、Oz軸的距離為________． 【解析】　設M的直角坐標為(x，y，z)， 則由(r，φ，θ)＝(4，，π)， 知x＝4sincosπ＝－2， y＝4sinsinπ＝2， z＝rcos φ＝4cos＝2. ∴點M的直角坐標為(－2,2,2)． 故點M到OZ軸的距離＝2. 【答案】　2 6．已知點M的球坐標為(4，，)，則它的直角坐標是________，它的柱坐標是________． 【解析】　設M的直角坐標為(x，y，z)，柱坐標為(ρ，θ，z)． 則x＝rsin φcos θ＝4×sin ×cos ＝－2， y＝rsin φsin θ＝4

17、5;sin ×sin ＝2， z＝rcos φ＝4×cos ＝2. ∴點M的直角坐標為(－2,2,2)． 又解之得ρ＝2，θ＝，z＝2. ∴點M的柱坐標為(2，，2)． 【答案】　(－2,2,2)　(2，，2) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．已知點P的柱坐標為(，，5)，點B的球坐標為(，，)，求這兩個點的直角坐標． 【解】　設點P的直角坐標為(x，y，z)， 則x＝cos ＝×＝1， y＝sin ＝1，z＝5. 設點B的直角坐標為(x，y，z)， 則x＝sin cos ＝××＝， y＝sin sin ＝&

18、#215;×＝， z＝cos ＝×＝. 所以點P的直角坐標為(1,1,5)，點B的直角坐標為(，，)． 8．在柱坐標系中，求滿足的動點M(ρ，θ，z)圍成的幾何體的體積． 【解】　根據柱坐標系與點的柱坐標的意義可知，滿足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的動點M(ρ，θ，z)的軌跡如圖所示，是以直線Oz為軸，軸截面為正方形的圓柱．圓柱的底面半徑r＝1，h＝2， ∴V＝Sh＝πr2h＝2π. 9．經過若干個固定和流動的地面遙感觀測站監(jiān)測，并通過數據匯總，計算出一個航天器在某一時刻的位置，離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，此時經度為80

19、6;，緯度為75°.試建立適當的坐標系，確定出此時航天器點P的坐標． 【解】　在赤道平面上，選取地球球心為極點，以O為原點且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立球坐標系．由已知航天器位于經度為80°，可知θ＝80°＝π. 由航天器位于緯度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝，由航天器離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，可知r＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以點P的球坐標為(8 755，，)． 教師備選 10．已知在球坐標系Oxyz中，M(6，，)，N(6，，)，求|MN|. 【解】　法一　由題意知， |OM|＝|ON|＝6，∠MON＝， ∴△MON為等邊三角形，∴|MN|＝6. 法二　設M點的直角坐標為(x，y，z) 則 故點M的直角坐標為(，，3)， 同理得點N的直角坐標為(，，－3)， ∴|MN|＝ ＝＝6. 最新精品資料